1、2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(一)例 1 如图 1，已知正方形 OABC的边长为 2，顶点 A、 C分别在 x、 y轴的正半轴上， M是 BC的中点 P(0,m)是线段 OC上一动点（ C点除外），直线 PM交 AB的延长线于点 D（1）求点 D的坐标（用含 m的代数式表示）；（2）当 APD是等腰三角形时，求 m的值；（3）设过 P、 M、 B三点的抛物线与 x轴正半轴交于点 E，过点 O作直线 ME的垂线，垂足为 H（如图 2）当点 P从 O向 C运动时，点 H也随之运动请直接写出点 H所经过的路长（不必写解答过程）图 1 图 2解析（1）因为 PC/DB，所以 CPMBD因此
2、 PM DM， CP BD2 m所以AD4 m于是得到点 D的坐标为(2，4 m)（2）在 APD中， 22(A， 24A， 22()4()PDM当 AP AD时， )解得 3（如图 3）当 PA PD时， 22()解得 （如图 4）或 （不合题意，舍去）当 DA DP时， 2(4)m2()解得 3m（如图 5）或 2（不合题意，舍去）综上所述，当 APD为等腰三角形时， m的值为 ， 4或 图 3 图 4 图 5（3）点 H所经过的路径长为 5考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图 3，当 AP AD时， AM垂直平分 PD，那么 PCM MBA所以
3、1PCMBA因此 12PC， 3m如图 4，当 PA PD时， P在 AD的垂直平分线上所以 DA2 PO因此 2m解得 3第（2）题的思路是这样的：如图 6，在 Rt OHM中，斜边 OM为定值，因此以 OM为直径的 G经过点 H，也就是说点 H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图 7， P与 O重合时，是点 H运动的起点， COH45， CGH90图 6 图 7例 2 如图 1，已知一次函数 y x7 与正比例函数 43yx 的图象交于点 A，且与 x轴交于点 B（ 1） 求点 A 和点 B 的 坐标；（2）过点 A 作 AC y轴于点 C，过点 B 作直线 l/y轴动点 P从点 O
4、 出发，以每秒 1个单位长的速度，沿OCA 的 路 线 向 点 A 运 动 ； 同时直线 l从点 B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线 l交 x 轴于点R，交线段 BA 或 线 段 AO 于 点 Q当 点 P 到 达 点 A 时 ， 点P 和 直 线 l都 停 止 运 动 在 运 动 过 程 中 ， 设 动 点 P 运 动 的时 间 为 t秒 当 t为何值时，以 A、 P、 R 为顶点的三角形的面积为 8？是否存在以 A、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求 t的值；若不存在，请说明理由图 1 解析（1）解方程组7,43yx得 3,4.y 所以点 A的坐标是(3，4)
5、令 0yx，得 所以点 B的坐标是(7，0)（2）如图 2，当 P在 OC上运动时，0 t4由 8APRACPOROSS 梯 形 ，得 113+7)4()(7)822ttt（ 整理，得 2810t解得 t2 或t6（舍去）如图 3，当 P在 CA上运动时， APR的最大面积为 6因此，当 t2 时，以 A、 P、 R为顶点的三角形的面积为 8图 2 图 3 图 4我们先讨论 P在 OC上运动时的情形，0 t4如图 1，在 AOB中， B45， AOB45， OB7， 2AB，所以OB AB因此 OAB AOB B如图 4，点 P由 O向 C运动的过程中， OP BR RQ，所以 PQ/x轴因此
6、 AQP45保持不变， PAQ越来越大，所以只存在 APQ AQP的情况此时点 A在 PQ的垂直平分线上， OR2 CA6所以 BR1， t1我们再来讨论 P在 CA上运动时的情形，4 t7在 APQ中， 3cos5为定值， AP， 5203QOARt如图 5，当 AP AQ时，解方程 073t，得 48t如图 6，当 QP QA时，点 Q在 PA的垂直平分线上， AP2( OR OP)解方程72()4tt，得 t如 7，当 PA PQ时，那么12cosAP因此 2cosQAP解方程5032()35tt，得 64t综上所述， t1 或 8或 5或 3时， APQ是等腰三角形 图 5 图 6 图 7考点伸展当 P在 CA上， QP QA时，也可以用 2cosAPQ来求解
