1、第 21 课时 二次函数的应用【复习要点】1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。（1）求解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式 。已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式 。已知图象与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1、x 2， 通常选择交点式 （不能做结果，要化成一般式或顶点式）。（2）求交点坐标的一般方法：求与 x 轴的交点坐标，当 y 代入解析式即可；求与 y 轴的交点坐标，当 x 代入解析式即可。两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。2、二次函数常用来解决最优化问题，即对于二次函数 ，当 2(0)axbc时，
2、函数有最值 y 。最值问题也可以通过配方解决，即将 配2()yxa方成 ，当 时，函数有最值 y 。2()(0)axhkax3、二次函数的实际应用包括以下方面：（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间的二次函数关系。（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。从客观事实的原型出发，具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它的基本思路是：【例题解析】例 1：如图 1 所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为 2.5 米
3、时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米求抛物线的表达式解析：因为抛物线的对称轴为 y 轴，故可设篮球运行的路线所对应的函数表达式为 （ a0， k0）代入 A， B 两点坐标为（1.5，3.05），2yx（0，3.5）可得： 解得 ，所以，抛物线对应的函数表达式1.53.0， 0.2a为 2.3.yx学优中考网 反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键。建立坐标系的一般方法是尽可能将一些特殊点，如起点、最高点等放在坐标轴上或作原点，这有助于问题的解决和帮助计算。例 2：某星期天，小明和他的爸爸开着一辆满载西瓜的大
4、卡车首次到某古城销售，来到城门下才发现古城门为抛物线形状（如图 2 所示）小明的爸爸把车停在城门外，仔细端详城门的高和宽以及自己卡车的大小，但还是十分担心卡车是否能够顺利通过经询问得知，城门底部的宽为 6米，最高点距离地面 5 米如果卡车的高是 4 米，顶部宽是 2.8 米，那么卡车能否顺利通过？解析：欲知卡车能否顺利过城门，只须计算高 4 米处的城门的宽度是否大于 2.8 米？可建立如图 2 所示直角坐标系，则 A（ ，0）， B（3，0），顶点 C 的坐标为（0，5），可设二次函数关系式为： ，把点 B 的坐标代入，得 ， ，故25yax9a9设卡车顶部刚好与 DE 这条线同高，则点 D，
5、 E 的纵坐标都是 4，当259yx时， ， ，从而 ，所以卡车不能425x935x652.8通过城门反思：此题是一道常见的拱桥、拱洞等有关抛物线的实际问题应用题，坐标系的选择建立很关键，一般选择抛物线的底（顶）部水平线为 x 轴，对称轴为 y 轴，或直接选取最高（低）点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题。【实弹射击】一、选择题1.将二次函数 的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，所得图象的函数表2xy达式是（ ） )1(22)(xy)1(2xyxy2.抛物线 与 x 轴交点的个数是（ ）20 1 2 33.二次函数 的最小值是（ ）2()yA2 B1 C D124. 二次函数
6、的图象如图所示，若点 是它2axbc12()()AyB， 、 ，图象上的两点，则 与 的大小关系是（ ）1y2A B C D不能确定12y12y二、填空题O xyx= 35. 某种火箭被竖直向上发射时，它的高度 与时间 (s)t的关系可以用公式(m)h2510htt表示经过_ s，火箭达到它的最高点6.将 变为 的形式，则 2yx2()yaxnnA7. 如图，已知 P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线 上运动，当 P 与21yx轴相切时，圆心 P 的坐标为 .8.抛物线 与 轴的一个交点的坐标为 则此抛物线与 轴24myxx0， ， x的另一个交点的坐标是_.9.小颖同学想用“描点法”画二次函
7、数 的图象，取自变量 的 5 个2()yaxbc值，分别计算出对应的 值，如下表：yx 210 1 2 y 11 2 2 5 由于粗心，小颖算错了其中的一个 值，请你指出这个算错的 值所对应的 yx三、解答题10. 已知二次函数 的图象过点 P（2，1）12cbxy（1）求证： ；4c（2）求 的最大值；b（3）若二次函数的图象与 轴交于点 A（ ，0）、B（ ，0）， ABP 的面积是 ，求x1x2x43的值11.如图, 某中学要在教学楼后面的空地上用 40 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设矩形的宽为 ,面积为 .xy(1) 求 与 的
8、函数关系式,并求自变量 的取值范围;yx(2) 生物园的面积能否达到 210 平方米?说明理由. 学优中考网 12.某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 l80 元时，房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元设每个房间的房价每天增加 x 元( x 为 10 的正整数倍)(1) 设一天订住的房间数为 y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?13. 如图，直角梯形 OABC 中， OC AB， C（0，3）， B（4，1），以 BC 为直径的圆交 轴x于 E， D 两点（ D 点在 E 点右方）.（1）求点 E,D 的坐标;（2）求过 B,C,D 三点的抛物线的函数关系式；(3)过 B,C,D 三点的抛物线上是否存在点 Q，使 BDQ 是以 BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q 的坐标. 学 优中考，网
