1、 / 412013 中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)例 6 如图，点 A 的坐标为（ 0，4），点 B 为 x 轴上一动点，以线段 AB 为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形 ABCD 随着点 B 的运动而相应变动点 E 为 y 轴的正半轴与正方形 ABCD 某一边的交点，设点 B 的坐标为（t，0），线段 OE 的长度为 m（1）当 t3 时，求点 C 的坐标；（2）当 t0 时，求 m 与 t 之间的函数关系式；（3）是否存在 t，使点 M（2，2）落在正方形 ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由解析：（1）过点 C 作 CFx 轴
2、于 F则CFBBOA，得 CF BO3，FBOA4点 C 的坐标为（1，3）（2）当 0t 4 时，点 E 为 y 轴的正半轴与 BC 边的交点，如图 1易证BOEAOB ，得 OEOB OBOA即 ，m t 2mt t4 14当 t 4 时，点 E 为 y 轴的正半轴与 CD 边的交点，如图 2易证EDAAOB ，得 来源: 学优中考网DAOB EAAB而 DAAB，AB 2OB EA即 4 2t 2t( m4)，mt 416t（3）存在当 t 0 时正方形 ABCD 位于 x 轴的下方（含 x 轴），此时不存在当 0t 4 时若点 M 在 BC 边上，有 t2 4t 2解得 t2 或 t4
3、（舍去）来源:学优中考网若点 M 在 CD 边上，有 t 24 2 (4 t)t解得 t2 或 t4当 t 4 时若点 M 在 CD 边上，有 2t解得 t2（舍去）或 t4（舍去）若点 M 在 AD 边上，有 2tABDyCOExABDyCOEx图 1ABDyCOEx图 2解得 t12综上所述：存在，符合条件的 t 的值为 2、4、12例 7 如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一动点（不与点 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90得到线段 PE，PE 交边 BC 于点 F，连接 BE、DF （1）求证：ADPEPB；（2）若正方形 ABCD 边
4、长为 4，点 F 能否为边 BC 的中点？如果能，请你求出 AP 的长；如果不能，请说明理由（3）当 的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由APAB解析：（1）证明：四边形 ABCD 是正方形，A90ADPAPD90DPE90，APDEPB90ADPEPB（2）不能设 APx（0x 4）APBF90，ADP FPBADPBPF， ， ADAP BPBF 4x 4 xBFBF x 2x ( x2) 2114 14当 x2（即 P 为 AB 中点）时， BF 有最大值 1点 F 不能为边 BC 的中点（3）假设PFDBFP，则 PDPF PBBFADPBPF， PDPF APBF ，PBAPPB
5、BF APBF当 时，PFDBFPAPAB 12例 8 如图 1，正方形 ABCD 和正方形 AEFG，边 AE 在边 AB 上，AB 2AE4将正方形AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转 （060）来源:学优中考网（1）如图 2，当BEA120时，求 DG 的长；（2）设 BE 的延长线交直线 DG 于点 P，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 60，求旋转过程中点 P 运动的路线长；（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得 BFBC，若存在，试求出 DP 的长；若不存在，请说明理由A PCPFPBPEPDPC BAEGDF图 1C BAEGDF图 2C BAD备用图/ 43解析：（1
6、）正方形 ABCD 和正方形 AEFGADAB，AGAE，EAGBAD90DAG BAE90EADDAG BAE，DGABEA120过点 A 作 AH DG，交 DG 延长线于 H，如图 2来源:xYzKw.Com则AGH 60，GAH30GH AG 1，AH AG12 3在 Rt ADH 中，AH 2DH 2AD 2( )2( DG1) 24 23解得 DG 1（舍去负值）13（2）由（1）知DAGBAE，ADGABE如图 3，12，BPDBAD90连接 BD，则BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形设 BD 的中点为 O，连接 OP，则 OP BD AB212 2旋转过程中，点 P 运动的
7、路线是以 O 为圆心，以 OP 为半径的一段圆弧如图 4，当边 AE 在边 AB 上时，P 与 A 重合当BAE 60时，设 AB 的中点为 M，连接 ME则 AEAMBM AB，AEM 是等边三角形12EMA 60，MBEMEB30BEA 90，B 、E、F 三点共线P 与 F 重合连接 AF，易知OFA 是等边三角形，AOF 60点 P 运动的路线长为：2 260180（3）假设存在某时刻使得 BFBC，则 BFBA又 EFEA，则 BEBE ，BEFBEABEF BEA，FEPAEP45 来源:学优中考网 xYzkwP 与 G 重合过点 A 作 AH DG，交 DG 延长线于 H，如图 5则AGH 45，AHGH AG 2在 Rt ADH 中，AH 2DH 2AD 2( )2( DG )24 22 2解得 DG （舍去负值）14 2即 DP 的长为 14 2C BAEGO(P)DF图 4MC BAEGODF图 3P12C BAEGDF图 2HC BAEGDF图 5(P) H
