1、二元一次方程组及其应用【课前热身】1若 2xm+n1 3y mn3 +5=0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m=_，n=_2在式子 3m+5nk 中，当 m=2，n=1 时，它的值为 1；当 m=2，n=3 时，它的值是_3若方程组 的解是 ，则 a+b=_026axyb12xy4已知 x，y，t 满足方程组 ，则 x 和 y 之间应满足的关系式是_35t5若方程组 的解是 ，那么ab=_2ba10xy【参考答案】13；1 27 38 4.15yx=6 51【考点聚焦】了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组.重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二
2、元一次方程组解决一些简单的实际问题.难点：是图象法解二元一次方程组，数形结合思想.【备考兵法】思想方法：消元思想-加减和代入两种消元方法 数学建模思想-列二元一次方程组解决实际问题的方法 数形结合思想-图象法解二元一次方程组二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未学优中考网 知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一
3、次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解易错知识辨析：（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.【考点链接】（对重点知识点的概括，主要以
4、填空题形式考查）1二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.2. 二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.3二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.4二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解.5. 解二元一次方程的方法步骤：二元一次方程组 方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.【典例精析】消元转化例 1 已知 是方程组 的解，求（m+n）的值2xy(1)2xmyn【分析】由方程组的解的定义可知 ，同时满足方程组中的
5、两个方程，将1y代入两个方程，分别解二元一次方程，即得 m 和 n 的值，从而求出代数式的值21xy【答案】解：把 x=2，y=1 代入方程组 中，得2(1)2xy2(1)2mn由得 m=1，由得 n=0所以当 m=1，n=0 时， （m+n）=（1+0）=1【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程例 2 （2009 年湖南郴州）李大叔今年五月份购买了一台彩电和一台洗衣机，根据“家电下乡”的补贴标准：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的 13%补贴给农户 因此，李大叔从乡政府领到了 390 元补贴款 若彩电的售价比洗衣机的售价高 1000 元，求彩电和洗衣机的售
6、价各是多少元【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力【答案】解：设一台彩电的售价为 x元，一台洗衣机的售价为 y元根据题意得： 103()9xy%-=+解得 210y答：一台彩电的售价为 2000 元，一台洗衣机的售价为 1000 元例 3（2009 年广西钦州）小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图中的数据（单位： ） ，解答下列问题：m（1）写出用含 x、 y 的代数式表示的地面总面积；（2）已知客厅面积比卫生间面积多 21 2，且地面总面积m是卫生间面积的 15 倍，铺 1 2地砖的平均费用为 80 元，求铺地砖的总费用为多少元？63y
7、2x客 厅 卧 室 厨 房 卫 生 间 学优中考网 【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力【答案】解：（1）地面总面积为：（6 x2 y18） 2；m（2）由题意，得 621,85.xy解之，得4,3.2y地面总面积为：6 x2 y18642 1845（ 2） 32m铺 1 2地砖的平均费用为 80 元，m铺地砖的总费用为：45803600（元） 【迎考精练】一、选择题1. （2009 年台湾）若二元一次联立方程式 0351462yx的解为 x =a， y =b，则 a b=？（ ）A 35B 59 C 29D 3192. (2009 年四川绵阳)小明在解关于 x、 y
8、的二元一次方程组 ,yx 时得到了正确结果 .1,yx 后来发现“ ”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出 、 处的值分别是( )A = 1， = 1 B = 2， = 1C = 1， = 2 D = 2， = 23. （2009 年广西桂林）已知 1xy是二元一次方程组 71axby的解，则 ab的值（ ） A1 B1 C 2 D34. （2009 年福建福州）二元一次方程组 的解是（ ）,0xyA B C D0,2.xy2,0.xy1,.xy1,.xy5. （2009 年山东日照）若关于 x， y 的二元一次方程组 的解也是二元一次方kx,95程 的解，则 k 的值为（ ） 632yxA B
9、 C D44334346. （2009 年黑龙江齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）A4 种 B3 种 C2 种 D1 种二、填空题1.（2009 年湖南株洲）孔明同学在解方程组 的过程中，错把 看成了 6，他其ykxbb余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为 ，又已知直线 过点12yykx（3，1） ，则 的正确值应该是 b2 （2009 年湖南怀化）方程组 32106xy， 的解为 3.(2009 年甘肃定西)方程组 的解是 521x，4.(2009 年四川达州)将一种浓度为
10、15的溶液 30，配制成浓度不低于 20的同种溶液，则至少需要浓度为 35的该种溶液_.5.(2009 年河北)如 图 ， 两 根 铁 棒 直 立 于 桶 底 水 平 的 木 桶 中 ， 在 桶 中 加 入 水后 ， 一根露出水面的长度是它的 13，另一根露出水面的长度是它的 15两根铁棒长度之和为 55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm6.（2009 年山东济宁）请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为 只、树为 棵.三、解答题第 5 题学优中考网 1.（2009 年北京市）列方程或方程组解应
11、用题：北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，2008 年 10 月 11日到 2009 年 2 月 28 日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次.在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？2.（2009 年江苏省）一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速公13路已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”
12、或“时间” ，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程3.（2009 年湖北襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A、 B两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所 类学校和两所 类学校共需资金 230 万元；改造两所 A类学校和一所 B类学校共需资金 205 万元（1）改造一所 类学校和一所 类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的 类学校不超过 5 所，则 类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县 、 两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不
13、少于 70 万元，其中地方财政投入到 A、 B两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15万元请你通过计算求出有几种改造方案？4.（2009 年山东淄博）如图，在 33 的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数） ，使得每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等（1）求 x， y 的值；（2）在备用图中完成此方阵图5.(2009 年广东肇庆)2008 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第一 其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚，银牌比铜牌少 7 枚问金、银、铜牌各多少枚？ 6 （2009 年湖南邵阳）为迎接“建国
14、60 周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用 A、B 两种不同类型的灯笼 200 个，且 B 灯笼的个数是 A 灯笼的 32。（1）求 A、B 两种灯笼各需多少个？（2）已知 A、B 两种灯笼的单价分别为 40 元、60 元，则这次美化工程购置灯笼需多少费用？23 4（备用图）2yx23 4 xy（第 4 题）abc学优中考网 7.（2009 年新疆乌鲁木齐市）某超市为“开业三周年”举行了店庆活动对 、 两种商AB品实行打折出售打折前，购买 5 件 商品和 1 件 商品需用 84 元；购买 6 件 商品和AB3 件 商品需用 108 元而店庆期间，购买 50 件 商品和 50 件 商品仅
15、需 960 元，这比B不打折少花多少钱？8.(2009 年福建宁德)某刊物报道：“2008 年 12 月 15 日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动， 大三通基本实现 大三通最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省 4 小时，海运平均每航次可节省 22 小时，以两岸每年往来合计 500 万人次计算，则共可为民众节省 2900 万小时”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次9.（2009 年湖南益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本.(1
16、)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共 48 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出.10. (2009 年浙江湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆.（1） 若该小区 2006 年底到 2009 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2009 年底家庭轿车将达到多少辆？（2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15
17、 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 11.（2009 年山东泰安）某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。（1） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？（2） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念
18、品可获利 7 元，该商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？学优中考网 【参考答案】选择题1. C2. B3. B4. C5. B6. C填空题1. 12.yx3. 344. 105. 206. 20，5解答题1. 解法一：设轨道交通日均客运量为 万人次，则地面公交日均客运量为x万人次，依题意，得(469)x(469)1x解得 356913答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次.解法二：轨道交通日均客运量为 万人次，地面公交日均客运量
19、为 万人次.xy依题意，得 1694xy解得 35y答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次.2. 本题答案不惟一，下列解法供参考解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ 解：设普通公路长为 km，高度公路长为 kmxy根据题意，得 解得2.601y， 6012x， 答：普通公路长为 60km，高速公路长为 120km解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解：设汽车在普通公路上行驶了 h，高速公路上行驶了 hxy根据题意，得 解得2.601xy， 1.2y，答：汽车在普通公路上行驶了 1h，高速公路上行驶了 1.2h3. 解：（
20、1）设改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 a万元和 b万元依题意得： 2305ab解之得 6085b答：改造一所 A类学校和一所 B类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元（2）设该县有 、 两类学校分别为 m所和 n所则608517mn32 A类学校不超过 5 所 17n 即： B类学校至少有 15 所学优中考网 （3）设今年改造 A类学校 x所，则改造 B类学校为 6x所，依题意得：5076401x解之得 x取整数 1234， ， ，即：共有 4 种方案4. 解：（1）由题意，得 342234.xyx， 解得 2.xy，（2）如图 5. 解：设金、银牌分别为
21、 枚、 枚，则铜牌为 枚，依题意，得xy(7)y(7)102.xy，解以上方程组，得 ， 51xy，所以 718y答：金、银、铜牌分别为 51 枚、21 枚、28 枚6. （1）设需 A种灯笼 x个， B种灯笼 y个，根据题意得：203xy，解得 180xy，；（2）12040+8060=9600（元） 7. 解：设打折前 A 商品的单价为 元， B 商品的单价为 元，根据题意有xy23 4 161052解之，得5846310xy164xy打折前购买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品共需 元50410打折后少花 元(96)08. 解：设每年采用空运往来的有 x 万人次，海运往来的有 y
22、 万人次，依题意得 x+y 5004x+22y 2900)解得 x 450y 50)答：每年采用空运往来的有 450 万人次，海运往来的有 50 万人次9. 解：(1)设每支钢笔 x 元，每本笔记本 y 元依题意得： 31528解得： yx答：每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元(2)设买 a 支钢笔，则买笔记本(48 a)本依题意得： 4820(5解得： 20a所以，一共有种方案即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，2410. 解：(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 ，则：x，26410x解得： %， （不合题意，舍去） ，5294
23、.0答：该小区到 2009 年底家庭轿车将达到 125 辆(2)设该小区可建室内车位 个，露天车位 个，则：ab学优中考网 0.512.ab 由得： =150-5 代入得： ，20a15 7是正整数， =20 或 21， aa当 时 ，当 时 .205b4b方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个.11. 解：（1）设 A、B 两种纪念品的进价分别为 x 元、y 元。由题意， 得 解之，得答：A、B 两种纪念品的进价分别为 20 元、30 元（2）设上点准备购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（40-x）件，由题意，得解之，得： 320a总获利 是 a 的一次函数，且 w 随 a 的增大而减小280)4(75w当 a=30 时，w 最大，最大值 w=-230+280=220.40-a=10应进 A 种纪念品 30 件，B 种纪念品 10 件，在能是获得利润最大，最大值是 220 元.学优。中考 ，网
