1、第十二讲：分式孙法光知识梳理知识点 1、分式的概念重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件难点：分式有意义、分式值为 0 的条件分式的概念：形如 ，其中分母 B 中含有字母，分数是整式而不是分式. 分式 中的字母代表什么数或式子是有条件的.(1)分式无意义时，分母中的字母的取值使分母为零，即当 B=0 时分式无意义.(2)求分式的值为零时，必须在分式有意义的前提下进行，分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零，这两个条件缺一不可.(3)分式有意义，就是分式里的分母的值不为零.例 1. 1. 若代数式 有意义，则 x 的取值范围为_解题思路：分式有意义，就是分式里的分母不为零，答案：x2
2、 且 x3 且 x4例 2 如果分式 32x|-1的值为零,那么 x 等于( )A.-1 B.1 C.-1 或 1 D.1 或 2解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零, 2|103x. 解得 x=-1.答案:A.练习 1. 若分式 的值为零，则 的值为（ ）2.（1）当 x=_时，分式 无意义；x312（2）当 x=_时，分式 有意义。答案：1. 3 2. （1）x=3；（2） x1知识点 2、分式的基本性质重点：正确理解分式的基本性质.a234aAB43x学优中考网 难点：运用分式的基本性质，将分式约分、通分分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式
3、，分式的值不变，用式子表示是：AB= MBA，AB= .(其中 M 是不等于零的整式)分式中的 A，B，M 三个字母都表示整式，其中 B 必须含有字母，除 A 可等于零外，B，M 都不能等于零.因为若 B=0，分式无意义；若 M=0，那么不论乘或除以分式的分母，都将使分式无意义.分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分(2)分式约分的依据：分式的基本性质(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式例 1： 约分： 532164.abcxya32.解题思
4、路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分（1）解： 232532446cabcab(2).请学生分析如何约分：由于 yxy，所以，分子和分母的公因式是： yxa，约分可得：解： 223232 yxayxayxa 小结：当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分注意对分子、分母符号的处理分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边例 2 求分式 241x与 4的最简公分母。解题思路：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x-2x2=-2x（x-2） ，x 2-4=（x+2） （x-
5、2） ，把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它的积，即2x（x+2） （x-2）就是这两个分式的最简公分母。求几个分式的最简公分母的步骤：1取各分式的分母中系数最小公倍数；2各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。例 3 通分： 42,361,)42(xx，解题思路：各个分式的分母都是多项式，并且可以分解因式。这时，可先把各分式的分母中的多项式分解因式，再确定各分式的最简公分母，最后通分。解 （2x-4） 2=2（x-2） 2=4（x-2） 2，
6、6x-3x2=-3x（x-2） ，x 2-4=（x+2） （x-2） 。所以，最简公分母是 12x（x+2） （x-2） 2，故22222 )(1436,)(13)4( xxxx，22 )(14。练习 1. 分式 与 的最简公分母是_。12x422.（1）如果把分式 中 x 和 y 都扩大 10 倍，那么分式的值（ ）A. 扩大 10 倍 B. 缩小 10 倍 C. 扩大 2 倍 D. 不变（2）下面各式正确的是（ ）学优中考网 )2(4212 xxx的 最 简 公 分 母 是与 32)(.461.)(5)(yxDyCxxBbacA答案：12. （1）D；（2）D知识点 3、分式的运算重点：掌
7、握分式的运算法则难点：熟练进行分式的运算1.分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减 （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分变为同分母分式后再加减2分式的化简分式的化简与分式的运算相同，化简的依据、过程和方法都与运算一样，分式的化简题，大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题，化简的结果保留最简分式或整式3.分式的四则混合运算分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号内的有些题目先运用乘法分配律，再计算更简便些例 1先化简，再
8、求值： 13)132(xx其中 x2解题思路：分式混合运算法则口诀：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）：乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处结果要求最简解法一： 13)132(xx )()(22 31)1(322 xxx 4)(4x。解法二： 13132x )(x 343)1(13xx当 x=2 时，原式一 244。例 2 先化简 11a，然后请你给 a 选取一个合适的值，再求此时原式的值解题思路：本题有三个步骤：（1）化简；（2）取值；（3）求值此类题以开放题的形式出现，字母的取
9、值范围很广，比如，在本题中，为 a 选取合适的值时存在许多种选法，一般地，取易于计算的值，但要考虑分式的分母不为零即 a2解：原式 21)(23aa当 a=1 时，原式=1+2=3练习 1.化简:( 1)(1- ).2.化简: 22692xx.答案：1. a 2.1学优中考网 知识点 4、分式方程重点：掌握分式方程的解法与步骤难点：解分式方程的思想转化以及验根分 式 方 程 是 方 程 中 的 一 种 ， 且 分 母 里 含 有 字 母 的 方 程 叫 做 分 式 方 程 。 分 式 方 程 的 解 法 去 分 母 方 程 两 边 同 时 乘 以 最 简 公 分 母 (最 简 公 分 母 :
10、最 小 公 倍 数 相 同 字 母的 最 高 次 幂 只 在 一 个 分 母 中 含 有 的 照 写 ） ,将 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 ;若 遇 到 互 为 相反 数 时 .不 要 忘 了 改 变 符 号 ; 按 解 整 式 方 程 的 步 骤 （ 移 项 ， 若 有 括 号 应 去 括 号 ,注意 变 号 ,合 并 同 类 项 ， 系 数 化 为 1） 求 出 未 知 数 的 值 ; 验 根 (求 出 未 知 数 的 值 后 必 须验 根 ,因 为 在 把 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 的 过 程 中 ,扩 大 了 未 知 数 的 取 值 范 围 ,可 能 产 生增
11、 根 ).验 根 时 把 整 式 方 程 的 根 代 入 最 简 公 分 母 ， 如 果 最 简 公 分 母 等 于 0， 这 个 根 就 是 增根 。 否 则 这 个 根 就 是 原 分 式 方 程 的 根 。 若 解 出 的 根 是 增 根 ， 则 原 方 程 无 解 。解 分 式 方 程 的 基 本 思 路 是 将 分 式 方 程 化 为 整 式 方 程 ， 具 体 做 法 是 “去 分 母 ”， 即 方程 两 边 同 乘 最 简 公 分 母 ， 这 也 是 解 分 式 方 程 的 一 般 思 路 和 做 法 。例 1 解方程： 120x 解题思路：解分式方程的基本思路是：先确定最简公分
12、母，再通过去分母把分式方程转化成整式方程，从而求得其解 要注意的是解分式方程必须检验，若为增根，须舍去解：两边同乘以 (1)2x，得 ()0x；整理，得 5；解得 1经检验， 5x是原方程的根例 2 解方程： 32解题思路：本题在去分母把分式方程转化成整式方程时，方程中的整数项 3，也应乘最简公分母（x-2）, 不要漏乘. 解：方程两边同乘 (2)x，得 1()3(2)x 解这个方程，得 2x检验：当 时， 0，所以 2x是增根，原方程无解例 3 若方程 mx无解，则 m=_解题思路：分式方程的无解，就是分式方程中未知数的取值使分母的值为 0，导致分式无意义.本题当 x=2 时分母 x-2=0
13、. 分式方程无解，实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根，其整式方程的解会使最简公分母的值为零.解：方程两边同乘以(x-2)，化去分母，得 x-3=-m,因为分式方程 32xm无解，所以 x=2, 2-3=-m, 故 m=1.练习 1.解方程 214x2.若关于 的分式方程 3xa在实数范围内无解，则实数 a_.答案:1.解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得x(x+2)-(x2-4)=1， 化简，得 2x=-3 x=-3/2， 经检验，x=-3/2 是原方程的根2.a=1知识点 5、分式方程的应用重点：掌握解分式方程应用题的步骤难点：审题弄清题目中的等量关系列分式方程与列整式方程解应
14、用题一样，应仔细审题，找出反映应用题中所有数量关系的等式，恰当地设出未知数，列出方程 与整式方程不同的是求得方程的解后，应进行两次检验，一是检验是否是增根，二是检验是否符合题意例某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本当按定价售出 200 本时，出现滞销，便学优中考网 以定价的 4 折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？解题思路：本题的等量关系为
15、： 第二次购该书数量比第一次多 10 本，即（第一次购买的数量）10（第二次购买的数量）解：设第一次购书的进价为 x 元，则第二次购书的进价为（1+20%）x 元根据题意得： %)201(520，解得： 5x，经检验 x是原方程的解所以第一次购书为 4（本），第二次购书为 2014（本），第一次赚钱为 8)57(（元），第二次赚钱为： 40)2.15.07(. （元）所以两次共赚钱 240（元） 练习某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长 2400m 的道路为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务求原计划每小时修路的长度若设原计划每
16、小时修路 x m，则根据题意可得方程 .答案： 24081%xx最新考题中考试题考查的是分式的基本性质及其运算，题型以填空、选择或计算为主，试题中渗透方程思想或高一年级数学知识，预计 2010 年中考这类试题比例会加大，理解分式的概念，分母中含有字母的式子，掌握分式分母的取值范围，分式方程的求解一类问题近年主要考查基本的解方程，着重考查学生的实际应用能力，同时分式方程的验根仍作为考查重点。考查目标一分式的概念例 1（09 年天津市）若分式21x的值为 0，则 x的值等于 解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零, 答案：2例 2（09 湖北宜昌）当 x= 时，分式 23x 没有意义
17、解题思路：分式没有意义则分式的分母为 0，x=3考查目标二分式的运算例 1（2009 年新疆乌鲁木齐市）化简：242xx解题思路：约分与通分，分式运算中分子分母能分解因式的先分解，答案： 2x例 2（ 2009 年 枣 庄 市 ） 15 a、 b 为实数，且 ab=1，设 P= 1ab， Q=1ab，则 P Q（填“” 、 “”或“” ） 解题思路：分式的比较大小，可以通分化为同分母，答案： =例 3（09 年内蒙古包头）化简242xx，其结果是（ ）A 82xB 8C 8D 82x解题思路：本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混和运算，要注意运算顺序。先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照
18、乘法的分配律去括号。 242xx=22xxx= 2x=228xx，故选 D。考查目标三分式方程应用例（09 年莆田）面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生国务院决定从 2009 年 2 月 1 日起， “家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的 13%给予补贴返还某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的 2 倍，且按原价购买冰箱总额为40000 元、电视机总额为 15000 元根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多 65 元，求冰箱、电视机各购买多少台？（1）
19、设购买电视机 x台，依题意填充下列表格：项目 购买数量（台）原价购买总额（元）政府补贴返还比例补贴返还总金额（元）每台补贴返还金额（元）学优中考网 家电种类冰箱 40 000 13%电视机 x15 000 13%（2）列出方程（组）并解答解题思路：弄清题意，列分式方程（1） 2x40 000 13% 4013%或 5200 4013%2x或 50x或 2615 000 13% 15 00013%或 1950 或 9（2）解:依题意得 40132x- 565x解得 1x经检验 是原分式方程的解分20答:冰箱、电视机分别购买 20 台、10 台 10 分过关测试一、选择题1.函数 y= 1x中自变
20、量 x 的取值范围是( ).A.x-1 B.x-1 C.x1 D.x02.若分式2943x的值为零,则 x 的值为( ).A.3 B.3 或-3 C.-3 D.03.若分式 12x的值为零,则 x 等于( ).A.0 B.1 C. 23 D.-14.化简2()ab的结果是( ).A. ab B. ab C. ba D.a+b5.当分式 |3x的值为零时,x 的值为( ).A.0 B.3 C.-3 D.36.化简29m的结果是( )A. 3 B.- 3 C. 3m D. 7.化简 219+ 的结果是( )A. 6m B. 2 C. 2 D. 29m8.下面计算正确的是( )A. 22()abaB
21、. ()55bcaaC. 2251034xxD. 1xy9、08 年暑假期间，红星中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为 180 元出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元车费若设“启明文学社”有 x 人，则所列方程为（ ）A. 32x180 B. 32180 C. 3x1802 D. x1802-10、当 x=_时， 4的值与 54x的值相等。 11、如果 x1的值为 0，那么代数式 1x 的值为（ ） 12、在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重 m1克，铜丝重 m2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为 r1cm 和 r2 c
22、m,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为 7.8g/cm3,铜的密度为 8.9g/cm3）正确的回答是（ ）A铁丝为 127.8mrcm 铜丝为 28.9rcm B、铁丝为 12rcm 铜丝为 2rcm学优中考网 C、铁丝为 12mrcm 铜丝为 2rcm D、铁丝为 1mr cm 铜丝为 2r cm二、填空题1.若分式293x的值为零,则 x=_.2.当 x=_时,分式 2x的值为 1.3.已知 a+ 1a=3,则 a2+ =_.4.已知 a2-6a+9 与b-1互为相反数,则式子( ab)(a+b)的值为_.5.已知 1xy,则分式 32xy的值为_.6、关于 x 的分式方程
23、15ax有增根，则 a=_三、解答题1.已知 x= 3+1,求代数式21x的值.2.如图 1-16-1 小明家、王老师家、学校在同一条路上,小明家到王老师家的路程为 3km,王老师家到学校的路程为 0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按照到校,王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的 3 倍,每天比平时步行上班多用了 20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?学 校王 老 师 家小 明 家 3.若 2545310ABxx,试求 A、B 的值.4、关于 x 的方程 23kx会产生增根，求 k 的值5、在“汶川地震”捐款活动中，某同学对
24、甲、乙两班捐款情况进行了统计：甲班捐款人数比乙班捐款人数多 3 人，甲班共捐款 2400 元，乙班共捐款 1800 元，乙班平均每人捐款的钱数是甲班平均每人捐款钱数的 45倍求甲、乙两班各有多少人捐款？6、 在 2008 年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地 15 千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15 分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地已知吉普车速度是抢修车速度的 1.5 倍，求这两种车的速度。答案一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.B 8.A 9.C 10.A 11.B
25、 12.A二、1.3 2.1 3.7 4. 23 5. 5 6. .a=-3三、1. 32.设王老师的步行速度为 xkm/h,则骑自行车速度为 3xkm/h.依题意,得 0.5236x.解得 x=5,经检验:x=5 是所列方程的解,学优中考网 3x=35=15.答:王老师的步行速度及骑自行车速度分别为 5km/h 和 15km/h.3.A=3,B=2.4.k=3 5. 解法一：设乙班有 x人捐款，则甲班有 (3)x人捐款 根据题意得： 2401835xx解这个方程得 4 经检验 是所列方程的根 38x（人）答：甲班有 48 人捐款，乙班有 45 人捐款解法二：设甲班有 x人捐款，则乙班有 (3)x人捐款 根据题意得： 2401853x解这个方程得 4 经检验 是所列方程的根 35x（人）答：甲班有 48 人捐款，乙班有 45 人捐款6.解：设抢修车的速度为 x千米/时，则吉普车的速度为 1.5x千米/时由题意得，15.60x. 解得， 2.经检验， 是原方程的解，并且 20, 1.53x都符合题意. 答：抢修车的的速度为 20 千米/时，吉普车的速度为 30 千米/时.学优中考，网 学优中考网 学优中考 ，网 学!优中考，网
