1、相似图形一、选择题(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分)1. 如图，小正方形的边长均为 1，关于 ABC 和 DEF 的下列说法正确的是( )A ABC 和 DEF 一定不相似 B ABC 和 DEF 是位似图形C ABC 和 DEF 相似且相似比是 12; D ABC 和 DEF 相似且相似比是 142. 已知矩形 ABCD 中， AB1，在 BC 上取一点 E，沿 AE 将 ABE 向上折叠，使 B 点落在 AD上的 F 点，若四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，则 AD( )A . B. C. D25 12 5 12 33如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的
2、，矩形 ABCD 沿 EF 对开后，再把矩形 EFCD 沿 MN 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 等于( )ABADA0.618 B. C. D222 24如图，正方形 ABCD 的两边 BC， AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴， y 轴的正半轴上，正方形 A B C D与正方形 ABCD 是以 AC 的中点 O为中心的位似图形，已知 AC3，若点 A的坐标为(1，2)，则正方形 A B C D与正方形 ABCD 的相似比是( )2A. B. C. D.16 13 12 235. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形， O 为位似中心相似比为 1 ，点 A
3、的2坐标为(1，0)，则 E 点的坐标为( )A( ，0) B( ， ) C( ， ) D(2，2)232 32 2 2二、解答题(本大题共 2 小题，共 30 分)6. (12 分)如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方形的纸片 ABCD，先折出 BC 的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上，折出点 B 的新位置 B，因而EB EB.类似地，在 AB 上折出点 B，使 AB AB，这时 B就是 AB 的黄金分割点，请你证明这个结论7(18 分)如图，正三角形 ABC 的边长为 3 .3(1)如图 1，正方形 EFPN 的顶点 E， F 在边 AB 上，顶点 N
4、在边 AC 上，在正三角形 ABC及其内部，以 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 E F P N，且使正方形E F P N的面积最大(不要求写作法)；(2)求(1)中作出的正方形 E F P N的边长；(3)如图 2，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPN，使得 DE， EF 在边 AB上，点 P， N 分别在边 CB， CA 上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由参考答案1. C 解析：两个三角形的各边长分别是 ，2， 和 2 ，4，2 ，对应边的比是2 10 2 1012，所以 ABC 和 DEF 相似，但对应顶点连线未交于一点，所以
5、ABC 和 DEF 不是位似图形，故选 C.2. B 解析： AB1，设 AD x，则 FD x1， EF1，四边形 EFDC 与矩形 ADCB相似， ，即 ，解得 x2 x10，则 x1 ， x2 (负值舍去)，EFFD ADAB 1x 1 x1 1 52 1 52经检验 x1 是原方程的解1 523. B 解析：由题意得矩形 ABCD 与矩形 AEFB 相似，则 ，ADAB ABAE又 AE AD，所以 AB2 AD2， ，故选 B.12 12 ABAD 224. B 解析：在正方形 ABCD 中， AC3 ， BC AB3，延长 A B交 BC 于点2E，点 A的坐标为(1，2)， OE
6、1， EC A E312，正方形 A B C D的边长为 1，正方形 A B C D与正方形 ABCD 的相似比为 .135. C 解析：由已知得， E 点的横坐标就是点 A 横坐标的 倍，点 E 的纵坐标就是点2C 纵坐标的 倍26. 证明：设正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 BC 的中点， BE1 AE .AB2 BE2 5又 B E BE1， AB AE B E 1.5又 AB AB 1， AB AB( 1)2.(10 分)5 5点 B是线段 AB 的黄金分割点(12 分)7. 解：(1)如图，正方形 E F P N即为的所求(4 分)图(1)图(2)(2)设正方形 E F P
7、N的边长为 x. ABC 为正三角形， AE BF x.33 x x3 . x ，即 x3 3.(8 分)233 3 9 3323 3 3(没有分母有理化也对， x2.20 也正确)(3)如图(2)，连接 NE， EP， PN，则 NEP90.设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、 n(m n)，它们的面积和为 S，则 NEm， PE n.2 2 PN2 NE2 PE22 m22 n22( m2 n2)， S m2 n2 PN2.12延长 PH 交 ND 于点 G，则 PG ND.在 Rt PGN 中， PN2 PG2 GN2( m n)2( m n)2. m m n n 3，33 33 3即 m n3， S .(12 分)92 （ m n） 22当( m n)20，即 m n 时， S 最小， S 最小 .92当( m n)2最大，即当 m 最大且 n 最小时， S 最大 m n3，由(2)知， m 最大 3 3，3 n 最小 3 m 最大 3(3 3)63 .(16 分)3 3 S 最大 9954 .(S 最大 5.47 也正确)(18 分)92 （ 33 3 6 33） 22 3
