1、 直线与圆的位置关系一、选择题1如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（ ）A30 B45 C60 D67.5CDA OPB第 13题图【答案】D【思路分析】如图：PD 切O 于点 C，OCPD，又OC=CD，COD=45，连接AC，AO=CO，ACO=22.5，PCA=90-22.5=67.5故选 D【答案】D【点评】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到 OCPD，然后进行计算求出PCA 的度数1.如图(六)， 为圆 O的直径，直线 ED为圆 O的切线， A、 C两点在BD圆上， 平分 BAD且交 于 F点。若 ADE ，则
2、AFB的度数为何？AC19(A) 97(B) 104(C) 116(D) 142【分析】：利用弦切角定理可得ABD=ADE，BD 是圆的直径，所以BAD= ，BAF=09，045利用内角和定理可得 AFB值。【答案】：C【点评】：本题考查了三角形内角和定理、直径所对的圆周角等于直角、弦切角等知识点。难度中等3.图(十四)中， 、 分别切圆 O1于 A、 D两点， 、 分别切CADCBE圆 O2于 B、 E两点。若1=60 ，2=65 ，判断 、 、 的长度，下列关系何者正确？(A) (B) C(C) (D) ABDEABCD【分析】：1=60 ，2=65 ，ABC= ABBCAC 由切线长定理
3、可知 AC=CD 05BC=CE 【答案】：A【点评】：本题考察了三角形内角和定理、切线长定理，大边对大角。难度中等4.如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，交 AB的延长线于 D，且 CO=CD，则PCA=（ ）DCP第 13题图A BOA30 B45 C60 D67.5【解题思路】PD 切O 于点 C，交 AB的延长线于 D，且 CO=CD得COD=45、PCO=90。再由 OA=OC，及外角知识得ACO=22.5；又PCA+ACO=90，所以PCA=90-ACO=67.5。另外也可考虑直径条件连结 BC求解。【答案】D【点评】本题切线的性质和等边对等角及外角、余角等边角之间的关
4、系。只要充分挖掘条件和图形中边角的内在联系就可顺利求解。难度较小。1.如图，在平面直角坐标系中， P的圆心是（2， a）( a2)，半径为 2，函数 y=x的图象被 P的弦 AB的长为 ，则 a的值是3A B C D2333(第 6 题)ABBPxyy=x【解题思路】由图形易知半径为 2，再根据垂径定理可求出 a.【答案】B【点评】本题在直角坐标系中考查了直线和圆的位置关系及圆的有关性质，是一道好题.11如图，PA、PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，P=50，则BOC 的度数为A50 B25 C40 D60【解题思路】由 PA、PB 是O 的切线，根据切线的性质得到OAP=OBP=90，
5、再根据四边形的内角和为 360可得到AOB，而 AC是O 的直径，根据互补即可得到BOC 的度数【答案】PA、PB 是O 的切线，OAP=OBP=90，而P=50，AOB=360-90-90-50=130，又AC 是O 的直径，BOC=180-130=50故选 A【点评】本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了四边形的内角和为 360难度中等2.如图，AB 是O 的直径，点 D在 AB的延长线上，DC 切O 于点 C，若A=25，则D等于（ ）A. 20 B. 30 C. 40 D. 50ABD OC【解题思路】连结 OC，因为A=25则DOC=2A =50，又因为 DC
6、切O 于点 C，知DCO=90，所以D=90-50=40，故选项 C正确，其余选项不正确.【答案】C【点评】本题考查了圆的切线的性质，解此类问题常见辅助线的作法是作过切点的半径难度较小二、填空题如图，从 O外一点 A引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO并延长交圆于点 C，连接 BC若 A26，则 ACB的度数为 O CBA（第 17题）【解题思路】连接 OB，因为 AB是 O的切线，点 B是切点，所以 ABO90 A26，所以 AOB64因为 OB=OC，所以 OCB OBC AOB32，即 ACB3212【答案】32【点评】本题主要考查了圆的切线的性质和三角形的角的有关计算解答此类几何知
7、识的综合运用问题，要熟练掌握几何知识难度中等偏上如图，已知 AB是O 的一条直径，延长 AB至 C点，使得 AC=3BC，CD 与O 相切，切点为 D，若 CD= ，则线段 BC的长度等于 . 3【解题思路】连接 OD,设圆的半径为 r, 因为 CD与O 相切, AC=3BC，根据三角形知识解得答案.【答案】1【点评】这是圆与三角形相结合的题目，理清它们之间的关系是解题的关键.1.如图，已知 PA、PB 分别切 O于点 A、B，点 C在 O上，BCA ，则P 65。BCP OA【解题思路】连结 OA、OB, PA、PB 是 O的切线，OAP=OBP= ,则P=09,BCA , ,所以 。AO0
8、18A21013B05p【答案】 5【点评】本题考查了圆的切线的性质和圆周角与圆心角关系等知识点，通过连结过切点的半径，建起圆周角与圆心角联系的桥梁，从而达到解题的目的。难度中等。3.如图，AB 与O 相切于点 B，AO 的延长线交O 于点 C若A=40，则C=_【解题思路】连接 OB，由 AB与O 相切知：OBAB，所以AOB=90-A=50，再根据圆题 9 图BC O APOC BA半径相等可得C=OBC，利用外角性质得：AOB=OBC+C，即C=25.【答案】25【点评】过切点连半径是在直线与圆相切中常见的辅助线通过作出辅助线，构造直角三角形，从而解决问题难度中等1.如图， P是 O的直
9、径 AB延长线上的一点，PC与 O相切于点 C，若 P=20，则 A=_.【解题思路】根据圆的切线性质可知，PCOC，于是由直角三角形两锐角互余，COA=90-20=70.因为AOC 为等腰三角形，据三角形外角可求出A=35.【答案】35【点评】本题涉及到圆的切线性质，三角形内角和与外角等知识考查.本题运用圆的切线性质是关键，圆的切线是圆的重点内容之一，也是中考考点内容之一，该题难度较小.2.如图，直径分别为 CD、CE 的两个半圆相切于点 C，大半圆 M的弦 AB与小半圆 N相切于点 F，且 ABCD，AB=4，设 、 的长分别为 x、y，线段 ED的长为 Z，则 Z（x+y）的CDE值为_
10、.【解题思路】联系课本中 的解题思路,可过点 M作 MQAB 于点 Q,则有 22+( )2=( )yx2,即 x+y= ,而 Z=ED= - = ,所以 Z（x+y）的值为 =8yx24xy2)(x4.【答案】8【点评】本题以课本原题为母题进行变式，巧妙地考查了垂径定理，勾股定理和圆的周长公式等其中，恒等变形是解题的关键.难度较小13如图，PA,PB 是O 是切线，A,B 为切点， AC 是O 的直径，若BAC=25 0，则P= ODCBA（第 18 题）P_度。【解题思路】连结 OP，由切线长定理，切线性质，及三角形性质可得：2250APBOAB【答案】50【点评】利用切线的性质时，常连结
11、圆心与切点。从圆外一点引圆的两条切线时应考虑到圆切线长定理。10如图， CB切 O于点 B， CA交 O于点 D且 AB为 O 的直径，点 E是 ABD上异于点 A、 D的一点若 C40，则 E的度数为 .【解题思路】连接 BD，则 ADB90， ABD E.因为 CB切 O于点 B， 所以 ABC=90.因为 C40，所以 BAC50.所以 ABD E40【答案】40【点评】本题考查了圆周角性质:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于 90以及切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径三、解答题如图，在 ABC中， C= 90，以 AB上一点 O为圆心， OA长为半径
12、的圆与 BC相切于点D，分别交 AC、 AB于点 E、 F（1）若 AC=6， AB= 10，求 O的半径；（2）连接 OE、 ED、 DF、 EF若四边形 BDEF是平行四边形，试判断四边形 OFDE的形状，并说明理由 AEC DF BO【解题思路】第（1）题连结 OD，证 OBD ABC，根据对应线段成比例列出方程即可求解；第（2）题先证四边形 OFDE是平行四边形，在利用邻边相等可知其为菱形。证其为平行四边形时可以利用“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半”得 ODE= DOB=60，可得 ODE是等边三角形，所以 DE=OF，所以四边形 OFDE是平行四边形也可证 Rt AEF
13、Rt ODB，所以 ED=FB= OF，所以四边形 OFDE是平行四边形难度中等【答案】解：（1）连接 OD. 设 O的半径为 r. BC切 O于点 D， OD BC. C=90， OD AC， OBD ABC. = ，即 = . 解得 r = ，ODAC OBAB r6 10-r10 154 O的半径为 . 154（2）四边形 OFDE是菱形. 四边形 BDEF是平行四边形， DEF= B. DEF= DOB， B= DOB.12 12 ODB=90， DOB+ B=90， DOB=60. DE AB， ODE=60. OD=OE， ODE是等边三角形. OD=DE. OD=OF， DE=O
14、F.四边形 OFDE是平行四边形. OE=OF，平行四边形 OFDE是菱形.【点评】本题综合考查了圆的切线的性质、全等三角形、相似三角形与方程、平行四边形以及菱形的相关知识。圆中已知切线，作切点所在的半径是常见的做辅助线的方法。第（2）中求解时要充分利用平行四边形与圆的基本性质，仔细分析图形，找出其中相等的线段求解O BFDCEACODBPA已知 AOB60，半径为 3cm的 P沿边 OA从右向左平行移动，与边 OA相切的切点记为点 C（1） P移动到与边 OB相切时（如图） ，切点为 D，求劣弧 的长；CD （2） P移动到与边 OB相交于点 E， F，若 EF4 cm，求 OC的长；2【解
15、题思路】对于（1） ，连接 PC， PD， 则可求出 CPD120，用弧长公式，可求得劣弧的长；对于（2） ，用垂径定理及勾股定理可求出点 P到 OB的距离，以 OC为直角边构造CD 直接三角形，利用三角函数可以求出 OC的长。【答案】解：（1）连接 PC， PD（如图） OA， OB与 P分别相切于点 C， D PDO PCO90，又 PDO PCO CPD AOB360 AOB60 CPD120l 2 CD 120 3180（2）可分两种情况 如答图 2，连接 PE， PC，过点 P作 PM EF于点 M，延长 CP交 OB于点 N EF4 ， EM2 cm2 2在 Rt EPM中， PM
16、 1 AOB60， PNM30 PN2 PM2 NC PN PC5在 Rt OCN中， OC NCtan305 33(cm)5 33 如答图 3，连接 PE， PC， PC交 EF于点 N，过点P作 PM EF于点 M由上一种情况可知，PN2， NC PC PN1在 Rt OCN中， OC NCtan301 (cm)33 33综上所述， OC的长为 cm或 cm5 33 33【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、三角函数、垂径定理及勾股定理等综合应用能力，考察运动观点及分类思想方法。是一道有较好区分度的综合题目。难度中等。(本题满分 10分)如图，AD 是O 的弦，AB 经过圆心 O，交O
17、于点 CDAB=B=30(1)直线 BD是否与O 相切?为什么?(2)连接 CD，若 CD=5,求 AB的长CO BAD【解题思路】 （1）由题意，直线 BD与O 有公共点 D，故连接 OD，通过判断 OD与 BD是否垂直来判断 BD是否圆的切线。DAB=30，由“同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的 2倍”得DOB=60又B=30ODB=90，即 ODBD，故 BD是O 的切线；（2）由于直径所对的圆周角是直角，又DAB=30，得 AC=2CD=10，则 OA=OD=5，又B=30，所以 BO=2OD=10，故 AB=15。【答案】 （1）连接 OD，DAB=30，DOB=60，又B=30O
18、DB=90，即ODBD，故 BD是O 的切线；（2）连 CD，则ADC=90，又DAB=30，得 AC=2CD=10，则 OA=OD=5，又B=30，所以 BO=2OD=10，故 AB=15。【点评】本例考查圆的有关性质的应用和切线的判定方法，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法。难度中等。1. 如图，已知直线 交 O于 A、 B两点， AE是 O的直径,点 C为 O上一点，且 ACP平分 PAE，过 C作 ，垂足为 D.(1) 求证： CD为 O的切线；(2) 若 DC+DA=6， O的直径为 10，求 AB的长度.【解题思路】(1)连接 OC，只要证明 OCCD，根据切线的判定定理即可得：
19、CD为 O的切线. (2)在(1)的求解基础上，观察图形，过点 O作弦 AB的垂线段 OF，即可得到矩形，还可以用垂径定理，同时又能构造出求 AB长的直角三角形，因此这条辅助线的作出解题的关键.【答案】 （1）证明：连接 OC，因为点 C在 O上， OA=OC，所以 因为 ，所以 ，.OCACDPA90C有 .因为 AC平分 PAE，所以90CAD .DACO所以 90.OAC又因为点 C在 O上， OC为 O的半径，所以 CD为 O的切线.（2）解:过 O作 ，垂足为 F，所以 ，FBCAF所以四边形 OCDF为矩形，所以 ,.D因为 DC+DA=6，设 ,则Ax6x因为 O的直径为 10，
20、所以 ，所以 .5FO5AFx在 中，由勾股定理知RtF 22.即 化简得 ，22565.x180x解得 或 x=9. 由 ，知 ，故 .ADF0x2从而 AD=2， 523.因为 ，由垂径定理知 F为 AB的中点，所以 .OB26ABF【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理、垂径定理等知识，是一道集推理和计算为一体的平面几何题，解题策略的选择和方程思想的运用也是考查的重点.难度较大.5. （2011 清远，22，8 分）如图 7，AB 是 的直径，AC 与 相切，切点为 A，D 为oAoA上一点，AD 与 OC相交于点 E，且oA .DBC（1）求证： ; /OCB（2）若 AO=5，AD=
21、8，求线段 CE的长。OE DCBA【解题思路】已知 AC与 相切可得： ,则 ,oA90OAC 90DABC又有 ，则 , AB是 的直径得： 。.DABC90ADoA90D则 ，所以 。90E/OB由（1）中 ，得AOEABD，得/ 12EO,在 RtABD 中， ,则得 OE=3221086BDA由题易证：ABDCOA,得 得 CO= ,即得 CE长CB53【答案】 （1）证明： AC与 相切 ，则o9OA 90BADC， ，.A0EAB是 的直径， ，90ECD/OCBD（2）解：由（1）中 ，得AOEABD，得/B12EAO在 RtABD 中， ,则得221086A32OEBD, ,
22、.AC9ODABDCOA ，即 ，得 CO= BA5610CO25323E【点评】本题综合考查了平行线性质、切线的性质、圆周角定理推论、勾股定理、相似三角形等内容。第（1）小题属于常规经典题型，第（2）小题综合运用了两次相似三角形的判定和性质。综合性较强，难度较大。6.如图，已知O 的半径为 2，弦 BC的长为 ，点 A为弦 BC所对优弧上任意一点32（B，C 两点除外） 求BAC 的度数；求ABC 面积的最大值（参考数据：sin60= ，cos30= ，tan30= ）23233【解题思路】 （1）BAC 是一个圆周，要求BAC 的度数，可利用圆周角定理，先求出圆心角BOC 的度数， 结合已
23、知条件，可以过点 O作 OD垂直于 BC，由垂径定理以及边角之间的关系，得DOC=60，所以BAC=60， （2）点 A是个动点，但ABC 的边 BC不变，要求面积的最大值，只有当点 A到 BC的距离最大时，即当点 A在优弧 BC的中点时， ，由（1）可知此时ABC 是等边三角形【答案】 （1）过点 O作 OD BC于点 D, 连接 OA.因为 BC= ，所以 CD= = .2312BC3又 OC=2，所以 = ，即 = ，sinD sinDO 32所以 DOC=60.又 ODBC，所以 BAC= DOC=60.（2）因为ABC 中的边 BC的长不变，所以底边上的高最大时， ABC面积的最大值
24、,即点A是 的中点时， ABC面积的最大值.BC因为 BAC=60，所以 ABC是等边三角形，在 Rt ADC中， AC= ， DC= ,23所以 AD= = =3.ACD-2()3-所以 ABC面积的最大值为 3 =3 .1【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊角的三角函数值以及运动中的最值问题，有关弦的问题常作弦心距转化为直角三角形解决，在解题过程中要注意点的坐标与线段的长之间互相转化难度中等，2.如图，在单位长度为 1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 A、B、C.（1）请完成如下操作：以点 O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；用直
25、尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心 D的位置（不用写作法，保留作图痕迹） ，并连结 AD、CD.(2)请在（1）的基础上，完成下列问题：写出点的坐标：C 、D ；D 的半径= （结果保留根号） ；若扇形 ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为 （结果保留） ；若 E（7,0） ，试判断直线 EC与D 的位置关系并说明你的理由.【解题思路】 （1）C（6，2） ，弦 AB，BC 的垂直平分线的交点得出 D（2，0） ；（2）OA，OD长已知，OAD 中勾股定理求出D 的半径=2 ；（3）求出ADC 的度数，得弧 ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积；（4）CDE 中根据
26、勾股定理的逆定理得DCE=90，直线 EC与D 相切【答案】 （1）解：C（6，2） ；D（2，0） ；.（2）解：D 的半径= = =2 ；（3）解：AC= =2 ，CD=2 ， ，ADC=9022ADC扇形 ADC的弧长= = ，圆锥的底面的半径= ，圆锥的底面的面积为 （ ）2= ；（4）直线 EC与D 相切证明： =25，DCE=90直线 EC与D 相切22CDE【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强，圆的圆心 D的确定是关键难度中等.3.已知：如图，在 ABC中， BC=AC，以 BC为直径的 O与边 AB相交于点 D， DE AC，垂足为点 E求证：点 D是 AB
27、的中点；判断 DE与 O的位置关系，并证明你的结论；若 O的直径为18， cosB = ，求 DE的长31【解题思路】 （1）连接 CD,则 CD ，由等腰三角形三线合一可知点 D是 AB的中点。AB（2）D 是圆上一点“连半径，证垂直” ，连接 OD， 则 DO是 ABC的中位线， DO AC，所以DE 即 DE是 O的切线。 （3）由 cosB = ，可得 BD=6， cosA= ，则 AD=6，在3131中利用边角关系可求出 DE。AERt【答案】 （1）证明：连接 CD,则 CD ， 又 AC = BC， CD = CD， AB CDtBt AD = BD ， 即点 D是 AB的中点（
28、2） DE是 O的切线 理由是：连接 OD, 则 DO是 ABC的中位线， DO AC ， 又 DE ；AC DE 即 DE是 O的切线；D（3） AC = BC， B = A ， cos B = cos A = ， cos B 31= ， BC = 18，1BC BD = 6 ， AD = 6 ， cos A = ， AE = 2，31DE在 中， DE= AEDRt242E【点评】本题主要考查与圆有关的证明与计算，涉及到等腰三角形三线合一、中位线定理、锐角三角函数等知识，关键在于结合图形分析问题，同时要根据题的特征作出适当的辅助线，如本题要判定 DE与 O的位置关系，我们由图初步判定相切，
29、进而想到连接 OD的辅助线。难度中等。22 （2011 辽宁大连，22，9 分）如图 9， AB是 O的直径， CD是 O的切线，切点为C， BE CD，垂足为 E，连接 AC、 BC ABC的形状是_，理由是_；求证： BC平分 ABE；若 A60， OA2，求 CE的长EDCBA O图 9【解题思路】 （1）直径所对圆周角是直角；（2）欲证1=2，只需证1、2 都和3 相等即可（3）根据条件在 RtABC 求出 BC的长度，再在 RtBEC 中求出 CE的长度即可。【答案】 （1）直角三角形，直径所对圆周角是直角；（2）BECD，CEB=90，CD 为切线，OCDE，OCD=90CEB=O
30、CDOCBE，2=3，OC=OB，1=3，1=2，即 BC平分 ABE（3）在 RtABC 中A=60， OA2，AB=2OA=4，1=9060=30，BC=ABsin60= 32由（2）可知：2=1=30，在 RtBCE 中，CE=BEsin30= 321【点评】本题是圆的一个综合题，涉及到两个重要的规律，一是遇到直径想直径所对圆周角，二是遇到切线，想连接过切点的半径，再有做题过程中，遇到平行线、角平分线、等腰三角形中的两个，一定有第三个；本题还是圆与直角三角形结合点，涉及到了解直角三角形难度中等21如图，在 RtABC 中,ACB90 D是 AB 边上的一点，以 BD为直径的 0 与边 A
31、C 0相切于点 E，连结 DE并延长，与 BC的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长【解题思路】(1)连接 OE.AC 切0 于点 EOEAC 则AEO= 09ACB90 0AEO=ACBOEBFOED=FOE=ODODE=OEDF=ODEBD = BF(2)由（1）得：设 BF = BD等于 2xOEBF AOEABC 即BCOEA128x解得： )(6不 符 合 题 意 ， 舍 去或 xBF 的长为 8.【答案】(2)8【点评】本题主要考查了切线的性质、等角对等边、三角形相似的判定及其性质的运用，比较综合
32、的运用了初中数学知识解决数学问题，难度中等.22本题满分 12分）如图，在梯形 ABCD中， AB/CD， BAD90，以 AD为直径的半圆O与 BC相切(1)求证： OB丄 OC；(2)若 AD12， BCD60，O 1与半O 外切，并与 BC、 CD相切，求O 1的面积【解题思路】(1)设半圆 O与直线 BC的切点为 F，连接切点与圆心，把BOC 分成两个角FOB 和FOC，然后由“HL”定理或“SSS”定理证明 RtAOBRtFOB，RtCODRtCOF，得出BOC90(2)由切线长定理得出DCOBCO30，得出DC12过点 O1做 O1GDC，设 O1Gx，由直角三角形的性质得出 O1
33、C2O 1G2x由两圆的连心线经过切点，得出 O1C6x，由此构建方程 2x6x，解方程求出 x的值，然后根据圆的面积公式计算出O 1的面积【答案】 （1）方法一：证明：设半圆 O与 BC切于 F，连接 OFAD 是半圆 O的直径，BAD90，AB 与半圆 O相切于点 A AB/CD，BAD90，ADC90，CD 于半圆 O切于 D半圆 O与 BC切于 F，OFBC，BABF，FCCD在 RtAOB 和 RtFOB 中，AB=.，AOBFOB（HL） FOBAOB同理 RtCODRtCOF，FOCDOCFOB+FOCAOB+DOC又FOB+FOC+AOB+DOC180，BOCFOB+FOC90
34、，即 OBOC方法二：证明：设半圆 O与 BC切于 F，连接 OFAD 是半圆 O的直径，BAD90，AB 与半圆 O相切于点 A AB/CD，BAD90，ADC90，CD 于半圆 O切于 D半圆 O与 BC切于 F，OFBC，即OFBOFC90又OAOFOD，在 RtAOB 和 RtFOB 中AO=FB.，RtAOBRtFOB（HL）FOBAOB同理 RtCODRtCOF，FOCDOCFOB+FOCAOB+DOC又FOB+FOC+AOB+DOC180，BOCFOB+FOC90，即 OBOCF(2)过点 O1做 O1GDCCD 与O 1相切，O 1G是O 1的半径DOB60，DCOBCO30A
35、D12，OD6OC12设 O1Gx，O 1C2x，又O1C6x，2x6x，解得 x2，即O 1的半径为 2O 1的面积为 2 24【点评】本题主要考查了梯形、圆的有关知识的综合运用，圆的切线经过半径的外端，且垂直于半径；过圆心作切线的垂线段，则垂线段等于半径；证明垂直，可以把相交成的角分成两个角，证明这两个角的和等于平角的一半，即可得证24 （2011 年内蒙古呼和浩特，24，8）如图所示, AC为 O的直径,且 PA AC,BC是 O的一条弦,直线 PB交直线 AC于点 D, .23CBPO(1)求证:直线 PB是 O的切线；(2)求 cos BCA的值.【解题思路】第(1)小题要证切线,须
36、连半径,证垂直.连接 、 ,证明 OBPBO即可；第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求 的余弦AOP A值,在 中,设出 ,根据已知条件用含 的代数式表示边 OA、 OPRtPAaa的长,再利用三角函数求之.【答案】(1)证明:连接 OB、 OP (1分) 且 D= D23CDBPO BDC PDO DBC= DPO BC OP BCO= POA CBO= BOP OB=OC OCB= CBO BOP= POA又 OB=OA OP=OP BOP AOP PBO= PAO又 PA AC PBO=90直线 PB是 O的切线 (4 分)ABC ODPABC ODP(2)由(1)知 BCO=
37、 POA设 PB ,则a2BD又 PA又 BC OP 2DCO 12Aa 2 6OPacos BCA=cos POA= (8分)3(注:其他解法依据情况酌情给分)【点评】本题以基本图形:三角形与圆相结合为背景,综合考查了圆的切线的判定定理、平行线的判定与性质、三角形的相似与全等、等腰三角形性质、锐角三角函数、勾股定理等知识,知识点丰富；考查了学生综合运用知识以及转化思想来解决问题的能力.2 个小题设问方式较常规,为学生熟知,能让学生正常发挥自己的思维水平.对于在几何图形的证明与求解中,辅助线的添加成为部分学生的一大难题,本题中的 2条辅助线添法是关键,就这 2条辅助线就可以将中下层面的学生拒之
38、题外.难度较大.29如图 8所示 P是 O 外一点 PA是 O 的切线 A是切点 B是 O 上一点且PA=PB，连接 AO、 BO、 AB，并延长 BO与切线 PA相交于点 Q（1）求证： PB是 O 的切线；（2）求证： AQPQ= OQBQ； （3）设 AOQ= 若 cos = OQ= 15求 AB的长45_Q_P_O_B_A图8【解题思路】1）利用切线的定义证明切线2）利用相似三角形证明3）利用三角函数【答案】 （1）证明：如图，连结 OP PA=PB， AO=BO， PO=PO APO BPO PBO= PAO=90 PB是 O 的切线（2）证明： OAQ= PBQ=90 QPB QO
39、A 即 AQPQ= OQBQPQBOA（3）解：cos = = AO=1245 QPB QOA BPQ= AOQ=tan BPQ= = PB=36 PO=12BQP3410 ABPO= OBBP AB=1265_Q_P_O_B_A图8【点评】本题考查了相似三角形、切线的判定、锐角三角函数等相关知识24.如图（13） ，D 为 O上一点，点 C在直径 BA的延长线上，且CDA=CBD.(1)求证:CD 是 O的切线;(2)过点 B作 O的切线交 CD的延长线于点 E,若 BC=6,tanCDA= ,求 BE的长23【解题思路】：(1)连接 OD，只要证明 ODCE，即可说明 CD为切线；（2）根
40、据已知条件可判断CADCDB；连接 OE，可得：CDA=BEO,设 OB=2x,BE=3x,利用相似得出的比例关系，求出 x的值。【答案】 （1）证明：连接 OD，CBD=BD0，线段 AB是直径，ADB=90 0，ADO+ODB=90 0，又CDA=CBD，CBD=BD0，CDA+BD0=90 0，即CDO=90 0，CD 是 O的切线;(2)CDA=CBD.C 是公共角，CADCDB,CD 2=CACB,连接 OE，BE 是 O的切线，tanCDA= ,设 OB=2x,BE=3x,CD 2=6(6-4x)=36-24x,又CODCEB, =23 CBD,即 16=36-24x,解得：x=
41、,BE=2x=2.5.BEOD65【点评】本题是一道圆与三角形的综合性题目，解题的关键是借助辅助线构建新的直角三角形，推出角的关系，利用三角形的相似，得出比例关系式，利用三角函数的边角关系，设出边的长度，代入比例式运算求值。本 题 难度较大。2.如 图 ， PA 为 O 的 切 线 ， A 为 切 点 .过 A 作 OP 的 垂 线 AB， 垂 足 为 点 C， 交 O 于 点 B.延 长 BO 与 O 交 于 点 D， 与 PA 的 延长 线 交 于 点 E.（ 1） 求 证 ： PB 为 O 的 切 线 ；（ 2） 若 tan ABE= ， 求 sinE 的 值 .21分 析 ： 判 定
42、切 线 的 方 法 及 锐 角 三 角 函 数 之 间 的 关 系 。答 案 ： （ 1） 证 明 ： 连 接 OA PA 为 O 的 切 线 ， PAO=90 OA OB， OP AB 于 C BC CA， PB PA PBO PAO PBO PAO 90 PB 为 O 的 切 线（ 2） 解 法 1： 连 接 AD， BD 是 直 径 ， BAD 90由 （ 1） 知 BCO 90 AD OP ADE POE EA/EP AD/OP 由 AD OC 得 AD 2OC tan ABE=1/2 OC/BC=1/2， 设 OC t,则 BC 2t,AD=2t 由 PBC BOC， 得PC 2BC
43、 4t， OP 5t EA/EP=AD/OP=2/5， 可 设 EA 2m,EP=5m,则 PA=3m PA=PB PB=3m sinE=PB/EP=3/5（ 2） 解 法 2： 连 接 AD， 则 BAD 90由 （ 1） 知 BCO 90 由AD OC， AD 2OC tan ABE=1/2, OC/BC=1/2,设OC t， BC 2t， AB=4t 由 PBC BOC， 得 PC 2BC 4t， PA PB 2 t 过 A 作 AF PB 于 F， 则 AFPB=ABPC5 AF= t 进 而 由 勾 股 定 理 得 PF t856 sinE=sin FAP=PF/PA=3/5点 评
44、： 本 题 难 度 中 ， 是 圆 与 直 角 三 角 形 的 综 合 题 。1 （本小题满分 8分）如图 12，ABC 内接于O，CA=CB，CDAB 且与 OA的延长线交于点 D （1）CD 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ACB=120 0 ，OA=2，求 CD的长【解题思路】本题主要考查垂径定理、直线和圆的位置关系及三角函数第（1）问，要证直线 CD与O 相切，只需连结 OC，说明 OCAB 即可第（2）问，由于 CD在 RtDOC 中，且 OC=OA=2，故只需再求此三角形的一边或一角，利用直角三角形边角关系便可求出 CD的长 由OACOBC 易得DOC=60 0，在 RtDOC 中，运用关系式 tanDOC= 便可得DCODC的长【答案】解（1）CD 与O 相切理由：连结 OCCA=CB ，ACBOCAB，CDAB，OCC
