1、 动态问题1 （2011 山东聊城 24，12 分） （本题共 12 分）如图，在矩形 中， ，ABCDcm12,点 、 、 分别从点 、 、 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向cmBC8EFGABC移动，点 、 的速度均为 2cm/s，点 的速度为 4cm/s，当点 追上点 （即点 与FFGF点重合）时，三个点随之停止移动，设移动开始第 t 秒时， 的面积为 。G E)(2S（1）当 时， 的值是多少？tS（2）写出 和 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围。t（3）若点 在矩形的边 上移动时，当 为何值时，以点 、 、 为顶点的三角形FBCtB与以 、 、 为顶点的三角形相似？请说
2、明理由。【解题思路】(1)根据移动时间和移动速度，可以求得 BE、BF、FC 和 CG 的长度，计算出梯形 EBCG 和三角形 BEF、三角形 FCG 的面积，从而求出 的面积为 的值。EFG)(2cmS（2）由题意知移动时间 的取值范围是 ，当 时，图形如上图，此时t0t40t可以用含有 的代数式表示出 BE、BF、FC 和 CG 的长度，进而表示 的面积 ；当t 时，图形如下，此时可以用含有 的代数式表示出 的长度，从而表示出出4的面积为 的值。EFGSGFEDCBA（3）用含有 的代数式表示出 BE、BF、FC 和 CG 的长度，由于两三角形对应关系的不确定，t需要分来两种情况进行讨论。
3、【答案】解：（1） 时， , , 。则 ,12AE4BF2CG102BE.48F梯形 EBCG 的面积为 ,8)10()(的面积为 ,BE242BFBACGD25 题图的面积为 ,CFG42121CGF .4048S(2) 当点 在 时，此时 .B0t, , 。则 , .tAEt tBEtCF48梯形 EBCG 的面积为 ,)21()(21的面积为 ,F ttF42的面积为 ,CGCG8)8(2 。34)24(822tttS即 （ ） 。32t0当点 在 时，此时 。FCDt， ，tG84t 。tt2)(2的面积为 。E 32811tB即 （ ） 。38tSt4（3）点 在矩形的边 上移动时，
4、此时 。FC0t若 ,即 。解得 。GBt23又 满足 ，所以当 时， ；2t0t EBFCG若 ,即 。解得 。CFEtt4812t又 满足 ，所以当 时， ；23t23综上可知，当 或 时，以点 、 、 为顶点的三角形与以 、 、 为顶点ttEBFFCG的三角形相似。【点评】本题是当前的热点问题，动态几何探究综合题，需要综合运用相似等知识以及分类讨论的数学思想，意在考查学生逻辑推理能力、探究发现能力、灵活利用数学知识解决问题的能力。2.（2011 年四川省南充市 21 题 8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC, AD=AB=CD=2, C=60 0, M 是 BC 的中点。（1）
5、求证：MDC 是等边三角形；（2）将MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC)同时与 AD 交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成AEF.试探究AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF 周长的最小值。DCMFEDCBA【解题思路】此题边长给出较多，因而可从边长入手；由图形中的特殊的边角关系，利用全等变换，等量代换寻求周长的最小值。【答案】证明：过点 D 作 DPBC 于点 P，过点 A 作 AQBC 于点 Q，C=B =60CP=BQ= ,CP+BQ=AB12B又ADPQ 是矩形,AD=PQ,BC=2AD,由
6、已知，点 M 是BC 的中点，BM=CM=AD=AB=CD，即MDC 中，CM=CD,C=60，故MDC 是等边三角形.（2）解：AEF 的周长存在最小值，理由如下：连结 AM，由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，MAB，MAD 和MCD是等边三角形，BMA=BME+AME=60，EMF=AMF+AME=60BME=AMF 在BME 与AMF 中，BM=AM,EBM=FAM=60BMEAMF(ASA)BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=ABEMF=DMC=60,故EMF 是等边三角形，EF=MFMF 的最小值为点 M 到 AD 的距离为 ，即 EF 的最小值是 。33AEF 的周
7、长=AE+AF+EF=AB+EF,AEF 周长的最小值为 2【点评】等边三角形的判定方法一般有两种：一是三个角都相等的三角形是等边三角形，二是有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。梯形中常用辅助线把梯形问题转化为三角形和平行四边形问题去解决。FEDPQ MDCABC3 （2011 山东潍坊，23，11 分）如图， AB 是半圆 O 的直径， AB=2射线 AM、 BN 为半圆的切线在 AM 上取一点 D，连接 BD 交半圆于点 C，连接 AC过 O 点作 BC 的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F过 D 点做半圆的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点Q（1）求证： AB
8、C OFB ；（2）当 ABD 与 BFO 的面积相等时，求 BQ 的长；（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（ A 点除外） ，点 Q 始终是线段 BF 的中点【解题思路】 （1）要证ABCOFB，易证ACB=OBF=90，由 ACBD 和OFBD，得 ACOF，所以BAC=FOB，利用“两角对应相等，两三角形相似 ”即可证得；（2）连接 OP，由 DP、DA 是切线，可知DAB=OPD=90 ，由 ABD 与BFO的面积相等，且（1）得ABCOFB，可知ABCOFB ，所以 OA=OB，因此OA=OP=AD=DP=1，从而得证四边形 OADP 是正方形，所以 DPAB，进而确定BQ=AD
9、=1；（3）过点 Q 作 AM 的垂线 QK，由（1）ABCOFB ，得 ，而BFAODOB=1，所以 ，利用切线长定理易证：AD=DP， QB=QP，再利用勾股定理，确2BFAD定 ， ，进而得证结论1【答案】解：（1）证明： AB 为直径， ACB=90，即 AC BC又 OE BC， OE/AC， BAC= FOB BN 是半圆的切线，故 BCA= OBF=90 ACB OBF（2）由 ACB OBF，得 OFB= DBA， DAB= OBF=90， ABD BFO，当 ABD 与 BFO 的面积相等时， ABD BFO AD=BO= AB =11DAAB，DA 为O 的切线连接 OP，
10、 DP 是半圆 O 的切线，DA=DP=1，DA=AO=OP=DP=1，四边形 ADPO 为正方形DP/AB，四边形 DABQ 为矩形 BQ=AD=1（3）由（2）知， ABD BFO， ， BFAOD2 DPQ 是半圆 O 的切线， AD=DP， QB=QP过点 Q 作 AM 的垂线 QK，垂足为 K，在 Rt DQK 中， ，22DQK ，22ABQ ， BF=2BQ， Q 为 BF 的中点1D【点拨】本题考查了相似三角形、切线长定理、勾股定理等知识，综合性较强在解题时要注意利用已知条件，构建模型，第三问是动点移动问题，解决时要把动点转化为静点来分析难度较大4 （2011 广东省，21，9
11、 分）如图（1） ，ABC 与EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90，固定ABC，将DEF 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE，DF(或它们的延长线)分别交 BC(或它的延长线) 于 G，H 点，如图(2)（1）问：始终与AGC 相似的三角形有HAB 及HGA；（2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） ；（3）问：当 x 为何值时，AGH 是等腰三角形.【解题思路】第（1）小题可以利用角的关系来证明，也可以考虑先证明
12、DEBC,还可以考虑用三角形的中位线来证明第（2）小题关键之处在于要分顶点的两种不同对应关系题 21 图(1)B HFA（D）G CEC（E）BFA（D）题 21 图(2)来讨论第（3）小题当“四边形 MEND 与BDE 的面积相等”相等时可带来 DME,可以推证得到 DE=BE,DM=BM.对于本题，还有很重要的一点那就是 BEM B，它的三边之比是 3:4:5.综合这些结论可以通过列方程等方法解决本题.CA【答案】 （1）HAB 及HGA（2）由AGCHAB，得 AC/HB=GC/AB，即 9/y=x/9，故 y=81/x (00） ，MPQ 的面积为 S.（1）点 C 的坐标为 ，直线
13、l 的解析式为 （2）试求出点 Q 与点 M 相遇前 S 与 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围。（3）试求题（2）中当 t 为何值时，S 的值最大，并求出 S 的最大值。（4）随着 P、Q 两点的运动，当点 M 在线段 CB 上运动时，设 PM 的延长线与直线 l 交于点N，试探究：当 t 为何值时，QMN 为等腰三角形，请直接写出 t 的值。【解题思路】 （1）A 的坐标为（8，0） ，B 的坐标为（11，4）由平行四边形的性质可知点 C的坐标为（3，4） ，又 O（0,0）所以直线 l 的解析式为 。 （2）由题意可知随着x34yP、Q 两点的运动MPQ 的形状也在发生变化，
14、所以我们要分情况讨论，易求出AB=OC=5，OP=t，AQ=2t，OM= t，Q 与 B 重合时 2t =5，t= ，M 与 C 重合时，Q 在 AB 上，355t =5，t=3，点 Q 与点 M 相遇时，162t=t， t= 。Q 在 AB 上时，如图35 3161，0t ，M 在 OC 上时，如图 2， t3，M、Q 两点都在 CB 上时，如图 3，3t2。 （3）根据（2）中 S 的三种情况，分别求出 S 的最大值，然后比较，求出最大值。6（4）由题意可知NMQ=90，QMN 为直角三角形，要使QMN 为等腰三角形，只需MN=MQ，OP=t，PN= ，又PM=4，MN= 4，CM= （
15、4） ，Q 的速度是t34t3t32，AB+BQ=2t，BQ=2t5，MQ=BCCMBQ= 8 （ 4）（2t5）3t=163t， 4=163t，t= 。t341360【答案】解：（1）点 C 的坐标为（3，4） ，直线 l 的解析式为 。x3y（2）根据题意，得 OP=t，AQ=2t，分三种情况讨论：当 0t 时，如图 1，M 点的坐标是（t， ）25t4过点 C 作 CDx 轴于 D，过点 Q 作 QEx 轴于 E，可得AEQODC ，EOAQ435tAE= ，EQ=t56t8Q 点的坐标是（8+ ， ） ，PE=8+ t=8+t56t56t51S= = （8+ ）= +PEM2121t3
16、4t512t36当 t3 时，如图 2 过点 Q 作 QFx 轴于 F5BQ=2t5，OF=11（2t5）=162t。点 Q 的坐标是（162t，4）PF=162tt=163t。S= = （163t）= +PEM2121t32t-t32当点 Q 与点 M 相遇时，162t=t，解得 t= 316当 3t 时，如图 3，MQ=162tt=163t，MP=416S= = 4（163t）=6t32。PE22图1图2图3（3）当 0t 时，S= + =252t13631602t5）（ a= 0，抛物线开口向上，对称轴为直线 x=20，1当 0t 时，S 随 t 的增大而增大。t= 时，S 有最大值，最
17、大值为25685当 t3 时，S= + =2t-39128t）（a=20，抛物线开口向下，t= 时，S 有最大值，最大值为38当 3t 时，S=6t32，k=60，S 随 t 的增大而减小。16又t=3 时，S=14，当 t= 时 S=0，0S14.316综上所述，当 t= 时，S 有最大值，最大值为38928（4）当 t= 时，QMN 为等腰三角形160【点评】本题是一个代数、几何综合题，涉及到的知识点较多，主要涉及到平行四边形性质、勾股定理、三角函数、三角形面积、二次函数、一次函数、等腰三角形等。第一问较为简单一般不会出错，第二问需要根据动点的位置进行分类讨论，关键在于准确进行分类，分类的
18、依据就是点的位置的变化（动点在不同线段上） ，此问容易因分类不清而导致错误，这一问是第三问的前提，一定要认真细心确保正确，不然第三问就不可能做对，第三问根据第二问的结果分别求出每个表达式的最大值，再进行比较，有范围的函数的最值要时刻注意自变量的取值范围，第四问判断等腰三角形的存在性问题也要分情况讨论，对应此题先判断三角形是直角三角形就降低了难度。难度较大。11. （2011 黑龙江绥化，28，10 分）已知直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，ABC=60，BC 与 x 轴交于34y点 C。（1） 试确定直线 BC 的解析式.（2） 若动点 P 从 A 点出发沿 AC 向点 C 运动
19、(不与 A、C 重合),同时动点 Q 从 C 点出发沿CBA 向点 A 运动(不与 A、C 重合),动点 P 的运动速度是每秒 1 个单位长度,动点 Q的运动速度是每秒 2 个单位长度.设APQ 的面积为 S,P 点的运动时间为 t 秒，求S 与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围。（3） 在（2）的条件下，当APQ 的面积最大时，y 轴上有一点 M，平面内是否存在一点N，使以 A、Q、M、N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由。【解题思路】 （1）根据直线 ，可出求出其与坐标轴交点的坐标：A（-4，0） ，34yxB（0，4 ） ，所以 OA=
20、4，OB=4 ，可求出BAO=60，ABC=60，ABC 是等边3三角形，OC=OA=4，C（4，0） ，用待定系数法求出一次函数的关系式；（2）分当点 Q 在BC 和 AB 上两种情况，求出 AP 上高的表达式从而写出 S 与 t 的函数关系式；（3）当点 Q与点 B 重合时，APQ 的面积最大，AQ（B）作为菱形的一边有三种情况（4，0） （-4，8）（-4，-8） ，AQ（B）作为菱形的一条对角线有一种情况（-4， ）.8【答案】 （1）由已知得 A 点坐标（-4，0） ，点 B 坐标为（0，4 ）.3OA=4，OB=4 ，BAO=60，ABC=60，ABC 是等边三角形.3OC=OA=
21、4，C 点坐标（4，0）.设直线 BC 的解析式为 y=kx+b, ,430bk,直线 BC 的解析式为 .（2）当 P 点在 AO 之间运动时，作3kb34yxQHx 轴. ， ，QH= 5t.，S APQ =QHCOB284t(0t4).同理可得 S2132APttAPQ= (4t8).(3)存在， （4，0） 、 （-4，8） 、 （-4，-8） 、2(83)4ttt（-4， ）.【点评】本题综合考查三角函数、一次函数、特殊四边形等知识及运动的观点解题，涉及的数据多，关系复杂，因此能读懂题意，明确题中数量关系是解题的关键。12 （2011 浙江湖州，24，12 分）如图 1，已知正方形
22、OABC 的边长为 2，顶点 A、 C 分别在x， y 轴的正半轴上， M 是 BC 的中点 P（0， m）是线段 OC 上一动点（ C 点除外） ，直线 PM交 AB 的延长线于点 D（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）当 APD 是等腰三角形时，求 m 的值；（3）设过 P、 M、 B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作 ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从点 O 向点 C 运动时，点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过的路径长 （不必写出解答过程） 【解题思路】第(1)由于 M 是 BC 的中点 ， AD OC， 可得 Rt PM
23、CRt DMB， 从而得出CP=BD， 容易得 D 的坐标为（2，4- m） 第(2)是条件不确定 ， 也就是 APD 是等腰三角形没有说哪两边相等 ， 所以应分三种情况来讨论 计算的过程构造直角三角形来进行计算 ，第(3)是探究性试题 ， P 点的运动 ， 带动了图形发生变化 ， 也就是 E 点在 x 轴上的运动又引起了 H 点的变化 ， 经过探究可知 H 点的轨迹是个 90的圆弧 直径是 OM， 于是可计算出点 H 运动的路径 【答案】解：（1）由题意得 CM=BM， PMC= DMB，Rt PMCRt DMB， DB=PC， DB=2-m， AD=4-m，点 D 的坐标为（2，4- m）
24、 (2)分三种情况：若 AP=AD，则 4+m2=(4-m)2，解得 m= 23若 PD=PA，过 P 作 PF AB 于点 F，则 AF=FD= AD= （4- m） ，21又 OP=AF， m= （4- m） ，21解得： m= 34若 DP=DA， PMC DMB， PM= PD= AD= （4- m） ，21 PC2+CM2=PM2，(2- m)2+1= ，2)4(1解得 ， （舍去） 312综上所述，当 APD 是等腰三角形时， m 的值为 或 或 234（3）点 H 所经过的路径长为 45【点评】本题考查了点的坐标 ， 全等形 ， 等腰三角形 ， 特别是分类的数学思想以及变化的几何
25、图形中变化的点的轨迹 难度较大 对于初中不要求掌握的高中的点的轨迹的知识 ， 学生要有方法来进行探究 其实也很简单 ， 就是多画几点来 ， 看动点如何变化 当本题知道动点的轨迹是圆弧后 ， 还要找出圆弧的圆心角以及半径的大小 本题难度较大 13 （2011 浙江义乌，23,10 分）如图 1，在等边 ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 P 是线段 DC 上的动点(点 P 与点 C 不重合)，连结 BP. 将 ABP 绕点 P 按顺时针方向旋转 角（0 180） ，得到 A1B1P,连结 AA1，射线 AA1分别交射线 PB、射线 B1B 于点 E、 F.（1） 如图 1，当 0 60时
26、，在 角变化过程中， BEF 与 AEP 始终存在 关系（填“相似”或“全等” ） ，并说明理由；（2）如图 2，设 ABP= . 当 60 180时，在 角变化过程中，是否存在 BEF与 AEP 全等？若存在，求出 与 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图 3，当 =60时，点 E、 F 与点 B 重合. 已知 AB=4，设 DP=x， A1BB1的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式. 图 1 图 2 图 3PB1FA DECBA1PB1FA DECBA1PB1A D CBA1【解题思路】由旋转的特征可推得PAA 1 =PBB 1,由E=E，所以两三角形相似，位置改变后
27、，仍可推得BEF AEP，可先假定BEFAEP，只要满足 BE=AE，即BAE=ABE，因为BAC=60，于是BAE= .即 302906即 =2+60 . 由旋转的过程知 AB=A1B1=4，只要用 x 表示出 A1B1边上的高，由旋转推得PAA 1是等边三角形，分别过点 B、A 1作 AC 边上的垂线，可得到 A1B1边上的高，从而求得解析式.【答案】解: （1） 相似 由题意得：APA 1=BPB 1=, AP= A1P , BP=B1P,则PAA 1 =PBB 1 = 2908,PBB 1 =EBF , PAE=EBF.又BEF=AEP ,BEF AEP.（2）存在，理由如下： 易得：
28、BEF AEP若要使得BEFAEP，只需要满足 BE=AE 即可 BAE=ABE, BAC=60 , BAE= . 302906ABE=,BAE=ABE. 即 =2+60 .32（3）连结 BD，交 A1B1于点 G，过点 A1作 A1HAC 于点 H. ,B 1 A1P=A 1PA=60.A 1B1AC . 由题意得：AP= A 1 P, A=60. PAA 1是等边三角形.A 1H= . ()2xPB1A DO CBA1HG在 RtABD 中，BD= ,BG= .32xx23)2(3 , （0 x2）.xSBA41【点评】本题是一道几何探究题，做题的关键是把握其中的规律，顺藤摸瓜，找到图形
29、变换前后图形的异同.在解题时注意分解图形，找寻基本图形之间的联系.难度较高.24 （2011 浙江义乌，24,12 分）已知二次函数的图象经过 A（2，0） 、 C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x=4. 设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B.（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y=2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、 P 两点除外） ，以每秒 个单位长度的速2度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作直线 MN x 轴，交 P
30、B 于点 N. 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN. 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为 t 秒. 求 S 关于 t 的函数关系式. 第 24题OPCBAxy图 1 图 2MOAxP NCBy【解题思路】根据题意，设解析式为一般式根据题意即可求得；假定这样的等腰梯形存在，可先确定 B 点坐标，则 BP 直线的解析式易得，看 OD 与 BP 是否平行，以确定等腰梯形的底和要，然后根据腰相等确定 D 点是否存在；经过观察发现翻折后的公共部分，图形不唯一，t=2 时是临界点，这样分情况 0t2 和 2t4 进行讨论探究公共部分与
31、t 之间的关系.【答案】解：（1）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c,DxAO BCPy第 24题由题意得 解得0241cba128cba二次函数的解析式为 y= x28x+12 , 点 P 的坐标为（4，4）.（2）存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形. 理由如下：当 y=0 时，x 2-8x+12=0 , x 1=2 ， x 2=6.点 B 的坐标为（6，0）.设直线 BP 的解析式为 y=kx+m,则 解得4mk12mk直线 BP 的解析式为 y=2x12.直线 ODBP.顶点坐标 P（4， 4）, OP=4 .设 D(x，2x) , 则 BD2=（2x） 2+(6x) 2
32、.当 BD=OP 时， （2x） 2+(6x) 2=32.解得：x 1= ，x 2=2.5当 x2=2 时，OD=BP= ，四边形 OPBD 为平行四边形，舍去.52当 x= 时四边形 OPBD 为等腰梯形 .5当 D( ， )时，四边形 OPBD 为等腰梯形 .4xP1MAO BCPNGHE FyxP1MAO BCPNyH（3） 当 0t2 时，运动速度为每秒 个单位长度，运动时间为 t 秒，2则 MP= t , PH=t，MH=t，HN= t MN= t.213S= tt = t2 2314 当 2t4 时，P 1G=2t4，P 1H=t,MNOB , .EFP1MN1 , .21)(1HGSMNPEF 22)4(31ttSEF =3t212t+12.EF1S= t2(3t 212t+12)= t2+12t12, 当 0t2 时，S= t2, 当 2t4 时，43493S= t2+12t12 .9【点评】本题是一道函数与几何图形相结合的动点移动探究题，做题时注意从整体上把握题目的情况，然后分情况进行讨论，对于每个细节的处理都要细心，本题可以说是本套试卷的“压轴题” ，细节决定成败，即使在做的过程中出现“拦路虎”也应根据自己的思路结合条件向目标多走几步.本题易错在不进行分情况讨论，忽视重合部分的图形不是一种情况.难度较大.
