1、2013 中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、 C 的坐标分别为 A（5，0），C（0，3）射线 y kx 交折线 A B C 于点 P，点 A 关于 OP 的对称点为 A （1）当点 A 恰好在 CB 边上时，求 CA 的长及 k 的值；（2）若经过 O、 A、 A 三点的抛物线恰好以 A 为顶点，求 k 的值及该抛物线的解析式；（3）如图 2，当点 P 在 AB 边上，点 A 在 CB 上方时，连接 A O、 A P 分别交 CB 边于点E、 F是否存在实数 k 使 A EF BPF？若存在，求出 k 值；若不存在，说明理由
2、；（4）以 OP 为直径作 M，则 M 与矩形 OABC 最多有_个公共点，直接写出公共点个数最多时 k 的取值范围解析：（1）当点 A 恰好在 CB 边上时，连接 A O、 A P，如图 1 OA OA5， OC3 CA 4OA 2 OC 2 5 2 3 2 A B CB CA 541设 PA x，则 A P PA x， BP3 x在 Rt A PB 中， A B 2 BP 2 A P 21 2( 3 x )2 x 2，解得 x ， P（5， ）53 53 k yPxP 13（2）连接 A O、 A P、 A A，设 A A 交射线 OP 于点 D，如图 2则 OP 垂直平分 A A经过 O
3、、 A、 A 三点的抛物线恰好以 A 为顶点由抛物线的对称性可知 A O A A2 A D A OD30， AOD A OD30 PA OA ， P（5， ） k yPxP可得 A OA60， A OA 是等边三角形点 A 的坐标为（ ， ）52BACxOyPA图 1BACxOyPA图 2EPFPBACxOy备用图BACxOyPA图 1BACxOyPA图 2D设抛物线的解析式为为 y a( x )2 52把 O（0，0）代入上式，得 0 a( 0 )2 52解得 a 抛物线的解析式为为 y ( x )2 52（3）假设存在实数 k，使 A EF BPF，如图 3 A B90， A FE BFP
4、 A E BP， A F BF设 A E BP a， A F BF b则 A P PA3 a， EF PF3 a b， OE5 aCE5( 3 a b ) b2 a在 Rt OCE 中， OC 2 CE 2 OE 23 2( 2 a )2( 5 a )2，解得 a 67 PA3 ， P（5， ）67 157 157 k yPxP 37（4）以 OP 为直径的 M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点提示： OAP90当点 P 在 AB 边上时， M 经过 O、 A、 P 三点，如图 4 COP90， M 必与 OC 边交于另一点又 M 与 BC 边最多有 2 个公共点 M 与矩形 OABC
5、最多有 6 个公共点当点 P 在 BC 边上时，情况亦然当 M 与 BC 边相切于点 D 时，连接 DM 并延长交 OA 于 E，如图 5则 MD BC， DE AB OC， DE OC3 M 是 OP 的中点， E 是 OA 的中点 ME PA12设 PA x，则 ME x， DM OP 12 12 12 x 2 5 2 DM ME DE， x312 x 2 5 2 12解得 x ， P（5， ）1112 1112 k yPxP 1160当 M 与 AB 边相切于点 E 时，连接 EM 并延长交 OC 于 D，如图 6设 CP x，则 DM x， ME OP 12 12 12 x 2 3 2
6、BACxOyPA图 3EPFPBACxOyP图 4MBACxOyP图 5DPMEPBACxOyE图 6DPPPM DM ME DE， x 512 12 x 2 3 2解得 x ， P（ ，3）9120 9120 k yPxP 6091又当点 P 与点 B 重合时， M 经过 O、 A、 B、 C 四点，此时 k 35当 M 与矩形 OABC 有 6 个公共点时， k 的取值范围是： k 且 k 1160 6091 35例 6 如图，矩形 ABCD 中， AB1， BC ，将矩形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 90得到矩形3A B C D（1）求点 A 在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求
7、矩形 ABCD 在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点 P 为线段 BC 上一点，且使得 APA 60，则满足条件的点 P 有几个？请你选择一个点 P 求 APA 的面积解析：（1）易知点 A 的路径是以 O 为圆心、以 OA 长为半径、圆心角为90 的一段圆弧 AB1， BC ， AC2， OA13点 A 在旋转过程中所走过的路径的长为： 190180 2（2）如图，将矩形 ABCD 绕它的对称中心 O 旋转 90，扫过的面积是图中阴影部分的面积 AB1， A D BC ， A G DG BE C E 3 AB1， AD 3 ADB DBC30， OFC A C D BDC60 A OD BO
8、C 30 S 阴影 S O 2( S 扇形 BOD 2 S BOE ) S O 2 S 扇形 BOD 4 S BOE )1 22 4 1 230360 12 12 （cm 2）56（3）满足条件的点 P 有 2 个提示：在 BC 上取点 P1，使 BP1 则 AP1B60， P1H 312A H 3DBACOABC DDBAOCC DABE FGDBACC DABE P1 P2 HGtan A P1H ， A P1H60A HP1H 3 AP1A 60在 BC 上取点 P2，使 P2H A G 则 A P2H AA G， A P2 A A A H 2 P2H 2 2BP2 1 AB， AP2 2 AP2 A P2 A A， AP2A 是等边三角形 AP2A 60又 AP2A 的外接圆与 BC 最多有 2 个交点满足条件的点 P 有 2 个若求 AP1A 的面积 S 梯形 ABHA ( 1 ) ， S ABP1 1 12 34 12S A P1H ( ) 12 12 14 S AP1A S 梯形 ABHA S ABP1 S A P1H 12若求 AP2A 的面积则 S AP2A 12 2 2
