1、第一章章末质量评估检测时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若 f(x)sin cos x，则 f(x)等于( )Asinx BcosxCcossin x D2sin cosx解析：函数是关于 x 的函数，因此 sin是一个常数答案：A2函数 f(x) sinxcosx 在点 (0，f(0) 处的切线方程为( )Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：f(x) cosxsinx，f(0) cos0sin01，f(x)在点 (0，f(0)处的切线方程为y11(x0)即 xy
2、10.答案：A3已知函数 f(x)f cosxsin x，则 f ( )(4) (4)A. B. 12 2C1 D0解析：f(x) f (sinx) cosx，(4)f f cos ，(4) (4) ( sin4) 4f 1，(4) 2f ( 1) cos sin 1.(4) 2 4 4答案：C4函数 f(x) x2ln2x 的单调递减区间是( )A.(0， 22B.22， )C. ，( ， 22 (0， 22)D. ， 22， 0) (0， 22解析：f(x) 2x ，1x 2x2 1x当 0x 时，f(x)0.22答案：A5函数 f(x) 3x4x 3(x0,1)的最大值是( )A1 B.
3、12C0 D1解析：f(x) 312x 2，令 f(x) 0，则 x (舍去)或 x ，12 12f(0)0， f(1) 1，f 1，(12) 32 12f(x)在 0,1上的最大值为 1.答案：A6函数 f(x) x3ax 23x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a( )A2 B3C4 D5解析：f(x) 3x22ax 3，f (3) 0.3(3) 22a(3)3 0，a5.答案：D7做直线运动的质点在任意位置 x 处，所受的力 F(x)1e x，则质点沿着与 F(x)相同的方向，从点 x10 处运动到点 x21 处，力 F(x)所做的功是( )A1e BeC. De11e解析：W
4、 F(x)dx (1e x)dx(x e x) (1 e)1e .1010 |10答案：B8设 ab，函数 y(x a) 2(xb)的图象可能是( )A BC D解析：当 xa 或 b 时，f(x)0，f(x) (xa)(3xa 2b) ，令 f(x) 0 得 xa 或 x ，a 2b3ab，a b，a 2b3f(x)在 (，a)及 上是增函数，(a 2b3 ， )在 上是减函数，(a，a 2b3 )xa 是函数 f(x)的极大值点，x 是函数 f(x)的极小值点故选 C.a 2b3答案：C9设函数 f(x)xe x，则( )Ax1 为 f(x)的极大值点Bx1 为 f(x)的极小值点Cx1
5、为 f(x)的极大值点Dx1 为 f(x)的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解f(x) xex，f(x)e xxe xe x(1x)当 f(x)0 时，即 ex(1x)0，即 x1，x1 时函数 yf(x)为增函数，同理可求， x1 时函数 f(x)为减函数x1 时，函数 f(x)取得极小值答案：D10已知 y x3bx 2(b 2)x3 是 R 上的单调增函数，则 b 的取值范围是( )13Ab1 或 b2 Bb2 或 b2C1b2 D1b2解析：yx 22bx ( b2)由于函数在 R 上单调递增，x 22bx(b2)0 在 R 上恒成立，即 (2b) 24(b2)0，解得1b2.答案：
6、D11某产品的销售收入 y1(万元) 是产量 x(千台)的函数：y 117x 2，生产成本 y2(万元)是产量 x(千台 )的函数：y 22x 3x 2(x0)，为使利润最大，应生产( )A6 千台 B7 千台C8 千台 D9 千台解析：设利润为 y，则yy 1y 217x 2(2x 3x 2) 18x22x 3，y36x6x 2，令 y0 得 x6 或 x0( 舍 )，f(x)在(0,6)上是增函数，在 (6，)上是减函数，x6 时 y 取得最大值答案：A12已知定义在 R 上的函数 f(x)，f (x)x f( x)0，若 ab，则一定有( )Aaf(a) bf(b ) Baf(b)bf(
7、 a)Caf(a)bf( b) Daf(b)bf( a)解析：x f(x)xf(x)xf(x)f(x)xf( x)0，函数 xf(x)是 R 上的减函数，ab，af(a)bf( b)答案：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 yln ，则 y_.11 x2解析：先将函数式化简后再求导数答案：x1 x214设 a0，若曲线 y 与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则xa_.解析：S dx x a a 2，a0x 23 |a0 23a .49答案：4915已知函数 f(x)x 34ax 25x(a R )(1)当 a1 时，函数在区间0,2上的最大值
8、是_；(2)若函数 f(x)在区间 (0,2上无极值，则 a 的取值范围是_解析：(1)a1 时，f ( x)3x 28x5，令 f(x )0 得：x1 或 x ，53当 x 变化时，f( x)、f( x)的变化情况如下表x 0 (0,1) 1 (1，53) 53 (53，2) 2f(x ) 0 0 f(x) 0 2 5027 2f(x)在区间0,2 上的最大值为 2.(2)函数 f(x)在区间 0,2上无极值，即 f(x )3x 28ax 50 在 (0,2上无解或有两个相同的解，当 f(x )0 在(0,2 上无解，由 8a 2 ， )，3x2 5x 15则 8a2 即 a ，15154当
9、 f(x )0 在(0,2 上有两个相同的解，得 a ，154综上，所求 a 的取值范围是 a .154答案：(1)2 (2)a15416若函数 f(x) 在区间(m,2m 1) 上单调递增，则实数 m 的取值范围是4xx2 1_解析：f(x) ，令 f( x)0，得1x 1，即函数 f(x)的增区间为( 1,1)4 4x2x2 12又 f(x)在(m,2m1)上单调递增，所以Error!解得1m0.答案：(1,0三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)已知函数 f(x) x3x 2ax b 的图象在点 P(0，f (0)
10、处的切线方程是 3xy20.13(1)求 a、b 的值；(2)设 t2，1，函数 g(x)f(x)( m3)x 在( t，)上为增函数，求 m 的取值范围解析：(1)f(x)x 22xa，所以切线的斜率 kf (0) a，又切线方程为 3xy 20，故 a3.而点 P(0，b)在切线上，则 b2.(2)因为 f(x) x3x 23x 2，所以 g(x) x3x 23x 2 ( m3)x x3x 2mx2，13 13 13所以 g( x)x 22xm，又 g(x)是(t，)上的增函数，所以 g(x) 0 在 t2，1 上恒成立，即 t22tm0 在 t2，1 上恒成立，又函数 h(t)t 22t
11、m 在 t 2，1是减函数，则 h(x)minh(1)m30，所以 m3.18(本小题满分 12 分)若函数 yf(x) 在 xx 0 处取得极大值或极小值，则称 x0 为函数 yf(x) 的极值点已知a，b 是实数，1 和1 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点(1)求 a 和 b 的值；(2)设函数 g(x)的导函数 g( x)f(x)2，求 g(x)的极值点解析：(1)由题设知 f( x)3x 22axb，且 f( 1)3 2ab0，f(1)32ab0，解得 a0，b3.(2)由(1)知 f(x)x 33x.因为 f(x)2( x1) 2(x2)，所以 g( x)0 的根为x
12、1x 21，x 3 2，于是函数 g(x)的极值点只可能是 1 或2.当 x2 时，g( x)0；当2x1 时，g(x) 0，故2 是 g(x)的极值点当2x1 或 x1 时，g(x)0，故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.19(本小题满分 12 分)某个体户计划经销 A，B 两种商品，据调查统计，当投资额为 x(x0)万元时，在经销A，B 商品中所获得的收益分别为 f(x)万元与 g(x)万元，其中 f(x)a(x1)2，g( x)6ln(xb)(a0， b0) 已知投资额为零时收益为零(1)求 a，b 的值；(2)如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮他
13、制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解析：(1)由投资额为零时收益为零，可知 f(0)a20，g(0) 6lnb0，解得a2，b1.(2)由(1)可得 f(x)2x ，g( x)6ln(x1)设投入经销 B 商品的资金为 x 万元(0x5)，则投入经销 A 商品的资金为(5x) 万元，设所获得的收益为 S(x)万元，则 S(x)2(5x) 6ln(x 1)6ln(x1)2x10(0 x5)S(x) 2，令 S( x)0，得 x2.6x 1当 0x2 时，S( x)0，函数 S(x)单调递增；当 2x5 时，S( x)0，函数 S(x)单调递减所以，当 x2 时，函数 S(x)取得最大值，S
14、( x)maxS(2)6ln3612.6 万元所以，当投入经销 A 商品 3 万元，B 商品 2 万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为 12.6 万元20(本小题满分 12 分)设函数 f(x)x(e x1) ax 2.(1)若 a ，求 f(x)的单调区间；12(2)若当 x0 时，f(x )0，求 a 的取值范围解析：(1)a 时，f (x)x(e x1) x2，12 12f(x)e x1xe xx(e x1)( x1) 当 x( ，1)时，f(x) 0；当 x( 1,0)时，f(x)0；当 x(0 ，)时，f(x)0.故 f(x)在(，1)，(0 ，) 上单调递增，在(1,0)上单
15、调递减(2)f(x)x(e x1ax )令 g(x)e x1 ax ，则 g(x)e xa.若 a1，则当 x(0 ，)时， g(x)0，g(x) 为增函数，而 g(0)0，从而当 x0 时g(x)0，即 f(x)0.若 a1，则当 x(0 ，lna)时，g(x) 0，g(x)为减函数，而 g(0)0，从而当 x(0 ，ln a)时g(x)0，即f(x)0.综上，得 a 的取值范围为( ，1 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 3x ，如果过点 (2，m )可作曲线 yf (x)的三条切线，求 m 的取值范围解析：f(x) 3x 21，曲线 yf (x)在点 M(t，f (t)处
16、的切线方程为 yf(t)f(t)(xt)，即 y(3 t21)x2t 3.如果有一条切线过点(2，m)，则存在 t，使 m2t 36t 22.若过点(2，m) 可作曲线 yf(x)的三条切线，则方程 2t36t 2m20 有三个相异的实数根记 g(t)2t 36t 2m2，则 g(t)6t 212t 6t(t2)令 g(t)0，得 t0 或 t2.当 t 变化时，g(t)，g( t)的变化情况如下表：t (，0) 0 (0,2) 2 (2，)g( t) 0 0 g(t) 增函数 极大值 2m 减函数极小值m6增函数由 g(t)的单调性，当极大值 2m 0 或极小值 m60 时，方程 g(t)0
17、 最多有一个实数根；当 2m0 或 m60 时，方程 g(t)0 只有两个相异的实数根；当Error!时，方程 g(t)0 有三个相异的实数根，解得 2m 6.即如果过(2，m)可作曲线 yf(x)的三条切线，得 m(2,6)22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)x 2mlnx ，h(x)x 2xa.(1)当 a0 时，f (x)h( x)在(1，) 上恒成立，求实数 m 的取值范围；(2)当 m2 时，若函数 k(x)f(x)h(x) 在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数 a 的取值范围解析：(1)由 f(x)h( x)，得 m 在(1 ，)上恒成立xlnx令 g(x) ，则
18、g( x) ，xlnx lnx 1lnx2当 x(1 ，e) 时， g( x)0；当 x(e，)时，g( x)0，所以 g(x)在(1，e)上递减，在(e，) 上递增故当 xe 时，g(x )的最小值为 g(e)e.所以 me.即 m 的取值范围是(，e(2)由已知可得 k(x)x 2lnx a.函数 k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数 (x) x2lnx 与直线 ya 有两个不同的交点(x) 1 ，2x x 2x当 x(1,2)时，(x) 0，(x)递减，当 x(2,3)时，(x) 0，(x)递增又 (1) 1，(2) 22ln2 ，(3)32ln3 ，要使直线 ya 与函数 (x)x2ln x 有两个交点，则 22ln2 a32ln3.即实数 a 的取值范围是(22ln2,32ln3)
