1、11.3 多边形及其内角和,前面我们学习了三角形，你能说说学习了哪些有关三角形的知识呢？你还知道三角形的其它情况吗？,看看三角形的知识对今天学习多边形有没有帮助？,知识回顾,试一试,你能说出三角形的定义吗？,三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形,既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？,四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD,什么叫五边形？,五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE,一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为
2、n边形，又称为多边形,那么多边形的定义呢？,你还知道哪些多边形？,引例分析,观察,请画一个六边形，再画出它的外角，看看六边形有几个外角？想想n边形会有几个外角？,角,请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关系表，你能发现什么规律？,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,n,n,6,8,10,12,14,2n,想一想五边形从一个顶点出发有几条对角线？总共有几条对角线？画一画再回答。并填写下表。,对角线,完成下表,试一试,n-2,4,3,2,1,0,5,4,3,2,1,n-3,从n边形的一个顶点可以引对角线，把多边形分成个三角形,n-3,n-2,练一练,下面所示的图形也是多边形，但不在
3、我们现在研究的范围内 。,注 意 没有特别说明,我们研究的多边形都是指凸多边形.,有什么不同？,凹多边形,凸多边形,如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形。如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等 。,等边三角形,正方形,正五边形,正六边形,正八边形,(或正三边形),(或正四边形),一类特殊的多边形,三角形如果三条边都相等，三个角也都相等，那么这样的三角形就叫做正三角形。,量量各个正多边形内角的度数说说你有什么发现？再量量各个外角的度数，又发现什么？,填空：如图，此多边形应记作 边形 ，AB边的邻边是 、 ，顶点E处的内角为 ，过顶点A画出这个多边形的对角线，
4、共有 条，它们把多边形分成 个三角形。 n边形有 个顶点， 条边，有 个角，有 个不共顶点外角 四边形有 条对角线。五边形有 条对角线。 四边形的一条对角线将它分成 个三角形 从五边形的一个顶点出发可以画 条对角线，它们将五边形分成 个三角形 正多边形的 相等， 相等 多边形分为 和 两类,五,ABCDE,AE,BC,AED,2,3,n,n,n,2n,2,5,2,3,2,边,角,凸,凹,自我挑战,顶点,边,内角,对角线,回顾与思考,外角,1、在平面内，_叫做多边形。 、在多边形中连接_的线段叫做多边形的对角线。 、三角形的内角和是_度 、你能够利用三角形的内角和求四边形的内角和吗？试试看？,A
5、,B,C,D,思路：多边形问题转化为三角形问题来解决。,四边形的内角和为360,由一些线段首尾顺次相接组成的图形,多边形不相邻的两个顶点的线段,180,A,C,B,如图，ABC的内角和是多少度？,探索多边形的内角和,探索多边形的内角和,A,B,C,D,四边形的内角和是多少度？,图中有几个三角形？,探索多边形的内角和,A,B,D,C,E,五边形的内角和是多少度？,图中有几个三角形？,探索多边形的内角和,A,B,D,C,F,E,六边形的内角和是多少度？,图中有几个三角形？,1,180,2,3,4,5,360,540,720,900,n2,（n2）180,n边形的内角和（n2）180,探索多（n）边
6、形的内角和,多了什么？如何处理？,这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形，故所有三角形的内角和为（n-1）180 ，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此n边形的内角和为 （n-1）180 - 180 = (n-2)180 ,该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形内角和为n180 ，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 ，因此n边形的内角和为 n180 - 360 = (n-2) 180 ,多了什么？如何处理？,得到定理： n边形的内角和等于(n2)180. 说明： (1)多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关； (2)强调凸多边形的内角的范围：01
7、80.,结论:,例1 ： 求八边形的内角和的度数。,解：（n2）180（82）180 1080 答：八边形的内角和为1080。,例2 ： 一个正多边形的一个内角为150，你知道它是几边形吗？,解：设这个多边形为n边形， 根据题意，得（n2）18010 nn12 答：这个多边形是12边形。,另解：由于多边形外角和等于360而这个正多边形的每个外角都等于18015030，所以这个正 多边形的边数等于 3603012。,巩固练习：,3、多边形内角和为1080则它是 （ ）边形。,4、多边形内角和为1800则它是 （ ）边形。,1、七边形内角和为（ ）,2、十边形内角和为（ ）,5、有一个正多边形的外
8、角是60，那么该正多边形是正( )边形。,问题,大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并思考如下几个问题:,(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们.,A,B,C,D,E,1,2,3,4,5,(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？,(3)在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小吗？你是怎样得到的？,探索:分别求出下列多边形的外角和的度数.,360,360,360,360,360,猜想与说理:,n边形的外角和是多少度呢?,答:都是360.因为多边形的
9、外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n180，内角和为(n2)180,因此，外角和为：n180(n2)180= 360.,结论:多边形的外角和都等于360.,例3 ： 一个多边形的内角和等于 它的外角和的3倍，它是几边形？,解：设它是n边形，则 (n-2).180=3360 解得n=8。 答：它是八边形。,1、一个十边形的每一个内角都相等， 那么这个十边形的每一外角等于( )A.144 B. 72 C. 36 D .18 2、一个多边形每一个外角都等于45， 则这个多边形的内角和等于( )A. 720 B. 675 C. 1080 D.945,C,C,巩固练习二：,1、多边形的意义,3、多边形的内角和,4、多边形的外角和,2、多边形的对角线、内角、外角关系,小 结,
