1、二次函数的图象和性质 综合检测题一选择题（每小题 4 分，共 40 分）1、抛物线 y=x2-2x+1 的对称轴是（ ）A直线 x=1 B直线 x=-1 C直线 x=2 D直线 x=-22、下列命题：若 ，则 ； 0abc240bac若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；20xbc若 ，则一元二次方程 有两个不相等的实数根；23c若 ，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.40ba其中正确的是（ ） A只有 B只有 C只有 D 只有3、对于 的图象下列叙述正确的是（ ）2)3(xyA顶点坐标为(3，2) B对称轴为 y=3C当 时 随 增大而增大 D当 时 随 增大而减小
2、3xyx4、 如图，抛物线 的对称轴是直线 ，且经过点)0(2acbxy 1（3，0） ，则 的值为（ ）PcbaA0 B1 C1 D2 y1 33OxP15、函数 y=ax2(a0)的图象经过点(a，8)，则 a 的值为（ ）A2 B2 C2 D36、自由落体公式 h= gt2(g 为常量) ，h 与 t 之间的关系是（ ）1A正比例函数 B一次函数C二次函数 D以上答案都不对7、下列结论正确的是（ ）Ay= ax2 是二次函数B二次函数自变量的取值范围是所有实数C二次方程是二次函数的特例D二次函数的取值范围是非零实数8、下列函数关系中，可以看作二次函数 （ ）模型的是（ cbxay20a）
3、A在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D圆的周长与圆的半径之间的关系9、对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是（ ）A B 2)1(xy2)1(xyC D10、二次函数 y=x2 图象向右平移 3 个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ）Ay=x 2+3 By=x 2-3Cy=（x+3） 2 Dy=（x-3） 2 第卷（非选择题，共 80 分）二、填空题（每小题 4 分，共 40 分）11、某工厂第一年的利润是 20 万元，第三年的利润
4、是 y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是 .12、已知二次函数的图像关于直线 y=3 对称，最大值是 0，在 y 轴上的截距是1，这个二次函数解析式为 .13、某学校去年对实验器材投资为 2 万元，预计今明两年的投资总额为 y 万元，年平均增长率为 x. 则 y 与 x 的函数解析式 .14、m 取 时，函数 是以 x 为自变量)1()(2mxmy的二次函数.15、如图 1 所示，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（ -1，2）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：a0；b0;c0；a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 第（2）问：给
5、出四个结论：abc0;a+c=1;a1. 其中正确的结论的序号是 .16、杭州体博会期间，嘉年华游乐场投资 150 万元引进一项大型游乐设施，若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收 33 万元，而该游乐设施开放后，从第 1 个月到第 x 个月的维修保养费用累计为 y（单位：万元） ，且 y=ax2+bx，若维修保养费用第 1 个月为 2 万元，第 2 个月为 4 万元；若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益 g（单位：万元） ，g 也是关于 x 的二次函数.（1）y 关于 x 的解析式 ；（2）纯收益 g 关于 x 的解析式 ；（3）设施开放 个月后，游乐场纯收益达到最大？ 个月后
6、，能收回投资？17、已知：二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示， OA=OC，则由抛物线的特征写出如下含有 a、b、c 三个字母的等式或不等式： =-1；ac+b+1=0；abc0；a-b+c0.正确的序号是 .18、已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=-1，与 x 轴的一个交点为（x 1，0） ，且 00；bc；3a+c0 ，其中正确结论两个数有 .19、已知抛物线经过点（1，0） ， （-5，0） ，且顶点纵坐标为 ，这个二次函数29的解析式 .20、已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 .三、解答题（共 40 分）
7、21、 （6 分）请画出函数 y x2x 的图象，并说明这个函数具有哪些性质.12 5222、 （8 分）已知二次函数 y= x2+x+2 指出41(1)函数图像的对称轴和顶点坐标；(2)把这个函数的图像向左、向下平移 2 个单位，得到哪一个函数的图像？23、 （6 分）已知 y 是 x 的二次函数，当 x=2 时，y=4，当 y=4 时，x 恰为方程 2x2x8=0 的根，求这个函数的解析式.24、（10 分）某商场以每件 42 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量 t（件），与每件的销售价 x（元 /件）可看成是一次函数关系：（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润 与每
8、件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； （2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 25、 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线.正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距 AB 为 6 米，到地面的距离 AO 和 BD 均为 0.9 米，身高为 1.4 米的小丽站在距点 O 的水平距离为 1 米的点 F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点 E.以点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为 y=ax2bx0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果
9、小华站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 3 米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；（3）如果身高为 1.4 米的小丽站在 OD 之间,且离点 O 的距离为 t 米, 绳子甩到最高处时超过她的头顶,请结合图像,写出 t 的取值范围 .AOBDEF xy参考答案一、1、A；提示：因为抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴方程是：y=- ，将已ab2知抛物线中的 a=1，b=-2 代入，求得 x=1，故选项 A 正确 另一种方法：可将抛物线配方为 y=a(x-h)2+k 的形式，对称轴为 x=h，已知抛物线可配方为 y=(x-1)2，所以对称轴 x=1，应选 A 2、B ；
10、3、A、顶点坐标为(3，2)4、A5、C. 将（a,8）代入得 a38，解得 a=26、C ；是二次函数7、B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数8、C ；竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）9、C 对于任意实数 m 都是二次函数2)1(xmy10、D；本题考查的是抛物线的平移.先画出 y=x2 的草图，图象向右平移 3个单位对称轴为 x3，选项中的二次函数的对称轴为 x3.二、11、函数关系式是 ，即2)1(0xy)0(2402y12、由图像的对称轴和函数的最大值，可知顶点坐标是(3，0)，设y=a(x3) 2,把 x=0， y=1 代入，得 9
11、a=1 ，a= ，y= (x3) 29113、设今年投资额为 2（1+x）元，明年投资为 2（1+x） 2 元由题意可得.y=2(1+x)+2(1+x) 2=2x2+6x+414、若函数 是二次函数，则)1()(2mxmy解得 ，且 020因此，当 ，且 时，函数 是二次函1 )1()(2mxy数15、解：（1），； （2），.16、 （1）y=x 2+x；（2）纯收益 g=33x-150-（x 2+x）=-x 2+32x-150（3）g=-x 2+32x-150=-（x-16） 2+106，即设施开放 16 个月后游乐场的纯收益达到最大.又在 00，所以 6 个月后能收回投资.17、正确的序
12、号为.从图象中易知 a0，b0 ，正确；设C（0， c） ，则 OC=|c|， OA=OC=|c|， A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又 c0，ac+b+1=0，故正确.18、这是一道没给图象的题，由已知条件可以大致画出如下图所示的图象， 00 正确； =-1， b=2a， b-ab2a=2a-a=a0. bac，故 不正确；把 b=2a 代入 a+b+c0 得 3a+c0， 正确；故答案为 2 个.19、解：点（1，0） ， （-5，0）是抛物线与 x 的两交点, 抛物线对称轴为直线 x=-2， 抛物线的顶点坐标为（2， ） ，29设抛物线的解析式为 yax 2bxc ，则有
13、所求二次函数解析式为20、如果设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，因为图象开口向下，所以 a为负数，图象过原点，即 c0，满足这两个条件的解析式有无数个.解：yx 23x.三、21、分析:由以上探索求知，大家已经知道函数 y x2x 的图象12 52的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数 y x2x 的图象，进而观察得到这个函数的性质.12 52解：(1)列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表；x 210 1 2 3 4 y 612421222124612(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.(3)连线：用光滑的曲
14、线顺次连接各点，得到函数 y x2x 的图象.12 52说明：(1)列表时，应根据对称轴是 x1，以 1 为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值.相应的函数值是相等的.(2)直角坐标系中 x 轴、y 轴的长度单位可以任意定，且允许 x 轴、y 轴选取的长度单位不同.所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观.则可得到这个函数的性质如下:当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x1 时，函数取得最大值，最大值 y2.22、解：(1)配方，y= (x24x+44)+2= (x2) 2+34141图像的对称轴是直线 x
15、=2，顶点坐标为（2，3）.(2)把这个函数的图像向左、向下平移 2 个单位，顶点成为(0,1)，形状不变，得到函数 y= x+1 的图像 .4123、解：本题不便求出方程 2x2x8=0 的根，设这个方程的根为x1、x 2，则当 x=x1，x=x 2 时，y=4，可设 y=a(2x2 x8)+4把 x=2， y=4 代入，得 4=a(22228 )+4 得 a=4，所求函数为y=4(2x 2x8)+4=8x 24x2824、分析：商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定.在这个问题中，每件服装的利润为（ ），而销售的件数是（ +204），那么就能得到一个 与 之间的函数关系，这个
16、函数是二次函数.要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值.解：（1）由题意，销售利润 与每件的销售价 之间的函数关系为=（ 42）（3 204），即 =3 2+ 8568（2）配方，得 =3（ 55） 2+507当每件的销售价为 55 元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为 507元.25、解：（1）由题意得点 E（1,1.4）, B(6,0.9), 代入 y=ax2+bx+0.9 得解得 0.9436.ab 0.16ab所求的抛物线的解析式是 y=0.1x 20.6x+0.9. （2）把 x=3 代入 y=0.1x 20.6x+0.9 得 y=0.13 20.63+0.9=1.8 小华的身高是 1.8 米 （3）1t5
