1、轴对称来源:学优高考网三只钟的故事一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。 ” “天哪！三千两百万次。 ”小钟吃惊不已， “要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。 ”“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑， “如果这样，我就试试吧。 ”小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。例 1 . 如图，四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，函
2、数 的图象经过点 B.)0x(ky(1) 求 k 的值；（2）将正方形 OABC 分别沿直线 AB，BC 翻折，得到正方形 MABC和 NABC.设线段MC ，NA 分别与函数 的图象交于点 F，E. 求线段 EF 所在直线的解析式.)0x(ky例 2 .(1)观察发现如题 26(a)图，若点 A，B 在直线 同侧，在直线 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小ll做法如下：作点 B 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 PABl再如题 26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做
3、法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 26(a)图 题 26(b)图 (2)实践运用如题 26(c)图，已知O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直AD径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值题 26(c)图 题 26(d)图(3)拓展延伸 如题 26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 例 3 .将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直
4、角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点C、A 分别在 轴和 y 轴上.在 OA、OC 边上选取适当的点 E、F，连接 EF，将EOF 沿 EF 折x叠，使点 O 落在 AB 边上的点 D 处 yxE BAC(F)OD xyGT FE BACOD图 1 图 2 （1）如图 1，当点 F 与点 C 重合时，求 OE 的长度.（2）如图 2，当点 F 与点 C 不重合时，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点 T，交 OC 于点 G，求证：EO=DT.例 4 .已知一个直角三角形纸片 OAB，其中 9024OAB， ， 如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 C，与边 交于点
5、D（1）若折叠后使点 与点 重合，求点 C的坐标；（2）若折叠后点 B落在边 OA上的点为 B，设 Ox， y，试写出 关于x的函数解析式，并确定 y的取值范围；（3）若折叠后点 落在边 上的点为 ，且使 D ，求此时点 C的坐标A 组1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为 6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）A （10+2 ）cm B （10+ ）cm
6、1313C22cm D18cm 3将图(1)的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(2)所示。 最后将图(2) 的色纸剪下一纸片， 如图(3)所示。若下列有一图形 为图(3)的展开图，则此图为何？4下列图形中，ABC与 ABC 关于直线 MN 成轴对称的是 （ ）5.如图，正六边形 ABCDEF 关于直线 l 的轴对称图形是六边形 .下列判断ABCDEF错误的是（ ） 。 l CDE BDCBEAFAFA. AB= B. BC/ ABBCC.直线 l D.120A6如图，由 4 个小正方形组成的田字格中， 的顶点都是小正方形的顶点在田字AB格上画与 成轴对称
7、的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含 本身）共有_个ABCABC7.将三角形纸片 ABC（AB AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展平纸片（如图 1） ；再次折叠该三角形的纸片，使得点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，再次展平后连接 DE、DF（如图 2） ，MD C图2BAFED CBA图18.如图，镜子中号码的实际号码是_ . 9.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近 8 点的是 ( )10当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（ ）A右手往左梳 B右手往右梳 C左手往左梳 D左手往右梳B 组11
8、.如图，在直角坐标系 xOy 中， A(一 l，5)，B(一 3，0)，C (一 4，3)(1) 在右图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC；(2) 如果 中任意一点 的坐标为 ，那么它的对应点 的坐标是 ABC M()xy， N 12有如图 的张纸条，用每张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的图案 （画出的两个图案不能全等）来源:学优高考网 gkstk12已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴14下列图形中对称轴最多的是（ ）(A)圆 (B)正方形 (C)等腰三角形 (D)线段15
9、如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片 ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿 EF 折叠后， D、C 两点分别落在 D 、C 的位置，并利用量角器量得EFB65，则AED 等于 度 来源: 学优高考网 gkstkE DBDA（第 15 题）F CC16.如图，在 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则折痕 BD 的长为_来源:学优高考网ABCDC17.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点 分别是边 、ABC DE、 AB上，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若 ，则 （ ）B E=701+2来源
10、:学优高考网 gkstkA. B. 140130C. D. 718.如图 1，在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC=60， DB 平分 ABC， AD=2，翻折梯形 ABCD使点 B 与点 D 重合.画出翻折图形，并求出折痕的长. EDCBA图 1 19.如图，在ABC 中，AB =AC，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 是 AD 的三等分点，若ABC 的面积为 12cm2，则图中阴影部分的面积是 cm 2. BACDFE20如图，正 方 形 纸 片 ABCD 的边长为 8，将 其 沿 EF 折 叠 ， 则 图 中 四 个 三 角 形 的周 长 之 和 为 21小敏将一张直角边为
11、l 的等腰直角三角形纸片 (如图 1)，沿它的对称轴折叠 1 次后得 到一个等腰直角三角形(如图 2)，再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形(如图 3)，则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小敏连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到 的等腰直角三角形( 如图 n+1)的一条腰长为 22小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图，ADCD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE（如图） ；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为
12、 DG（如图） 如果第二次折叠后，M 点正好在NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 23如图，将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上一点 （不与点 ， 重合） ，ABCDBCDECD压平后得到折痕 设 ，当 时，则 MN21ENAM若 （ 为整数） ，则 （用含 的式子表示）nCDE1 n23 题图AB CDEFMN来源:学优高考网 gkstk24.如图 4，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠,使 A 落在 MN 上，落点记为 A,折痕交 AD 于点 E. 若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，求 A
13、N . 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（ 2,且 n 为整数） ，求AN（ 2n ，且 为整数） （用含有 n 的式子表示）.来源:gkstk.Com轴对称例 1. 如图，四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，函数的图象经过点 B.)0x(ky(1) 求 k 的值；（2）将正方形 OABC 分别沿直线 AB，BC 翻折，得到正方形 MABC和 NABC.设线段MC ，NA 分别与函数 的图象交于点 F，E. 求线段 EF 所在直线的解析式.)0x(ky解：解：(1) B（2,2） ， k= 4 1 分(2) 由翻折可知，M（4,0 ）N （0,4）可求得
14、 F（4,1） ，E（1,4）.3 分设直线 EF 的解析式为 ，bkxy可求得 4 分5b,1k所以，线段 EF 所在直线的解析式为 5 分5x例 2.(1)观察发现如题 26(a)图，若点 A，B 在直线 同侧，在直线 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小ll做法如下：作点 B 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点就是所求的点 PABl再如题 26(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所
15、求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 26(a)图 题 26(b)图 (2)实践运用如题 26(c)图，已知O 的直径 CD 为 4，AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直AD径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值题 26(c)图 题 26(d)图(3)拓展延伸 来源:学优高考网如题 26(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 【答案】解：（1） ；3（2）如图：作点 B 关于 CD 的对称点 E，则点 E 正好在圆周上，连接 OA、OB、OE ，连接 AE 交CD 与一点 P，
16、 AP+BP 最短，因为 AD 的度数为 60，点 B 是 的中点，AD所以AEB=15，因为 B 关于 CD 的对称点 E，所以BOE=60，所以OBE 为等边三角形，所以OEB=60，所以OEA=45，又因为 OA=OE，所以OAE 为等腰直角三角形，所以 AE= .2（3）找 B 关于 AC 对称点 E，连 DE 延长交 AC 于 P 即可，例 3.将边长 OA=8，OC=10 的矩形 OABC 放在平面直角坐标系中，顶点 O 为原点，顶点 C、A分别在 轴和 y 轴上.在 OA、OC 边上选取适当的点 E、F，连接 EF，将EOF 沿 EF 折叠，x使点 O 落在 AB 边上的点 D
17、处 yxE BAC(F)ODxyGT FE BACOD xy 321GTE BAC(F)OD图 1 图 2 图 2-1 （1）如图 1，当点 F 与点 C 重合时，求 OE 的长度.（2）如图 2，当点 F 与点 C 不重合时，过点 D 作 DGy 轴交 EF 于点 T，交 OC 于点 G，求证：EO=DT.解（1）如图 1，设 OE 为 x，则 AE 为 8-x.EDF 是由EFO 折叠得到的，OE=DE=x，OC=DC=10.在直角BCD 中由勾股定理知 BD=6，则 AD=4，在直角ADE 中,(8-x) 2+16=x2,则 x=5.OE 的长为 5.证明：（2）如图 2-1，EDF 是
18、由EFO 折叠得到的，DE=EO，1=2又DGy 轴，1=3.2=3 DE=DT EO=DT 例 4.已知一个直角三角形纸片 OAB，其中 9024OAB， ， 如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 C，与边 A交于点D（1）若折叠后使点 与点 重合，求点 C的坐标；（2）若折叠后点 B落在边 OA上的点为 B，设 Ox， y，试写出 关于x的函数解析式，并确定 y的取值范围；（3）若折叠后点 落在边 上的点为 ，且使 DB ，求此时点 C的坐标 xyBO A xyBO AxyBO A答案：（1）如图，折叠后点 B与点 A重合，则 ACD .设点 的坐标为 0m，
19、 .则 4BO.于是 .在 RtAC 中，由勾股定理，得 22ACO，即 224m，解得 3m.点 的坐标为 0， . （2）如图，折叠后点 B落在 OA边上的点为 B,则 BCD .由题设 Oxy， ，则 4，在 RtBC 中，由勾股定理，得 22BCO.224yx，即 18 由点 B在边 OA上，有 02x ，解析式 2y 为所求.当 x 时， y随 x的增大而减小，y的取值范围为 32 . （3）如图，折叠后点 B落在 OA边上的点为 B，且 DOB .则 OCD.又 C， ，有 CA .Rtt .有 OBCA，得 2OB. 在 Rt 中，设 0x，则 0x.由（2）的结论，得 2018
20、，解得 0 084545xx ， .点 C的坐标为 16， . A 组了解图形的轴对称1.京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】：C 2把长为 8cm 的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为 6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）xyBO ADC图xyBO BDC图xyBO BDC图3cm 3cm第 8 题图A （10+2 ）cm B （10+ ）cm C22cm D18cm 1313【答案】A3 将图(六
21、) 的正方形色纸沿其中一条对角线对折后，再沿原正方形的另 一条对角线对折，如图(七) 所示。 最后将图(七)的色纸剪下一纸片， 如图( 八)所示。若下列有一图形 为图(八)的展开图，则此图为何？图(六) 图(七) 图(八)【答案】B理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；4下列图形中，ABC与 ABC 关于直线 MN 成轴对称的是 （ ）（A） （B） （C） （D） 【答案】B 5.如图，正六边形 ABCDEF 关于直线 l 的轴对称图形是六边形 .下列判断ABCEF错误的是（ ） 。A. AB= B. BC/ C.直线 l D. B120(A) (B) (C) (D)AB C CN A
22、 BM CN A BMAB C B NCM A BAC B AC NCM A Bl CDE BDCBEAF AF【答案】B 6如图，由 4 个小正方形组成的田字格中， 的顶点都是小正方形的顶点在田字AB格上画与 成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不A包含 本身）共有_个C【答案】3 个7.将三角形纸片 ABC（AB AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为AD，展平纸片（如图 1） ；再次折叠该三角形的纸片，使得点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，再次展平后连接 DE、DF（如图 2） ，证明：四边形 AEDF 是菱形。MD C图2BAF
23、EDCBA图1【答案】证明：三角形纸片 ABC（ABAC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在AB 边上，折痕为 AD，BADCAD又点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，设 EF 和 AD 交点为 M，AD EF， MD=MAAME AMF90在AEM 和 AFM 中，BADCAD ， AMEAMF90AM=AM，AEM AFM ME=MF又AD EF， MD=MA四边形 AEDF 是菱形。了解物体的镜面对称8.如图，镜子中号码的实际号码是_ . 【答案】：32659.小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近 8 点的是 ( )ABC【答案】：D10当你看到镜子中的你在用右手往
24、左梳理你的头发时，实际上你是（ ）A右手往左梳 B右手往右梳 C左手往左梳 D左手往右梳【答案】：DB 组能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；11.如图，在直角坐标系 xOy 中， A(一 l，5)，B(一 3，0)，C (一 4，3)(1) 在右图中作出ABC 关于 y 轴的轴对称图形ABC；(2) 如果 中任意一点 的坐标为 ，那么它的对应点 的坐标是 ABC M()xy， N 【答案】 （1）略 （2） （-x,y）12有如图 的张纸条，用每张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼出的
25、图案 （画出的两个图案不能全等）【答案】在下图(1)中选择其一，再在（2）中选择其一.掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；12已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴14下列图形中对称轴最多的是（ ）(A)圆 (B)正方形 (C)等腰三角形 (D)线段【答案】15如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片 ABCD 做折纸游戏，他将纸片沿 EF 折叠后， D、C 两点分别落在 D 、C 的位置，并利用量角器量得EFB65，则AED 等于 度E DBDA（第题）F CC【答案】5016.如图，在 RtABC 中，C90 ，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD 沿 BD
26、 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则折痕 BD 的长为_EDCABABCDC【答案】3 517.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张 纸片，点 分别是边 、AB DE、 AB上，将 沿着 折叠压平， 与 重合，若 ，则 （ ACB DE=701+2）A. B. C. D. 14013010【答案】A 来源 :gkstk.Com18.如图 1，在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC=60， DB 平分 ABC， AD=2，翻折梯形 ABCD使点 B 与点 D 重合.画出翻折图形，并求出折痕的长. EDCBA图 1 图 1-1解:如图 1-1，作 AEBD,交 BC 于 E,连
27、结 DE.在梯形 ABCD 中， AD BC ,DB 平分 ABC, ABD= DBE= ADB AB=AD . 当把梯形 ABCD 翻折使 B 点与点 D 重合，则折痕过点 A.AEBD,交 BC 于 E.AB=BE.ABE=60 O，ABE 是等边三角形.折痕 AE=AB=AD=2.掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质19.如图，在ABC 中，AB =AC，AD 是 BC 边上的高，点 E、F 是 AD的三等分点，若ABC 的面积为 12cm2，则图中阴影部分的面积是 cm 2. 【答案】620如图，正 方 形 纸 片 ABCD 的边长为 8
28、，将 其 沿 EF 折 叠 ， 则 图 中 四 个 三 角 形 的周 长 之 和 为 BACDFE12 题图AB CDEFMN【答案】3221小敏将一张直角边为 l 的等腰直角三角形纸片 (如图 1)，沿它的对称轴折叠 1 次后得 到一个等腰直角三角形(如图 2)，再将图 2 的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得 到一个等腰直角三角形(如图 3)，则图 3 中的等腰直角三角形的一条腰长为 ；同上操作，若小敏连续将图 1 的等腰直角三角形折叠 n 次后所得到 的等腰直角三角形( 如图 n+1)的一条腰长为 【答案】 n)2(,122小明尝试着将矩形纸片 ABCD（如图，ADCD ）沿过 A 点的
29、直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE（如图） ；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在DA 边上的点 N 处，E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG（如图） 如果第二次折叠后，M 点正好在NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为 来 源:gkstk.Com【答案】 223如图，将正方形纸片 折叠，使点 落在 边上 ABCDBCD一点 （不与点 ， 重合） ，压平后得到折痕 EN设 ，AB CD AB CDEF AB CDEGMN 当 时，则 21CDEBNAM若 （ 为整数） ，则 n（用含 的式子表示）【答案】. ； 51)(224.如
30、图 4，正方形纸片 ABCD 的边长为 1，M、N 分别是 AD、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点 B 的直线折叠,使 A 落在 MN 上，落点记为 A,折痕交 AD 于点 E. 若 M、N 分别是 AD、BC 边的中点，求 AN . 若 M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（ 2,且 n 为整数） ，求AN（ 2n ，且 为整数） （用含有 n 的式子表示）.解:ABE 与ABE 关于直线 BE 对称,AB=AB=1.M、N 分别是 AD、BC 边的中点,BN= BC= .12 12在 RtABN 中,ANB=90 O由勾股定理:AN= = = 3222BNA)1(ABE 与ABE 关于直线 BE 对称,AB=AB=1.M、N 分别是 AD、BC 边的上距 DC 最近的 n 等分点（ 2,且 n 为整数）,NC= ，则 BN=1- .n1在 RtABN 中,ANB=90 O由勾股定理:AN= = = 21n.22BNA)1(
