1、垂直于弦的直径知识梳理 教学重、难点作业完成情况来源:gkstk.Com典题探究例 1. 如 图 ， 台 风 中 心 位 于 点 P， 并 沿 东 北 方 向 PQ 移 动 ， 已 知 台 风 移 动 的 速 度为 40 千 米 /时 ， 受 影 响 区 域 的 半 径 为 260 千 米 ， B 市 位 于 点 P 的 北 偏 东 75方 向 上 ， 距 离 P 点 480 千 米 （ 1） 说 明 本 次 台 风 是 否 会 影 响 B 市 ；（ 2） 若 这 次 台 风 会 影 响 B 市 ， 求 B 市 受 台 风 影 响 的 时 间例 2. 银 川 市 某 居 民 区 一 处 圆 形
2、 下 水 管 道 破 裂 ， 修 理 人 员 准 备 更 换 一 段 新 管 道 如图 所 示 ， 污 水 水 面 宽 度 为 60cm， 水 面 至 管 道 顶 差 距 离 为 10cm， 问 修 理 人 员 应准 备 内 径 多 大 的 管 道 ？例 3. （ 1） 已 知 ： 如 图 1， ABC 和 ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， ACB= DCE=90， D 为 AB 边 上 一 点 求 证 ： ACE BCD（ 2） 某 居 民 小 区 一 处 圆 柱 形 的 输 水 管 道 破 裂 ， 维 修 人 员 为 更 换 管 道 ， 需 确 定 管 道圆 形 截 面 的
3、半 径 ， 图 2 是 水 平 放 置 的 破 裂 管 道 有 水 部 分 的 截 面 若 这 个 输 水 管 道有 水 部 分 的 水 面 宽 AB=16cm， 水 面 最 深 地 方 的 高 度 为 4cm， 求 这 个 圆 形 截 面 的半 径 例 4. 如 图 ， 铁 路 MN 和 公 路 PQ 在 点 O 处 交 汇 ， QON=30， 在 点 A 处 有 一 栋居 民 楼 ， AO=200m， 如 果 火 车 行 驶 时 ， 周 围 200m 以 内 会 受 到 噪 音 的 影 响 ， 那 么火 车 在 铁 路 MN 上 沿 ON 方 向 行 驶 时 ， 居 民 楼 是 否 会 受
4、 到 噪 音 的 影 响 ？ 如 果 行 驶 的速 度 为 72km/h， 居 民 楼 受 噪 音 影 响 的 时 间 为 多 少 秒 ？ （ 结 果 保 留 根 号 ）演练方阵A 档（巩固专练）1 （2013徐州）如图， AB 是O 的直径，弦 CDAB ，垂足为 P若 CD=8，OP=3，则O 的半径为（ ）A 10 B 8 C 5 D 32 （2013泸州）已知 O 的直径 CD=10cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且AB=8cm，则 AC 的长为（ ）A cm B cm C cm 或 D cm 或cm cm3 （2012绍兴）如图， AD 为O 的直径，作O 的内接正三角
5、形 ABC，甲、乙两人的作法分别是：甲：1、作 OD 的中垂线，交O 于 B，C 两点，2、连接 AB，AC，ABC 即为所求的三角形 乙：1、以 D 为圆心，OD 长为半径作圆弧，交O 于 B， C 两点2、连接 AB，BC，CAABC 即为所求的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）A 甲、乙均正确 B 甲、乙均错误 C 甲正确、乙错误 D 甲错误，乙正确4 （2011呼伦贝尔）如图，O 的半径为 5，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则线段 OM 长的最小值为（ ）A 2 B 3 C 4 D 55 （2010绍兴）如图，已知O 的直径 AB弦 CD 于点 E，下列结论中一
6、定正确的是（ ）A AE=OE B CE=DE C OE=CE D AOC=60来源 :gkstk.Com6 （2010陕西）如图，点 A、B 是在O 上的定点、P 是在O 上的动点，要使ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点 P 有（ ）A 1 个来源: B 2 个 C 3 个 D 4 个来源:学优高考网gkstkgkstk.Com7 （2009黔南州）如图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ）来源 :学优高考网 gkstkA 2cm B cm C D8 （2008梅州）如图所示，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB（ ）
7、A 是正方形 B 是长方形 C 是菱形 D来源:gkstk.Com以上答案都不对9 （2005四川）如图，在 O 中，AB、AC 是互相垂直的两条弦，OD AB 于D，OEAC 于 E，且 AB=8cm，AC=6cm，那么O 的半径 OA 长为（ ）A 4cm B 5cm C 6cm D 8cm10 （2003甘肃）下面四个判断中正确的是（ ）A 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦B 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦C 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦D 过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长
8、的弦，也没有最短的弦B 档（提升精练）11 （2002河北）如图， AB 是O 的直径，CD 是弦若 AB=10cm，CD=8cm，那么A、B 两点到直线 CD 的距离之和为（ ）A 12cm B 10cm C 8cm D 6cm12 （2000西城区）如图， AB 为O 的直径，弦 CDAB 垂足为 E，下列结论中，错误的是（ ）A CE=DE B C BAC=BAD D ACAD13 （2013扬州）如图，已知O 的直径 AB=6，E 、F 为 AB 的三等分点，M、N 为上两点，且MEB=NFB=60，则 EM+FN= _ 14 （2012锦州）如图， PAC=30 ，在射线 AC 上顺
9、次截取 AD=3cm，DB=10cm，以DB 为直径作O 交射线 AP 于 E、F 两点，则线段 EF 的长是 _ cm15 （2012贵港）如图， MN 为O 的直径，A、B 是 O 上的两点，过 A 作 ACMN于点 C，过 B 作 BDMN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6 ，则 PA+PB 的最小值是 _ 16 （2011西宁）如图，在 O 中，AB、AC 是互相垂直的两条弦，OD AB 于点D，OEAC 于点 E，且 AB=8cm，AC=6cm，那么O 的半径 OA 长为 _ 17 （2009新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形
10、网格的格点A、B、C ，已知 A 点的坐标是（3，5） ，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 _ 18 （2006汉川市） RtABC 中，ABC=90，D 是 AC 中点，O 经过 A、B、D 三点，CB 的延长线交O 于 E，连接 AE、OD根据以上条件，写出四个正确的结论 （半径相等及勾股定理结论除外，且不得添加辅助线） _ _ _ _ 19 （2006福州）如图， O 的两条弦 AF、BE 的延长线交于 C 点，ACB 的平分线CD 过点 O，请直接写出图中一对相等的线段： _ 20 （2012宁夏）在 O 中，直径 ABCD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD 于点 F，且CFAD 求D
11、的度数C 档（跨越导练）21 （2008济南） （1）已知：如图 1，ABDE，ACDF，BE=CF求证：AB=DE；（2）已知：如图 2，PAC=30，在射线 AC 上顺次截取 AD=3cm，DB=10cm，以 DB为直径作O 交射线 AP 与 E，F 两点，求圆心 O 到 AP 的距离及 EF 的长22 （2007佛山）如图， O 是ABC 的外接圆，且 AB=AC=13，BC=24，求O 的半径23 （2005三明）如图，在半径是 4 的O 中，点 Q 为优弧 的中点，圆心角MON=60，点 P 在 （M 点除外）上运动，设点 P 到弦 MN 的距离为 x， OMN 的面积是 S（1）求
12、弦 MN 的长；（2）试求阴影部分面积 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）试分析比较，当自变量 x 为何值时，阴影部分面积 y 与 S 的大小关系24 （2003大连）如图，在 ABC 中，以 BC 为直径的O 交 AB 于 D，交 AC 于E，BD=CE 求证：AB=AC25 （2002武汉）已知：如图，在O 中，AB 为弦，C，D 两点在 AB 上，且AC=BD，求证：OCD 为等腰三角形26 （2002宁德）如图， AB 是半圆 O 的直径，BC 是弦，点 P 从点 A 开始，沿 AB 向点B 以 1cm/s 的速度移动，若 AB 长为 10cm，点 O 到
13、BC 的距离为 4cm（1）求弦 BC 的长；（2）问经过几秒后BPC 是等腰三角形？27 （2012历下区一模） （1）已知：如图 1，把 ABC 绕边 BC 的中点 O 旋转 180得到DCB求证：四边形 ABDC 是平行四边形（2）如图 2，在平面直角坐标系中，以点 A（ ，0）为圆心作A ，A 与 x 轴相交于点 B，C ，与 y 轴相交于点 D，E，且 C 点坐标为（ ，0） 求线段 DE 的长28 （2011武汉模拟）小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，O 中，OM弦 AB 于点 M，ON弦 CD 于点 N，若 OM=ON，则 AB=CD（1）请帮小雅证明这个结论；（
14、2）运用以上结论解决问题：在 RtABC 中，ABC=90，O 为 ABC 的内心，以 O为圆心，OB 为半径的 O D 与ABC 三边分别相交于点 D、E、F、G 若AD=9， CF=2，求 ABC 的周长29如图，在平面直角坐标系 xoy 中，O 1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴正半轴交于C 点，已知 A（1，0） ，O 1（1，0）（1）求出 C 点的坐标；（2）过点 C 作 CDAB 交O 1 于 D，若过点 C 的直线恰好平分四边形 ABCD 的面积，求出该直线的解析式；（3）如图，已知 M（1， ） ，经过 A、M 两点有一动圆O 2，过 O2 作O2EO 1M 于 E
15、，若经过点 A 有一条直线 y=kx+b（k0 ）交O 2 于 F，使 AF=2O2E，求出 k、b 的值30已知：如图，PAC=30，在射线 AC 上顺次截取 AD=2cm，DB=6cm，以 DB 为直径作O 交射线 AP 于 E、F 两点，又 OMAP 于 M求 OM 及 EF 的长成长足迹垂直于弦的直径答案典题探究例 1. 例 2.例 3. 例 4.演练方阵A档（巩固专练）1 解：连接 OC，CDAB ，CD=8，PC= CD= 8=4，在 RtOCP 中，PC=4，OP=3，OC= = =5故选 C2 解：连接 AC，AO，O 的直径 CD=10cm，ABCD，AB=8cm ，AM=
16、AB= 8=4cm，OD=OC=5cm，当 C 点位置如图 1 所示时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM= = =3cm，CM=OC+OM=5+3=8cm，AC= = =4 cm；当 C 点位置如图 2 所示时，同理可得 OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，在 RtAMC 中，AC= = =2 cm故选 C3 解：根据甲的思路，作出图形如下：连接 OB，BC 垂直平分 OD，E 为 OD 的中点，且 ODBC，OE=DE= OD，又 OB=OD，在 RtOBE 中，OE= OB，OBE=30，又 OEB=90 ，BOE=60，OA=OB， OAB=OBA，又BOE 为AO
17、B 的外角，OAB=OBA=30，ABC=ABO+ OBE=60，同理C=60 ，BAC=60，ABC=BAC=C，ABC 为等边三角形，故甲作法正确；根据乙的思路，作图如下：连接 OB，BD ，OD=BD，OD=OB，OD=BD=OB，BOD 为等边三角形，OBD=BOD=60，又 BC 垂直平分 OD，OM=DM，BM 为OBD 的平分线，OBM=DBM=30，又 OA=OB，且 BOD 为AOB 的外角，BAO=ABO=30，ABC=ABO+ OBM=60，同理ACB=60，BAC=60，ABC=ACB=BAC，ABC 为等边三角形，故乙作法正确，故选 A4 解：根据垂线段最短知，当 O
18、MAB 时，OM 有最小值，此时，由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，连接 OA，AM= AB=4，由勾股定理知，OM=3故选 B5 解：O 的直径 AB弦 CD，CE=DE故选 B6 解：如图：以 AB 为底边，过点 O 作弦 AB 的垂线分别交O 于点 P1、P 2，AP 1=BP1，AP 2=BP2，故点 P1、P 2 即为所求以 AB 为腰，分别以点 A、点 B 为圆心，以 AB 长为半径画弧，交O 于点 P3、P 4，故点 P3、P 4 即为所求共 4 个点故选 D7 解：作 ODAB 于 D，连接 OA根据题意得 OD= OA=1cm，再根据勾股定理得：AD= cm，根据垂径定
19、理得 AB=2 cm故选 C8 解：由垂径定理知，OC 垂直平分 AB，即 OC 与 AB 互相垂直平分，所以四边形OACB 是菱形故选 C9来源:学优高考网解：AB=8cm，AC=6cm，AD=4 ，AE=3 ，四边形 OEAD 是矩形，OA=5 故选 B10 解：若是圆心则 C 中最长的弦与最短的弦是同一条，所以只有 C 正确故选 CB档（提升精练）11 解：作 OGEF，连接 OD，G 为 CD 中点，又 CD=8cm，则 DG= CD=4cm又 AB=10cm，OD= AB=5cm，所以 OG= =3cm根据梯形中位线定理，得 A、 B 两点到直线 CD 的距离之和为 32=6（cm）
20、 故选 D12 解：AB 为O 的直径，弦 CDAB 垂足为 E，则 AB 是垂直于弦 CD 的直径，就满足垂径定理因而 CE=DE， ，BAC=BAD 都是正确的根据条件可以得到 AB 是 CD 的垂直平分线，因而 AC=AD所以 D 是错误的故选 D13 解：如图，延长 ME 交O 于 G，E、F 为 AB 的三等分点，MEB=NFB=60，FN=EG，过点 O 作 OHMG 于 H，连接 MO，O 的直径 AB=6，OE=OAAE= 6 6=32=1，OM= 6=3，MEB=60 ，OH=OEsin60=1 = ，在 RtMOH 中， MH= = = ，根据垂径定理，MG=2MH=2 =
21、 ，即 EM+FN= 故答案为： 14 解：过 O 点作 OHEF 于 H，连 OF，如图则 EH=FH，在 RtAOH 中，AO=AD+OD=3+5=8 ，A=30 ，则 OH= OA=4，在 RtOHF 中，OH=4，OF=5，则 HF= =3，则 EF=2HF=6cm故答案为 615 解：MN=20，O 的半径=10 ，连接 OA、OB，在 RtOBD 中，OB=10，BD=6，OD= = =8；同理，在 RtAOC 中，OA=10 ，AC=8 ，OC= = =6，CD=8+6=14，作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 AB，则 AB即为 PA+PB 的最小值，BD=BD=6，过点
22、 B作 AC 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，在 RtABE 中，AE=AC+CE=8+6=14，BE=CD=14，AB= = =14 故答案为：14 16 解：连接 OA，ODAB，OEAC，来源:gkstk.ComAE= AC= 6=3（cm ） ，AD= AB= 8=4（cm） ，OEA=ODA=90 ，AB、AC 是互相垂直的两条弦，A=90 ，四边形 OEAD 是矩形，OD=AE=3cm，在 RtOAD 中，OA= =5cm故答案为：5cm17 解：圆弧所在圆的圆心是 AB 与 BC 的垂直平分线的交点AB 的垂直平分线是 x=1，点 B 的坐标是（1，5） ，C 的坐标是（4，
23、2） ，BC 的垂直平分线与 x=1 的交点的纵坐标是 0，因而该圆弧所在圆的圆心坐标是（1，0） 18 解：因为ABE=90，故 AE 为直径，A 、O 、E 共线；AE 是直径，OD 是ACE 的中位线，OD= CE， C=ODA又OAD=ODA，C=OAD，AE=CE19 解：这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线 CD，根据对称的性质，得 AF=BE 或CF=CE 或 AC=BC20 解：方法一：连接 BD AB 是O 直径，BDAD又CF AD，BDCF，BDC=C又BDC= BOC，C= BOCABCD ，C=30 ，ADC=60方法二：设D=x，CF AD，ABCD，A=A，AFO
24、 AED，D= AOF=x，AOC=2ADC=2x ，x+2x=180，x=60，ADC=60C 档（跨越导练）21 （1）证明：ABDE，B=DEF，ACDF，F=ACBBE=CF，BE+EC=CF+EC，即 BC=EFABCDEF，AB=DE；（2）解：过点 O 作 OGAP 于点 G，连接 OF， （4 分）DB=10cm，OD=5cm，AO=AD+OD=3+5=8（cm ） ，PAC=30，OG= AO= 8=4（cm） （5 分）OGEF，EG=GF，GF= =3（cm ） ，EF=6（cm） （7 分）22 解：连接 OA 交 BC 于点 D，连接 OC，OB，AB=AC=13，
25、= ，AOB=AOC，OB=OC，AOBC，CD= BC=12在 RtACD 中，AC=13，CD=12所以 AD=设O 的半径为 r则在 RtOCD 中，OD=r5，CD=12，OC=r所以（r5） 2+122=r2解得 r=16.9答：O 的半径为 16.923 解：（1）OM=ON，MON=60MON 是等边三角形MN=ON=4（2）作 OHMN 于 H 点，MH= MN=2y=SPMN= 4x，即 y=2x在 RtOHM 中， OH2=OM2MH 2OH=20x4+2（3）OMN 的面积 S=4令 y=s，即 2x=4x=2当 x=2 时，y=s当 0x2 时，ys当 2 时，ys24
26、 证明：连接 BE，CD，则BDC=CEB=90 BD=CE，弧 BD=弧 CEEBC=DCBBC=CB，BEC CDB （AAS）ABC=ACBAB=AC25 证明：从 O 向 AB 引垂线，交点为 E，则根据垂径定理可知 AE=BEAC=BD，CE=DEOE 是 CD 的垂直平分线所以 OC=ODOCD 为等腰三角形26 解：（1）作 ODBC 于 D，由垂径定理知，点 D 是 BC 的中点，BD= BC，OB= AB=5，OD=4，由勾股定理得，BD= =3， 来源:gkstk.ComBC=2BD=6cm；（2）设经过 t 秒后，BPC 是等腰三角形，当 PC 为底边时，有 BP=BC，
27、10t=6 ，解得：t=4（秒） ；当 BC 为底边时，有 PC=PB，P 点与 O 点重合，此时 t=5（秒） ；当 PB 为底边时，有 PC=BC，连接 AC，作 CEAB 于 E，则 BE= ， AE= ，AB 是直径，ABC 是直角三角形，根据勾股定理 AC= = =8，由 AC2AE 2=BC2BE 2，64（ ） 2=36（ ） 2，解得：t=2.8（秒） 综上，经过 4 秒或 5 秒或 2.8 秒时，BPC 是等腰三角形27 （1）证明：AB=DC，AC=DB，四边形 ABDC 是平行四边形；（2）解：连接 AE，A（ ，0）为圆心作A，A 与 x 轴相交于点 B，C，与 y 轴
28、相交于点 D，E，且 C 点坐标为（ ，0） OA= ，OC=3 ，圆的半径长是：3 =2 ，在直角OAE 中，OE= = =3，OADE ，DE=2OE=628 解：（1）连 OA，OC，如图，OMAB ，ON CD ，AM= AB，CN= CD，在 RtAOM 中， AM= ，在 RtCON 中，CN= ，OA=OC，OM=ON，AM=CN，AB=CD；（2）分别过 O 点作ABC 三边的垂线，垂足分别为点 P、M、N，连 OA、OC，如图，O 为ABC 的内心，OP=OM=ON，来源:gkstk.ComDB=BE=GF，DP=PB=BM=ME=FN=NG， ， ，RtOAPRtOAN，R
29、tOCMRtOCN ，AP=AN，CM=CN ，AD=AG=9， CE=CF=2，设 BD=x，则 AB=9+x，BC=2+x ，AC=11+x，AC 2=AB2+BC2，（11+x） 2=（9+x ） 2+（2+x） 2，x 2=36，x=6，ABC 的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=4029 解：（1）A（1，0） ，O 1（1，0） ，OA=OO 1 又 O1A=O1C， （1 分）易知O 1AC 为等边三角形， （2 分）易求 C 点的坐标为（0， ） （4 分）（2）解法一：连接 AD；CDAB ，CDA=BAD， ，AC=BD 又 AC 不平行 BD，四边形 ABCD
30、为等腰梯形， （5 分）过 D 作 DHAB 于 H；AOCBDH，四边形 COHD 为矩形， （6 分）CH 必平分四边形 ABCD 的面积， （7 分）易求 CH 的解析式： ；（8 分）解法二：设直线 CH 平分四边形 ABCD 的面积，并设 H（x，0） ，连接 AD，CDAB ，CDA=BAD， ，AC=BD=2，S ACH=S 梯形 CDBH， ，x+1=5 x，x=2，由 C（0， ）和 H（2，0） ，易求 CH 的解析式： （3）证法一：分别延长 MO1，MO 2 交O 2 于 P，N，连接 PN；PN=2O 2E， （9 分）连接 MA，MF，AN；A（1，0） ，M（1， ） ，MAO 1=60，AMO 1=30，NAO 1=30，AF=2O 2E=PN，FMA=PMN，PMN+PMF= FMA+PMF=AMO 1=30，FMN=PMA=FAN=30， （10 分）FAO 1=60， （11 分）易求 AF 的解析式为 ，k= ，b= （12 分）30 解：连接 OF，DB=6cm，OD=3cm，AO=AD+OD=2+3=5cm，PAC=30，OMAP ，在 RtAOM 中，OM= AO= 5= cmOMEF ，EM=MF，MF= = cmEF= cm
