1、4-2.4.3 平面向量数量积(3)-坐标表示、模、夹角教学目的：要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.能用所学知识解决有关综合问题.教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1两个非零向量夹角的概念已知非零向量 与 ，作 OA ， B ，则 （ ）叫 与 的夹角.2平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是 ，则数量|a|b|cos 叫 与 的数量积，记作 ab，即有 ab = |a|b|cos，（）.并规定
2、0 与任何向量的数量积为 0. 3向量的数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos 的乘积.4两个向量的数量积的性质：设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 03 当 a 与 b 同向时，a b = |a|b|；当 a 与 b 反向时， ab = |a|b|. 特别的 aa = |a|2 或 |4 cos = |b ；5|a b| | a|b|C5平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：( a)b = (ab) = a(b)分配律：(a + b)c = a
3、c + bc二、讲解新课： 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量 ),(1yxa， ),(2yxb，试用 a和 b的坐标表示 ba.设 i是 x轴上的单位向量， j是 轴上的单位向量，那么 jyix1，jyb2所以 )(21jyixjia 21122121 jyjixjiyix又 i， j， 0iji，所以 ba这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 ba21yx2. 平面内两点间的距离公式一、 设 ),(yxa，则 22|yxa或 2|yxa.（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ),(1yx、),(yx，那么 2121)()(| yxa(平面内两点
4、间的距离公式)二、 向量垂直的判定设 ),(1， ),(2yb，则 ba021yx三、 两向量夹角的余弦（ 0） cos = |ba 221yx四、 讲解范例：五、 设 a = (5， 7)，b = (6， 4)，求 ab 及 a、b 间的夹角 (精确到 1o)例 2 已知 A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断ABC 的形状，并给出证明.例 3 已知 a = (3， 1)， b = (1， 2)，求满足 xa = 9 与 xb = 4 的向量 x.解：设 x = (t， s)，由 429349tb32st x = (2， 3)例 4 已知 a（， ） ，b（ ， ） ，则 a
5、 与 b 的夹角是多少?分析：为求 a 与 b 夹角，需先求 ab 及ab，再结合夹角 的范围确定其值.解：由 a（， 3） ，b（ 3， ）有 ab （ ），a，b 2记 a 与 b 的夹角为 ，则 2又， 4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例 5 如图，以原点和 A(5， 2)为顶点作等腰直角 OAB ，使 B = 90，求点B 和向量 的坐标.解：设 B 点坐标( x， y)，则 OB= (x， y)， AB= (x5， y2) OB A x (x5) + y(y2) = 0 即：x 2 + y2 5x 2y = 0又| | = | | x 2 + y2 = (x5)
6、2 + (y2)2 即：10x + 4y = 29由 273294100512 yyyx或B 点坐标 )23,7(或 )7,(； AB= ),3(或 )3,( 例 6 在ABC 中， =(2， 3)， C=(1， k)，且ABC 的一个内角为直角，求 k 值.解：当 A = 90时， B A= 0，21 +3 k = 0 k = 23 当 B = 90时， C= 0， = AB= (12， k3) = (1， k3)2( 1) +3(k3) = 0 k = 31 当 C = 90时， A BC= 0，1 + k( k3) = 0 k = 213 六、 课堂练习：1.若 a=(-4，3)，b=(
7、5，6) ，则 3|a| a b（ ）A.23 B.57 C.63 D.832.已知 A(1， 2)，B(2，3) ，C(-2，5)，则ABC 为（ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知 a=(4，3)，向量 b 是垂直 a 的单位向量，则 b 等于（ ）A. )54,3(或 ),( B. )54,3(或 ),(C. ),(或 )3,( D. ),(或 ),(4.a=(2，3) ， b=(-2，4)，则 (a+b)(a-b)= .5.已知 A(3， 2)，B(-1，-1)，若点 P(x，- 21)在线段 AB 的中垂线上，则 x= .6.已知 A(1， 0)，B(3，1) ，C(2，0)，且 a= BC，b = A，则 a 与 b 的夹角为 .七、 小结（略） 八、 课后作业（略）九、 板书设计（略）十、 课后记：
