1、中档题型训练(六) 直角三角形的应用解直角三角形的应用是遵义中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解仰角、俯角问题【例1】(2016宜宾中考)如图，CD是一高为4 m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C 点测得树顶A点的仰角30，从平台底部向树的方向水平前进3 m到达点E，在点E处测得树顶 A点的仰角60，求树高AB.(结果保留根号)【解析】作CFAB于
2、点F，构造Rt 求解【学生解答】解：作CFAB于点F，设AFx m，在RtACF 中，tan ACF ，则CF x，在RtABE中，ABxBF(4AFCF AFtan ACF xtan xtan30 3x)m，在 RtABE 中，tanAEB ，则BE (x4) m.CF BEDE ，即 x (x4)ABBE ABtan AEB x 4tan60 33 3 333.解得x .则AB 4 (m)答：树高AB是 m.来源:学优高考网gkstk33 42 33 42 33 122 33 1221(2016茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆 CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测
3、到旗杆顶端C的仰角CAD60，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30，已知教学楼AB高4 m.(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；( 结果保留根号)(2)求旗杆CD 的高度 来源:学优高考网gkstk解：(1)教学楼B 点处观测到旗杆底端D 的俯角是30， ADB 30，在Rt ADB 中，BAD90，ADB 30，AB4 m，AD 4 (m)答：教学楼与旗杆的水平距离是4 ABtan ADB 4tan30 3 3m；(2)在Rt ACD中，ADC90，CAD60，AD 4 3m，CD ADtan604 12(m )答：旗杆CD的高度是12 m.3 32(2016泸州中考)如图，
4、为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底 C处60 3m的点D( 点D与楼底 C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i 1 的斜坡DB前进30 3m到达点B ，在点B处测得楼顶 A的仰角为53，求楼房AC的高度(参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 ，计算结果用根号表示，不取近似值)43解：如图，作BNCD于点N，BMAC于点M.在Rt BDN中，BD30，BNND 1 ，BN15，DN315 ， CCMBCNB90，四边形CMBN 是矩形，CMBM15，BMCN60 15 43 3 35 ，在 RtABM 中，tanABM ，AM 60 ，ACAMCM60 15.3AMBM 4
5、3 3 3方位角问题【例2】(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向，距离灯塔 20海里的A 处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西 45方向上的B 处？(参考数据： 1.732，结果精确到0.1)3【学生解答】解：如图，作ACPC于点C，APC60，BPC45，AP20，在RtAPC中，cosAPC ，PC20cos6010，AC 10 ，在RtPBC中，BPC 45，PBC为等腰PCAP 202 102 3直角三角形，BCPC 10 ，ABACBC10 107.3(海里) 答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P 南偏3西45方向上的B处3(2016眉山中考)如图，埃航MS804客
6、机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500 m的A点处测得俯角为45的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行 2 000 m后到达B 点，在B处测得俯角为 60的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度( 结果保留根号)解：过C作CD AB于D，交海面于点E，设BDx，CBD60，tan CBD ，CD x.CDBD 3 3AB2 000， ADx2 000，CAD45，tanCAD 1， xx2 000，解得x1 000 1 CDAD 3 3000，CD (1 000 1 000)3 0001 000 ，
7、CECDDE3 0001 000 5003 5001 3 3 3 3000 .答：黑匣子C点距离海面的深度为(3 5001 000 )m.3 3坡度、坡比问题来源 :gkstk.Com【例3】(2016遵义一中三模)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D的仰角为60.已知A点的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1 (即 ABBC 1 )，且B，C，E三点在同一条直线上请根据以上条件求出树DE 的3 3高度(测倾器的高度忽略不计 )【学生解答】解：在
8、RtABC中，tan ACB ，ACB30，BAC 60，PAC30ABBC 13 33，ACD180ACBDCE90，DAC60.在RtABC中，ACB30，AC2AB6.在Rt ACD中，DCACtanDAC6tan606 .在RtCDE中，DEDCsinDCE6 sin609( 3 3m)答：树DE的高为9 m.4(2016遵义六中一模)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30，AC的长为 332m，钓竿OA的倾斜角是60，其长为3 m，若OA与钓鱼线 OB的夹角为60，求浮漂B与河堤下端C之间的距离解：延长OA交直线BC 于点D.OA的倾斜角是60，ODB60，ACD30，CAD
9、 180ODB ACD90.在Rt ACD中，ADACtanACD (m)CD2AD 3 332 33 32m又O60，BOD 为等边三角形，BDODOAAD3 4.5( m)BCBDCD4.53321.5(m )答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5 m .生活中的解直角三角形问题【例4】(2016遵义红花岗模拟 )如图，伞不论张开还是收紧，伞柄 AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时，结点D与点 M重合，且点A 、E、D 在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位： cm) 如下：伞架 DE来源:gkstk.ComDF AE AF AB AC长度 36 36 36 36来
10、源:gkstk.Com86 86(1)求AM 的长；(2)当BAC104时，求AD的长( 精确到1 cm，备用数据：sin 520.788，cos 520.615 7，tan521.279 9)【学生解答】解：(1)由题意，得AMAEDE 363672(cm )故AM的长为72 cm；(2)AP平分 BAC，BAC104，EAD BAC52.过点E作EGAD 于G ，AEDE36，12AGDG，AD2AG.在AEG中，AGE 90， AG AE cosEAG36 cos52360.615 722.165 2.AD2AG222.165 244(cm )答：AD的长约为44 cm.5(2015重庆
11、中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形 ABCD，其中AB CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N. 观察员在瞭望台顶端P 处观测到渔船M的俯角为31，渔船N的俯角为45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30 m.(1)求两渔船M ， N之间的距离；(结果精确到1 m)(2)已知坝高24 m，坝长100 m，背水坡AD的坡度i10.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，
12、结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据： tan310.60，sin310.52)解：(1)在直角PEN 中，ENPE 30 m，ME 50(m)，则MN EMEN 20(m)答：两渔船M、N 之间的距离是20 PEtan31m；(2)过点D作 DNAH于点N. 由题意得：tan DAB4 ，tan H .在直角DAN中，AN 6(47 DNtan DAB 244m)，在直角DHN中，HN 42(m)故AHHNAN42636( m)S ADH AHDN432DNtanH 2447 12(m2)故需要填筑的土石方是V SL 43210043 200(m3)设原计划平均每天填筑x m3，则原计划 天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2x m3.根据题意，得：10x43 200x2x43 200，解得：x864.经检验，x864是原方程的解(43 200x 10 20)答：施工队原计划平均每天填筑土石方864 m 3.
