1、中档题型训练(五) 圆的有关计算、证明与探究圆的有关计算与证明是遵义中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系与圆的有关性质【例1】(2016黔西南模拟)如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，点P在O上，1C.(1)求证：CBPD；(2)若BC3，sinP ，求O的直径35【解析】(1)通过圆周角转换找出一组内错角相等；(2)通过连接直径所对圆周角构造直角三角形，利用三角函数解决直径问题来源:学优高考网【学生解答】解：(1)C P，1C，1P
2、，CB PD；(2)连接AC，AB为O 的直径，ACB90 .又CD AB ， .P CAB. sin CABsinP ，即 .又BC 3，AB5.BD BC 35 BCAB 35O的直径为5.1(2016遵义六中一模)如图，A，B是O上的两点，AOB120，C是 的中点AB (1)求证：AB 平分 OAC；(2)延长OA至P使得OAAP，连接PC ，若O的半径R1，求PC 的长解：(1)连接OC，AOB120，C是 的中点，AOCBOC60.OA OC，ACO是等边AB 三角形，OAAC.同理OBBC.OAACBCOB.四边形AOBC是菱形AB平分OAC；(2) C 为AB 中点，AOB12
3、0， AOC60.OAOC，OAC是等边三角形OAAC，OAAP，APAC. APC30.OPC是直角三角形，PC OC .3 3圆的切线的性质与判定【例2】(2016遵义二中一模)如图，AB是O的直径，BC 为O 的切线，D为O上的一点，CDCB，延长CD交BA 的延长线于点E.(1)求证：CD 为 O的切线；(2)若BD 的弦心距 OF1，ABD 30，求图中阴影部分的面积 (结果保留 )来源:学优高考网【解析】(1)证ODC ABC90；(2)在Rt OBF中，ABD 30，OF1，可求得BD的长，BOD的度数，又由S 阴影 S 扇形OBD S BOD ，即可求解【学生解答】解：(1)连
4、接OD，BC是O的切线，ABC90.CDCB ，CBDCDB.OBOD，OBDODB.ODCABC90，即OD CD. 点D 在O上，CD为O的切线；(2) 在Rt OBF中， ABD30，OF 1，BOF60，OB 2，BF .OFBD，BD2BF2 ，BOD 23 3BOF 120.S 阴影 S 扇形OBD S BOD 2 1 .120 22360 12 3 43 32(2016南充中考)如图，在RtABC中，ACB 90，BAC的平分线交BC于点O，OC1，以点O为圆心OC为半径作半圆(1)求证：AB 为 O的切线；(2)如果tanCAO ，求cosB 的值13解：(1)如图，作OM A
5、B于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OCOM，AB是O的切线；(2)设BMx，OBy，则y 2 x21 ，cosB ， ，x 23xy 2y BMOB BCAB xy y 1x 3，由可以得到：y3x1，(3x1) 2x 21， x ，y ，cosB .34 54 xy 353(2016常德中考)如图，已知O是ABC 的外接圆，AD是O 的直径，且BD BC，延长AD到E，且有EBD CAB.(1)求证：BE是O 的切线；(2)若BC ，AC5，求圆的直径AD及切线BE 的长3解：(1)如图， 连接OB ，BDBC，CABBAD，EBD CAB，BAD EBD，AD 是O的直径，ABD
6、90 ，OABO，BADABO ，EBDABO，OBEEBDOBDABOOBDABD 90，点B在O 上，BE是O的切线；(2) 如图，设圆的半径为R ，连接CD，AD为O的直径，ACD90，BC BD，OB CD，OBAC ，OA OD，OF AC ，四边形ACBD是圆12 52内接四边形，BDEACB，DBECAB，DBECAB， ， ，DE ，DBAC DEBC 35 DE3 35OBEOFD90，DF BE， ， ，R0 ，R3，BE是O的切线，BEOFOB ODOE 52R RR 35 .DEAE35(23 35) 31154(2016遵义航中二模)如图，点O为Rt ABC斜边AB上
7、一点，以 OA为半径的O与BC切于点D，与AC交于点E ，连接 AD.(1)求证：AD平分BAC ；(2)若BAC60，OA2，求阴影部分的面积( 结果保留 )解：(1)O切 BC于点D，ODBC，ACBC，ACOD ，CADADO ，OA OD ，OADADO，OADCAD ，即AD平分BAC ；(2) 设EO与AD 交于点M，连接ED. BAC60，OA OE， AEO是等边三角形， AEOA，AOE60，AEAO OD ，又由(1)知，ACOD 即AEOD，四边形AEDO是菱形，则AEMDOM，EOD 60，S AEM S DMO ，S 阴影 S 扇形EOD 60 22360 .23圆与
8、相似及三角函数综合来源:gkstk.Com【例3】(2016遵义十一中一模 )如图，AB是O的直径，过点A作O的切线并在其上取一点C，连接OC交O于点D，BD的延长线交AC于点 E，连接AD.(1)求证：CDECAD ；(2)若AB 2，AC2 ，求AE的长2【解析】(1)利用圆的知识证角相等得出相似；(2)利用勾股定理及相似知识解决线段长度的计算【学生解答】解：(1)AB 是 O 的直径，ADB 90，ABDBAD90.又AC是O的切线，AB AC ，即 BAC 90 ，CADBAD90，ABDCAD. ABDBDOCDE，CAD CDE.又CC ，CDECAD ；(2) 在RtOAC中，O
9、AC90，OA 2AC 2OC 2，即12(2 )2OC 2，OC3， CD2.又由CDECAD ，得 ，即 ，CE .AEACCE2CDCE CACD 2CE 222 22 .2 2 2来源:gkstk.Com5(2016遵义航中一模)如图，AB是O的直径，CDAB于点G，点F是CD上一点，且满足 ，连接AF并CFFD 13延长交O于点E，连接AD， DE，若CF2，AF3.(1)求证：ADFAED；(2)求FG的长；(3)求证：tanE .来源:gkstk.Com54解：(1)AB 是 O的直径，弦CDAB，DGCG ， ，ADF AED ，FAD DAE(AD AC 公共角) ， ADFAED；(2) ，CF2，FD6，CD DFCF8，CGDG4，FGCFFD 13CGCF2；(3)AF 3，FG 2，AG ，tanEtanADG .AF2 FG2 5AGDG 54
