1、专训 1.常见二次根式化简求值的九种技巧名师点金：在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法估算法1若将三个数 ， ， 表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆3 7 11盖的数是_(第 1 题)公式法2计算：(5 )(5 2 )6 2 3拆项法3计算： .提示： 4 3 ( )3( )6 4 3 3 2（6 3）（3 2） 6 3 2 6 3 3 2换元法4已知 n 1，求 的值2n 2 n2 4n 2 n2 4 n 2 n2 4n 2 n2 4整体代
2、入法5已知 x ，y ，求 4 的值13 2 2 13 2 2 xy yx因式分解法6计算： .2 32 6 10 15来源:gkstk.Com配方法7若 a，b 为实数，且 b 15，试求 3 5a 5a 3ba ab 2的值ba ab 2辅元法8已知 xyz 12 3(x0，y0，z0)，求 的值x yx z x 2y先判后算法9已知 ab 6，ab 5，求 b a 的值ba ab专训 2.二次根式运算常见的题型名师点金：进行二次根式的运算时，(1)先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分式的形式，然后通过分母有理
3、化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式利用运算法则进行计算1计算：(1)( 1)( 1) |1 |( 2) 0 ；5 5 ( 13) 2 2 8(2)(2 )2 016(2 )2 0172 .3 3 | 32|利用公式进行计算2计算：(1)( 1)2( 2) 22( 1)( 2)；3 3 3 3(2)( )2( )2；2 3 5 2 3 5(3) .aa aba ab a ba b利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值3已知 5 和 5 的小数部分分别为 a，b，试求代数式 aba 4b3
4、3 3的值利用化简求值4先化简，再求值： ，其中 a .(1 1a 1) aa2 2a 1 32利用整体思想巧求值5已知 x1 ，y1 ，求 x2y 2xy2x2y 的值2 2利用二次根式加减运算的特征求字母的取值(范围)或式子的值6已知 a，b 是正整数，且 ，求 a b 的值a b 1 998答案专 训 11. 点拨：因为 0，2 3，3 4，所以被墨汁覆盖的数为7 3 7 11.72解：原式(5 )5 ( )2 6 2 2 3(5 ) (5 )6 2 6 (5 )(5 )2 6 6 (256)19 .来源:gkstk.Com2 23解：原式 来源:gkstk.Com（6 3） 3（3 2
5、）（6 3）（3 2） 6 3（6 3）（3 2） 来源:学优高考网3（3 2）（6 3）（3 2） 13 2 36 3 3 2 6 3 .6 24解：设 xn2 ，yn2 ，n2 4 n2 4则 xy2n4，xy4n8.原式 2 2n.xy yx x2 y2xy （x y）2 2xyxy （x y）2xy （2n 4）24n 8当 n 1 时，原式 1.2 25解：由已知得：x32 ，y32 ，所以 xy6，xy1，2 2所以原式 30.x2 y2 4xyxy （x y）2 6xyxy6解： 2 32 6 10 15 2 32（2 3） 5（2 3） 2 3（2 3）（2 5） 12 5 5
6、 2（5 2）（5 2） . 5 25 2 5 237解：由二次根式的定义，得 3 5a0，5a 30，)35a0， a .b 15，ab0，ab 0.35 ba ab 2 ba ab 2 （a b）2ab （a b）2ab ( ) .a bab ab b aab ab a bab b aab ab 2bab当 a ，b 15 时， 35原式 .215 3515 25方法点拨：对于形如 2 或 2 的代数式一般要变为 或ba ab ba ab （a b）2ab的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意 ab 和 ab 以及 ab（a b）2ab的符号8解：设 xk(k0) ，则 y2k，z
7、3k，原式 2 .3k4k 5k 32 5 15 39解：a b6，ab5，a0，b0.b a ba ab baab abab ab(ba ab) （a b）2 2abab 36 105 .265 26 55点拨：解此类题，应先考虑字母取值的正负情况，再进行二次根式的化简，同时运用整体思想代入求值，不能一味地想求出单一字母的值，导致问题复杂化，甚至无法求解专 训 21解：(1)原式 49 112 73 .2 2 2(2)原式(2 )(2 )2 016(2 )2 2 2.3 3 332 3 32解：(1)原式 ( 1)( 2) 2( 1 2) 29.3 3 3 3(2)原式( )( )2 (2
8、2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 2 )4 4 .3 5 6 10(3)原式 ( ) .a（a b）a（a b） （a b）（a b）a b a a b a a b b点拨：在进行二次根式的混合运算时，灵活运用乘法公式(如(1)和分解因式(如(2)(3) 可简化计算过程3解： 的整数部分为 1，35 6a ，5 3b，即 a 1，b2 .3 3 3 3aba4b3( 1)(2 )( 1)4(2 )353 3 3 3 3 1 84 3 12 .3 3 3 3方法总结：确定二次根式整数部分和小数部分的方法：先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次根式与整数部分的差确定小
9、数部分，即由 n n1 可以确定 的整数部分为 n，小数部分为 n.a a a4解： a1.(1 1a 1) aa2 2a 1 (a 1a 1 1a 1)（a 1）2a aa 1（a 1）2a把 a 代入，得原式 1 .32 32 3 225解：x1 ，y1 ，2 2xy(1 )(1 )2 ，2 2 2xy(1 )(1 )1 ，2 2x 2y 2xy2x2y(xy) 22(xy) xy( 2 )22(2 )2 2(1)7 4 .26解：由 可知 ， ， 是可以合并的二次根式a b 1 998 a b 1 998 3 ，故可设 m ， n ，1 998 9222 222 a 222 b 222则 m n 3 ，即(mn) 3 ，222 222 222 222 222mn3.又m，n 是正整数， 或 或 来源:学优高考网m 1，n 2) m 2，n 1.) a 222，b 888) a 888，b 222.)ab1 110.点拨：本题容易产生的第一想法是把 两边平方，这样虽然能a b 1 998够得到 ab，但等式中增加了 ，同样不能求出结果，故只能根据“若ab ，则 ， ， 是可以合并的二次根式 ”这一性质来解决问题x y z x y z
