1、多边形与平行四边形一、选择题1. （2015 宁德 第 9 题 4 分）一个多边形的每个外角都等于 60，则这个多边形的边数为（ ）A8 B 7 C 6 D 5考点： 多边形内角与外角分析： 根据多边形的边数等于 360除以每一个外角的度数列式计算即可得解解答： 解：36060=6故这个多边形是六边形故选 C点评： 本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和、多边形的每一个外角的度数、多边形的边数三者之间的关系是解题的关键2. （2015 福建第 6 题 4 分）如图，在ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点，下列结论错误的是（ ）AABCD B AB=CD C AC=BD
2、D OA=OC考点： 平行四边形的性质.分析： 根据平行四边形的性质推出即可解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD ，AB=CD ，OA=OC，但是 AC 和 BD 不一定相等，故选 C点评： 本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分3. （2015，福建南平，6，4 分）八边形的内角和等于（ ）A 360 B 1080 C 1440 D 2160考点： 多边形内角与外角分析： 利用多边形内角和定理：（n2）180计算即可解答： 解：（82）180=1080，故选 B点评： 本题主要考查了
3、多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理：（n2）180是解答此题的关键4. （2015，广西玉林，9，3 分）如图，在ABCD 中，BM 是ABC 的平分线交 CD 于点M，且 MC=2，ABCD 的周长是在 14，则 DM 等于（ ）A 1 B 2 C 3 D 4考点： 平行四边形的性质分析： 根据 BM 是ABC 的平分线和 ABCD，求出 BC=MC=2，根据ABCD 的周长是14，求出 CD=5，得到 DM 的长解答： 解：BM 是ABC 的平分线，ABM=CBM ，ABCD ，ABM=BMC ，BMC=CBM，BC=MC=2，ABCD 的周长是 14，BC+CD=7，CD=5，则
4、DM=CDMC=3，故选：C点评： 本题考查的是平行四边形的性质和角平分线的定义，根据平行四边形的对边相等求出 BC+CD 是解题的关键，注意等腰三角形的性质的正确运用5. （2015 梧州 ,第 11 题 3 分）如图，在菱形 ABCD 中， B=60，AB=1 ，延长 AD 到点E，使 DE=AD，延长 CD 到点 F，使 DF=CD，连接 AC、CE、EF、AF ，则下列描述正确的是（ ）A 四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4B 四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 2+2C 四边形 ACEF 是平行四边形，它的周长是 4D 四边形 ACEF 是矩形，它的周长是 4+4考点：
5、 菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质所有分析： 首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可解答： 解：DE=AD，DF=CD，四边形 ACEF 是平行四边形，四边形 ABCD 为菱形，AD=CD，AE=CF，四边形 ACEF 是矩形，ACD 是等边三角形，AC=1，EF=AC=1，过点 D 作 DGAF 于点 G，则 AG=FG=ADcos30= ，AF=CE=2AG= ，四边形 ACEF 的周长为：AC+CE+EF+AF=1+ +1+ =2+2 ，故选 B点评： 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的
6、关键是了解有关的判定定理，难度不大6. （2015 天津 ,第 11 题 3 分） （2015 天津）如图，已知ABCD 中，AEBC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC，把BAE 顺时针旋转，得到 BAE ，连接 DA若ADC=60，ADA=50，则DAE的大小为（ ）A130 B 150 C 160 D 170考点： 旋转的性质；平行四边形 的性质分析： 根据平行四边形对角相等、邻角互补，得ABC=60，DCB=120，再由ADC=10，可运用三角形外角求出DAB=130，再根据旋转的性质得到BAE=BAE=30，从而得到答案解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADC
7、=60，ABC=60，DCB=120，ADA=50，ADC=10，DAB=130，AEBC 于点 E，BAE=30，BAE 顺时针旋转，得到BAE，BAE=BAE=30，DAE=DAB+BAE=160故选：C点评： 本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不大，关键是能综合运用以上知识点求出DAB 和BAE 7 （2015 葫芦岛） （第 8 题，3 分）如图，在五边形 ABCDE 中，A+B+ E=300，DP、CP 分别平分EDC、BCD，则P 的度数是（ ）A60 B 65 C 55 D 50考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理分析： 根据五边形
8、的内角和等于 540，由A+B+E=300 ，可求BCD+ CDE 的度数，再根据角平分线的定义可得PDC 与PCD 的角度和，进一步求得P 的度数解答： 解：五边形的内角和等于 540，A+B+E=300，BCD+CDE=540300=240，BCD、CDE 的平分线在五边形内相交于点 O，PDC+PCD= （BCD+CDE）=120，P=180120=60故选：A点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的 关键注意整体思想的运用二、填空题1 （3 分） （2015广东茂名 12，3 分）一个多边形的内角和是 720，那么这个多边形是 六 边形考点： 多边形内
9、角与外角分析： n 边形的内角和可以表示成（n2）180，设这个正多边形的边数是 n，就得到方程，从而求出边数解答： 解：这个正多边形的边数是 n，则（n2）180=720，解得：n=6则这个正多边形的边数是六，故答案为：六点评： 考查了多边形内角和定理，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解2 （4 分） （2015广东东莞 11，4 分）正五边形的外角和等于 360 （度） 考点： 多边形内角与外角分析： 根据多边形的外角和等于 360，即可求解解答： 解：任意多边形的外角和都是 360，故正五边形的外角和为 360故答案为：360点评： 本题主要考查多边形的
10、外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是 3603. （2015 甘南州第 10 题 4 分）如图，在A 1B1C1 中，已知A1B1=7，B 1C1=4，A 1C1=5，依次连接A 1B1C1 三边中点，得 A 2B2C2，再依次连接A2B2C2 的三边中点得 A 3B3C3，则A 5B5C5 的周长为 1 考点：三角形中位线定理.专题：规律型分析：由三角形的中位线定理得：A 2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半，所以A 2B2C2 的周长等于 A 1B1C1 的周长的一半，以此类推可求出 A 5B5C5 的周长为A1B1C1 的周
11、长的 解答：解：A 2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半，以此类推：A 5B5C5 的周长为 A 1B1C1 的周长的 ，则A 5B5C5 的周长为（7+4+ 5）16=1 故答案为：1点评：本题主要考查了三角形的中位线定理，关键是根据三角形的中位线定理得：A2B2、B 2C2、C 2A2 分别等于 A1B1、B 1C1、C 1A1 的一半，所以 A 2B2C2 的周长等于A1B1C1 的周长的一半4. （2015，福建南平，15，4 分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝
12、隙） ，给出以下结论：可以拼成等腰直角三角形；可以拼成对角互补的四边形；可以拼成五边形；可以拼成六边形其中所有正确结论的序号是 考点： 图形的剪拼分析： 分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解解答： 解：如图 1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图 2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图 3，图 4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号故答案为：点评： 本题考查了图形的简拼，此类题目，关键在于确定出重叠的边和图形的方法，难点在于考虑问题要全面5 （2015 内蒙古赤峰
13、15，3 分）如图，四边形 ABCD 中，AD BC，E 是 DC 上一点，连接 BE 并延长交 AD 延长线于点 F，请你只添加一个条件： BDFC 使得四边形BDFC 为平行四边形考点： 平行四边形的判定分析： 利用两组对边互相平行的四边形是平行四边形，进而得出答案解答： 解：ADBC ，当 BDFC 时，四边形 BDFC 为平行四边形故答案为：BDFC点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握判定方法是解题关键6 （2015 湖北十堰，第 14 题 3 分）如图，分别以 RtABC 的直角边 AC 及斜边 AB 为边向外作等边ACD、等边ABE，EF AB，垂足为 F，连接 DF，
14、当 = 时，四边形 ADFE 是平行四边形考点： 平行四边形的判定；等边三角形的性质分析： 由三角形 ABE 为等边三角形，EF 垂直于 AB，利用三线合一得到 EF 为角平分线，得到AEF=30，进而确定BAC=AEF，再由一对直角相等，及 AE=AB，利用 AAS 即可得证ABCEAF ；由BAC 与DAC 度数之和为 90，得到 DA 垂直于 AB，而 EF垂直于 AB，得到 EF 与 AD 平行，再由全等得到 EF=AC，而 AC=AD，可得出一组对边平行且相等，即可得证解答： 解：当 = 时，四边形 ADFE 是平行四边形理由： = ，CAB=30，ABE 为等边三角形，EFAB，E
15、F 为BEA 的平分线， AEB=60，AE=AB ，FEA=30，又BAC=30 ，FEA=BAC，在ABC 和EAF 中，ABCEAF（AAS） ；BAC=30，DAC=60，DAB=90，即 DAAB，EFAB ，ADEF，ABCEAF，EF=AC=AD，四边形 ADFE 是平行四边形故答案为： 点评： 此题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键7. （2015 河北 ,第 19 题 3 分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12= 24 考点： 多边
16、形内角与外角分析： 首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出3、1、2 的度数是多少，进而求出 3+1 2的度数即可解答： 解：正三角形的每个内角是：1803=60，正方形的每个内角是：3604=90，正五边形的每个内角是：（52）1805=31805=5405=108，正六边形的每个内角是：（62）1806=41806=7206=120，则 3+12=（90 60）+（120 108）（10890 ）=30+1218=24故答案为：24点评： 此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的
17、内角和=（n2）180 （n3 ）且 n 为整数） （2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 3608 （2015 辽宁阜新） （第 10 题，3 分）如图，点 E 是ABCD 的边 AD 的中点，连接 CE交 BD 于点 F，如果 SDEF=a，那么 SBCF= 4a 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析： 根据平行四边形的性质得到 ADBC 和 EFDCFB，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案解答： 解：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，EFDCFB，E 是边 AD 的中点，DE= BC，SDEF
18、： SBCF=1：4，SDEF=a，S BCF=4a，故答案为：4a点评： 本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方三、解答题1. （2015 宁德 第 20 题 4 分）如图，在边长为 1 的小正方形网格中，三角形的三个顶点均落在格点上（1）以三角形的其中两边为边画一个平行四边形，并在顶点处标上字母 A，B，C，D；（2）证明四边形 ABCD 是平行四边形考点： 平行四边形的判定；勾股定理专题： 作图题分析： （1）过 A 点作 ABCD，切 AB=CD，即可得到平行四边形 ABCD，如图；（
19、2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明解答： （1）解：如图，四边形 ABCD 为平行四边形；（2）证明：AB=CD，AB CD ，四边形 ABCD 为平行四边形点评： 本题考查了平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形2. （2015，广西柳州，24，10 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点 P 从点 A 出发以 2cm/s 的速度沿 ADC 运
20、动，点P 从点 A 出发的同时点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度向点 B 运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也停止运动设点 P，Q 运动的时间为 t 秒（1）从运动开始，当 t 取何值时， PQCD？（2）从运动开始，当 t 取何值时， PQC 为直角三角形？考点： 平行四边形的判定与性质；勾股定理的逆定理；直角梯形专题： 动点型分析： （1）已知 ADBC，添加 PD=CQ 即可判断以 PQDC 为顶点的四边形是平行四边形（2）点 P 处可能为直角，点 Q 处也可能是直角，而后求解即可解答： 解：（1）当 PQCD 时，四边形 PDCB 是平行四边形，此时 PD=QC，12
21、2t=t，t=4当 t=4 时，四边形 PQDC 是平行四边形（2）过 P 点，作 PEBC 于 E，DF BC，DF=AB=8FC=BCAD=1812=6当 PQBC，则 BE+CE=18即：2t+t=18，t=6；当 QPPC，PE=4，CE=3+t，QE=12 2t（3+t）=93t，16=（3+t） （93t） ，解得：t= ，情形：当 PCBC 时，因DCB90，此种情形不存在当 t=3 或 时，PQC 是直角三角形点评： 此题主要考查了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及圆与圆的位置关系等知识，注意分情况讨论和常见知识的应用3. （2015 ，广西钦州，20，6 分）如图，在
22、矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、CD 的中点求证：DE=BF 考点： 矩形的性质；全等三角形的判定专题： 证明题分析： 根据矩形的性质和已知证明 DF=BE，ABCD，得到四边形 DEBF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到答案解答： 解：四边形 ABCD 是矩形，ABCD ，AB=CD ，又 E、F 分别是边 AB、CD 的中点，DF=BE，又 ABCD，四边形 DEBF 是平行四边形，DE=BF点评： 本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键4. （2015，广西玉林，23，9 分）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是
23、O 上一点且BOD=60，过点 D 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线于点 C，E 为 的中点，连接DE，EB（1）求证：四边形 BCDE 是平行四边形；（2）已知图 中阴影部分面积为 6，求O 的半径 r考点： 切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算分析： （1）由BOD=60E 为 的中点，得到 ，于是得到 DEBC，根据CD 是O 的切线，得到 ODCD，于是得到 BECD，即可证得四边形 BCDE 是平行四边形；（2）连接 OE，由（1）知， ，得到BOE=120 ，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论解答： 解：（1）BOD=60 ，AOD=120， = ，E 为 的中点，
24、 ，DEAB，ODBE，即 DEBC，CD 是O 的切线，ODCD，BECD，四边形 BCDE 是平行四边形；（2）连接 OE，由（1）知， ，BOE=120，阴影部分面积为 6， =6，r=6点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键5 （2015 湖南郴州，第 23 题 8 分）如图，AC 是ABCD 的一条对角线，过 AC 中点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F（1）求证：AOECOF；（2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AFCE 是菱形？并说明理由考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析：
25、（1）由平行四边形的性质得出 ADBC，得出EAO=FCO，由 ASA 即可得出结论；（2）由AOECOF ，得出对应边相等 AE=CF，证出四边形 AFCE 是平行四边形，再由对角线 EFAC，即可得出四边形 AFCE 是菱形解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，EAO=FCO，O 是 OA 的中点，OA=OC，在AOE 和 COF 中， ，AOECOF（ASA） ；（2）解：EFAC 时，四边形 AFCE 是菱形；理由如下：AOECOF，AE=CF，AECF，四边形 AFCE 是平行四边形，EFAC ，四边形 AFCE 是菱形点评： 本题考查了平行四边形的性质与判定
26、、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键6 （2015 湖南张家界，第 24 题 10 分）如图，已知：在平行四边形 ABCD 中，点E、F、 G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，AE=CG， AH=CF，且 EG 平分HEF求证：（1）AEH CGF ；（2）四边形 EFGH 是菱形考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析： （1）由全等三角形的判定定理 SAS 证得结论；（2）易证四边形 EFGH 是平行四边形，那么 EFGH，那么 HGE=FEG，而 EG 是角平分线，易得HEG=FEG，根据等量代换
27、可得 HEG=HGE，从而有 HE=HG，易证四边形 EFGH 是菱形解答： （1）证明：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，A=C，在AEH 与 CGF 中，AEHCGF（SAS） ；（2）四边形 ABCD 是平行四边形，AB=CD，AD=BC ，B=D又 AE=CG，AH=CF，BE=DG，BF=DH，在BEF 与DGH 中，BEFDGH（SAS） ，EF=GH又由（1）知，AEHCGF，EH=GF，四边形 EFGH 是平行四边形，HGEF，HGE=FEG，EG 平分 HEF，HEG=FEG，HEG=HGE，HE=HG，四边形 EFGH 是菱形点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质、平
28、行四边形的判定和性质、菱形的判定解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形7 （2015 吉林，第 18 题 5 分）如图，在ABCD 中，AEBC，交边 BC 于点 E，点 F 为边 CD 上一点，且 DF=BE过点 F 作 FGCD ，交边 AD 于点 G求证：DG=DC考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题： 证明题分析： 先根据平行四边形的性质得到B=D，AB=CD ，再利用垂直的定义得AEB=GFD=90，于是可根据“ASA” 判定AEBGFD，根据全等的性质得 AB=DC，所以有 DG=DC解答： 证明：四边形 ABCD 为平行四
29、边形，B=D，AB=CD，AEBC，FG CD，AEB=GFD=90，在AEB 和GFD 中，AEBGFD，AB=DC，DG=DC点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件也考查了平行四边形的性质8. （2015 河北 ,第 22 题 10 分）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图 1 的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证已知：如图 1，在四边形 ABCD 中，BC=AD ，AB= CD 求证：四边形 ABCD 是 平行
30、四边形（1）在方框中填空，以补全已知和求证；（2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 平行四边形两组对边分别相等 考点： 平行四边形的判定；命题与定理分析： （1）命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形 ABCD 中，BC=AD ，AB=CD ，求证：四边形 ABCD 是平行四边形；（2）连接 BD，利用 SSS 定理证明 ABDCDB 可得ADB=DBC， ABD=CDB，进而可得 ABCD，ADCB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD 是平行四边形；（3）把命题“两组对边分别相等的四边形是平
31、行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等解答： 解：（1）已知：如图 1，在四边形 ABCD 中，BC=AD，AB=CD求证：四边形 ABCD 是平行四边形（2）证明：连接 BD，在ABD 和CDB 中，ABDCDB（SSS ） ，ADB=DBC， ABD=CDB，ABCD，AD CB，四边形 ABCD 是平行四边形；（2）用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形9. （2015黄冈 ,第 17 题 6 分）已知: 如图，在四边形 ABCD 中，AB CD,E,F 为对角线AC
32、 上两点，且 AE=CF，DFBE.求证：四边形 ABCD 为平行四边形.考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：首先证明AEBCFD 可得 AB=CD ，再由条件 ABCD 可利用一组对边平行且相 等的四边形是平行四边形证明四边形 ABCD 为平行四边形 解答：证明：ABCD， DCA= BAC， DF BE， DFA= BEC， AEB= DFC， 在AEB 和 CFD 中 ， AEBCFD （ASA） ， AB=CD ， ABCD， 四边形 ABCD 为平行四边形 点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形 10.
33、 （2015 黑龙江哈尔滨，第 24 题 8 分） （2015 哈尔滨）如图 1，ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，EF 过点 O，与 AD，BC 分别相交于点 E，F，GH 过点 O，与 AB，CD分别相交于点 G，H，连接 EG，FG ，FH，EH（1）求证：四边形 EGFH 是平行四边形；（2）如图 2，若 EFAB，GHBC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中与四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形（四边形 AGHD 除外） 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质分析： （1）由四边形 ABCD 是平行四边形，得到 ADBC，根据平行四边形
34、的性质得到EAO=FCO，证出 OAEOCF，得到 OE=OF，同理 OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，EAO=FCO，在OAE 与 OCF 中 ，OAEOCF，OE=OF，同理 OG=OH，四边形 EGFH 是平行四边形；（2）解：与四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形有GBCH，ABFE，EFCD ，EGFH；四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC ，四边形 GBCH，ABFE ，EFCD，EGFH 为平行四
35、边形，EF 过点 O，GH 过点 O，OE=OF，OG=OH ，GBCH，ABFE ，EFCD ，EGFH ，ACHD 它们面积= ABCDA 的面积，与四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形有 GBCH，ABFE，EFCD，EGFH点评： 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键11. （2015 黑龙江哈尔滨，第 27 题 10 分） （2015 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 y=kx+1（k0）与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，过点 C 的抛物线 y=ax2（6a 2）x+b（a0）与直
36、线 AC 交于另一点 B，点 B 坐标为（4，3） （1）求 a 的值；（2）点 P 是射线 CB 上的一个动点，过点 P 作 PQx 轴，垂足为点 Q，在 x 轴上点 Q 的右侧取点 M，使 MQ= ，在 QP 的延长线上取点 N，连接 PM，AN，已知tanNAQtanMPQ= ，求线段 PN 的长； （3）在（2）的条件下，过点 C 作 CDAB，使点 D 在直线 AB 下方，且 CD=AC，连接PD，NC ，当以 PN，PD，NC 的长为三边长构成的三角形面积是 时，在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 E，连接 NE，PE，使得ENP 与以 PN，PD，NC 的长为三边长的三角形全等？
37、若存在，求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义专题： 综合题分析： （1）易得点 C 的坐标为（ 0，1） ，然后把点 B、点 C 的坐标代入抛物线的解析式，即可解决问题；（2）把 B（4，3）代入 y=kx+1 中，即可得到 k 的值，从而可求出点 A 的坐标，就可求出tanCAO= （即 tanPAQ= ） ，设 PQ=m，则 QA=2m，根据条件tanNAQtanMPQ= ，即可求出 PN 的值；（3）由条件 CDAB，CD=AC ，想到构造全等三角形，过点 D 作 DFCO 于点 F，易
38、证ACOCDF，从而可以求出 FD、CF、OF作 PHCN，交 y 轴于点 H，连接 DH，易证四边形 CHPN 是平行四边形，从而可得 CN=HP，CH=PN，通过计算可得 DH=PN，从而可得PHD 是以 PN、PD、NC 的长为三边长的三角形，则有 SPHD = 延长 FD、PQ 交于点 G，易得G=90由点 P 在 y= x+1 上，可设 P（t ， t+1） ，根据 S 四边形 HFGP=SHFD+SPHD +SPDG ，可求出 t 的值，从而得到点 P、N 的坐标及 tanDPG 的值，从而可得tanDPG=tanHDF，则有DPG=HDF，进而可证到HDP=90若ENP 与PDH
39、 全等，已知 PN=DH，可分以下两种情况（ENP= PDH=90，EN=PD ， NPE=HDP=90，BE=PD）进行讨论，即可解决问题解答： 解：（1）当 x=0 时，由 y=kx+1 得 y=1，则 C（0，1） 抛物线 y=ax2（6a 2）x+b（a0）经过 C（0，1） ，B（4，3） ， ，解得： ，a= ；（2）把 B（4，3）代入 y=kx+1 中，得3=4k+1，解得：k= ，直线 AB 的解析式为 y= x+1由 y=0 得 0= x+1，解得：x=2，A（ 2，0） ，OA=2，C（0，1） ，OC=1，tanCAO= = PQx 轴，tanPAQ= = ，设 PQ=
40、m，则 QA=2m，tanNAQtanMPQ= ， = ，MQ= ， = ，PN= ；（3）在 y 轴左侧抛物线上存在 E，使得ENP 与以 PN，PD，NC 的长为三边长的三角形全等过点 D 作 DF CO 于点 F，如图 2，DFCF，CDAB，CDF+DCF=90，DCF+ACO=90 ，CDF=ACO，COx 轴，DFCO ，AOC=CFD=90，在ACO 和CDF 中，ACOCDF（AAS ） ，CF=AO=2，DF=CO=1 ，OF=CFCO=1，作 PHCN，交 y 轴于点 H，连接 DH，CHPN，四边形 CHPN 是平行四边形，CN=HP，CH=PN= ，HF=CFCH= ，
41、DH= = ，DH=PNPHD 是以 PN，PD ，NC 的长为三边长的三角形，S PHD= 延长 FD、PQ 交于点 G，PQy 轴，G=180CFD=90 ，S 四边形 HFGP=SHFD +SPHD +SPDG ， （HF+PG ）FG= HFFD+ + DGPG点 P 在 y= x+1 上，可设 P（t ， t+1） ， （ + t+1+1）t= 1+ + （t1）（ t+1+1） ，t=4，P （4，3） ，N（ 4， ） ，tan DPG= = tanHDF= = ，DPG=HDFDPG+PDG=90，HDF+PDG=90，HDP=90PN=DH，若 ENP 与PDH 全等，则有两
42、种情况：当 ENP=PDH=90，EN=PD 时，PD= =5，EN=5，E（ 1， ） 由（1）得：抛物线 y= x2 x+1当 x=1 时，y= ，所以点 E 在此抛物线上当 NPE=HDP=90，BE=PD 时，则有 E（1，3） ，此时点 E 不在抛物线上，存在点 E，满足题中条件，点 E 的坐标为（1， ） 点评： 本题主要考查了运用待定系数法求直线及二次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、抛物线上点的坐标特征、勾股定理等知识，通过平移 CN，将 PN、PD、NC 归结到PHD 中，是解决本题的关键在解决问题的过程中，用到了分类讨论、平移变换
43、、割补法、运算推理等重要的数学思想方法，应学会使用13. （2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 22 题 7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F分别为边 AB、CD 的中点 ，BD 是对角线（1）求证：ADECBF；（2）若ADB 是直角，则四边形 BEDF 是什么四边形？证明你的结论考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定分析： （1）由四边形 ABCD 是平行四边形，即可得 AD=BC，AB=CD，A= C，又由 E、F 分别为边 AB、CD 的中点，可证得 AE=CF，然后由 SAS，即可判定ADECBF；（2）先证明 BE 与 DF 平行且相等，然后根据一
44、组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接 EF，可以证明四边形 AEFD 是平行四边形，所以 ADEF，又 ADBD，所以BDEF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AD=BC，AB=CD，A=C，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，AE= AB，CF= CD，AE=CF，在ADE 和 CBF 中，ADE CBF（SAS ） ；（2）若ADB 是直角，则四边形 BEDF 是菱形，理由如下：解：由（1）可得 BE=DF，又ABCD ，BEDF，BE=DF ，四边形 BEDF 是平行四边形，连接 EF，在ABCD 中，E 、 F 分别为边
45、AB、CD 的中点，DFAE，DF=AE ，四边形 AEFD 是平行四边形，EFAD，ADB 是直角，ADBD，EFBD ，又四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形点评： 本题主 要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F 是中点是解题的关键14. （2015 天津 ,第 21 题 10 分） （2015 天津）已知 A、B、C 是O 上的三个点四边形OABC 是平行四边形，过点 C 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 D（）如图，求ADC 的大小（）如图，经过点 O 作 CD 的平行线，与 AB 交于点 E，与 交于点 F，连接 AF，求FAB 的大小考点： 切线的性质；平行四边形的性质分析： （）由 CD 是O 的切线，C 为切点，得到 OCCD，即OCD=90由于四边形 OABC 是平行四边形，得到 ABOC，即 ADOC，根据平行四边形的性质即可得到结果（）如图，连接 OB，则 OB=OA=OC，由四边形 OABC 是平行四边形，得到OC=AB，AOB 是等边三角形，证得AOB=60 ，由 OFCD，又ADC=90，得AEO=ADC=90，根据垂径定理即可得到结果解答： 解：（）CD 是O 的切线，C 为切点，OCCD ，即O
