1、点直线与圆的位置关系一、选择题1、 （2015重庆 A9，4 分） ）如图， AB 是 OA的直径，点 C 在 OA上，AE 是OA的切线，A 为切点，连接 BC 并延长交 AE 于点 D， 若 AOC=80，则 ADB 的度数为（ ）A. 40 B. 50 C. 60 D. 20考点：切线的性质 分析：由 AB 是O 直径，AE 是O 的切线，推出 AD AB，DAC= B= AOC=40， 21推出AOD=50 解答：解：AB 是O 直径，AE 是O 的切线， BAD=90， B= AOC=40， 21ADB=90B=50， 故选 B 点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解题的关键在
2、于连接 AC，构建直角三角形， 求B 的度数 2. （2015 齐齐哈尔 ,第 6 题 3 分）如图，两个同心圆，大圆的半径为 5，小圆的半径为3，若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（ ）A 8AB10 B 8AB10 C 4AB5 D 4AB5考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理分析： 此题可以首先计算出当 AB 与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得 AB=8若大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，此时 AB8；又因为大圆最长的弦是直径 10，则 8AB10解答： 解：当 AB 与小圆相切，大圆半径为 5
3、，小圆的半径为 3，9 题图AB=2 =8大圆的弦 AB 与小圆有公共点，即相切或相交，8AB10故选：A点评： 本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长3 （2015 湖南张家界，第 2 题 3 分）如图，O=30，C 为 OB 上一点，且 OC=6，以点 C为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是（ ）A 相离 B 相交C 相切 D 以上三种情况均有可能考点： 直线与圆的位置关系分析： 利用直线 l 和O 相切d=r，进而判断得出即可解答： 解：过点 C 作 CD AO 于点 D，O=30，OC=6，DC=3，以点
4、 C 为圆心，半径为 3 的圆与 OA 的位置关系是：相切故选：C点评： 此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时 d 与 r 的关系是解题关键4 （4 分） （2015黔西南州） （第 6 题）如图，点 P 在O 外，PA、PB 分别与O 相切于A、B 两点，P=50，则AOB 等于（ ）A 150 B 130 C 155 D 135考点： 切线的性质分析： 由 PA 与 PB 为圆的两条切线，利用切线性质得到 PA 与 OA 垂直，PB 与 OB 垂直，在四边形 APBO 中，利用四边形的内角和定理即可求出AOB 的度数解答： 解：PA、PB 是O 的切线，PAOA，PBOB，
5、PAO=PBO=90，P=50，AOB=130故选 B点评： 此题考查了切线的性质，以及四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键二、填空题1 （2015 贵州省贵阳 ,第 15 题 4 分）小明把 半径为 1 的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与 AB，CD 分别相切于点 N，M现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着 CD 向右滚动到再次与 AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是 考点： 切线的性质；轨迹.专题： 应用题分析： 根据切线的性质得到 OH=PH，根据锐角三角函数求出 PH 的长，得到答案解答： 解：如图，当圆心 O 移动到点 P 的位
6、置时，光盘在直尺边上沿着 CD 向右滚动到再次与 AB 相切，切点为 Q，ONAB，PQ AB，ONPQ，ON=PQ， OH=PH，在 Rt PHQ 中， P= B=60，PQ=1，PH= ，则 OP= ，故答案为： 点评： 本题考查的是直线与圆相切的知识，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键2. （2015 甘南州第 24 题 4 分）如图，两个同心圆，大圆半径为 5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦 AB 与小圆相交，则弦 AB 的取值范围是 8AB10 考点： 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理专题： 计算题分析： 解决此题首先要弄清楚 AB 在什么时候最大，什么时候最小当
7、AB 与小圆相切时有一个公共点，此时可知 AB 最小；当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点，此时 AB 最大，由此可以确定所以 AB 的取值范围解答： 解：如图，当 AB 与小圆相切时有一个公共点 D，连接 OA，OD，可得 ODAB ，D 为 AB 的中点，即 AD=BD，在 Rt ADO 中，OD=3，OA=5，AD=4，AB=2AD=8；当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点，此时 AB=10，所以 AB 的取值范围是 8AB10故答案为：8AB10点评： 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，以及切
8、线的性质，其中解题的关键是抓住两个关键点：1、当弦 AB 与小圆相切时最短；2、当 AB过圆心 O 时最长三、解答题1. （2015 宁德 第 23 题 4 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上，点 E在O 外，EAC= B （1）求证：直线 AE 是O 的切线；（2）若D=60，AB=6 时，求劣弧 的长（结果保留 ） 考点： 切线的判定；弧长的计算分析： （1）根据圆周角定理可得ACB=90 ，进而可得 CBA+ CAB=90，由EAC=B 可得CAE+BAC=90，从而可得直线 AE 是O 的切线；（2） 连接 CO，计算出 AO 长，再利用圆周角定理可得AOC 的度
9、数，然后利用弧长公式可得答案解答： 解：（1）AB 是O 的直径，ACB=90，CBA+CAB=90，EAC=B，CAE+BAC=90，即 BAAEAE 是O 的切线（2）连接 CO，AB=6，AO=3 ，D=60，AOC=120， = =2点评： 此题主要考查了切线的判定和弧长计算，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线弧长公式：l= （弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 R） 2. （ 2015酒泉第 27 题 8 分）已知 ABC 内接于O，过点 A 作直线 EF（1）如图所示，若 AB 为O 的直径，要使 EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条
10、件是（至少说出两种）： BAE=90 或者 EAC=ABC （2）如图所示，如果 AB 是不过圆心 O 的弦，且CAE=B，那么 EF 是O 的切线吗？试证明你的判断考点： 切线的判定分析： （1）求出BAE=90，再根据切线的判定定理推出即可；（2）作直径 AM，连接 CM，根据圆周角定理求出M=B，ACM=90，求出MAC+CAE=90，再根据切线的判定推出即可解答： 解：（1）BAE=90，EAC=ABC，理由是：BAE=90，AEAB，AB 是直径，EF 是O 的切线；AB 是直径，ACB=90，ABC+BAC=90，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC= BAC+ABC=90 ，即
11、 AEAB，AB 是直径，EF 是O 的切线；（2）EF 是O 的切线 证明：作直径 AM，连接 CM，则ACM=90，M=B，M+CAM=B+CAM=90，CAE=B，CAM+CAE=90，AEAM，AM 为直径，EF 是O 的切线点评： 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线3. （2015 福建 第 23 题 10 分）已知：AB 是O 的直径，点 P 在线段 AB 的延长线上，BP=OB=2，点 Q 在O 上，连接 PQ（1）如图，线段 PQ 所在的直线与O 相切，求线段 PQ 的长；（2）如图，
12、线段 PQ 与O 还有一个公共点 C，且 PC=CQ，连接 OQ，AC 交于点 D判断 OQ 与 AC 的位置关系，并说明理由；求线段 PQ 的长考点： 圆的综合题.分析： （1）如图，连接 OQ利用切线的性质和勾股定理来求 PQ 的长度（2）如图，连接 BC利用三角形中位线的判定与性质得到 BCOQ根据圆周角定理推知 BCAC ，所以，OQAC（3）利用割线定理来求 PQ 的长度即可解答： 解：（1）如图，连接 OQ线段 PQ 所在的直线与O 相切，点 Q 在O 上，OQOP又BP=OB=OQ=2，PQ= = =2 ，即 PQ=2 ；（2）OQAC理由如下：如图，连接 BCBP=OB，点 B
13、 是 OP 的中点，又PC=CQ，点 C 是 PQ 的中点，BC 是PQO 的中位线，BCOQ又AB 是直径，ACB=90，即 BCAC，OQAC（3）如图，PCPQ=PBPA，即 PQ2=26，解得 PQ=2 点评： 本题考查了圆的综合题掌握圆周角定理，三角形中位线定理，平行线的性质，熟练利用割线定理进行几何计算4. （2015 甘南州第 21 题 9 分）五边形 ABCDE 中，EAB=ABC= BCD=90，AB=BC，且满足以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆弧 AC 与边 DE 相切于点 F，连接BE，BD（1）如图 1，求EBD 的度数；（2）如图 2，连接 AC，分别与 BE，B
14、D 相交于点 G，H，若 AB=1，DBC=15，求AGHC 的值考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质.分析：（1）如图 1，连接 BF，由 DE 与B 相切于点 F，得到 BFDE，通过 RtBAER tBEF，得到1=2，同理3=4，于是结论可得；（2）如图 2，连接 BF 并延长交 CD 的延长线于 P，由 ABEPBC ，得到 PB=BE=，求出 PF= ，通过AEGCHD，列比例式即可得到结果解答：解：（1）如图 1，连接 BF，DE 与B 相切于点 F，BF DE，在 Rt BAE 与 RtBEF 中， ，R tBAE R tBEF，1=2，同理3=4，ABC=90，2+3=4
15、5，即EBD=45；（2）如图 2，连接 BF 并延长交 CD 的延 长线于 P，4=15 ，由（1）知，3=4=15，1=2=30，PBC=30，EAB=PCB=90，AB=1，AE= ，BE= ，在ABE 与PBC 中， ，ABEPBC，PB=BE= ，PF= ，P=60，DF=2 ，CD=DF=2 ，EAG=DCH=45，AGE=BDC=75，AEG CHD， ，AGCH=CDAE，AGCH=CDAE=（2 ） = 点评：本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，画出辅助线构造全等三角形是解题的关键5. （2015 甘南州第 10 题 10 分）如图，在ABC
16、 中， C=90，AC+BC=8，点 O 是斜边 AB 上一点，以 O 为圆心的O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E（1）当 AC=2 时，求O 的半径；（2）设 AC=x，O 的半径为 y，求 y 与 x 的函数关系式考点： 切线的性质；三角形的面积专题： 压轴题分析： （1）连接 OD，OE，由ABC 是直角三角形，以 O 为圆心的O 分别与 AC，BC相切于点 D，E，可知 ODBC，在ADO 中，解得半径（2）由题意可知，ODBC，AOD=B ，则两角正切值相等，进而列出关系式解答： 解：（1）连接 OE， OD，在ABC 中，C=90，AC+BC=8，AC=2，BC=6；以 O
17、为圆心的O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E，四边形 OECD 是正方形，tanB=tanAOD= = = ，解得 OD= ，圆的半径为 ；（2）AC=x，BC=8x，在直角三角形 ABC 中，tanB= = ，以 O 为圆心的O 分别与 AC，BC 相切于点 D，E，四边形 OECD 是正方形tanAOD=tanB= = = ，解得 y= x2+x点评： 本题主要考查切线的性质和解三角形的相关知识点，不是很难6. （2015，广西柳州，25，10 分）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，AD 与ABC的外接圆O 恰好相切于点 A，边 CD 与O 相交于点 E，连接 AE，BE（1）
18、求证：AB=AC；（2）若过点 A 作 AHBE 于 H，求证：BH=CE+EH考点： 切线的性质；平行四边形的性质分析： （1）根据弦切角定理和圆 周角定理证明ABC=ACB，得到答案；（2）作 AFCD 于 F，证明 AEHAEF，得到 EH=EF，根据ABHACF，得到答案解答： 证明：（1）AD 与ABC 的外接圆O 恰好相切于点 A，ABE=DAE，又EAC=EBC ，DAC=ABC，ADBC，DAC=ACB，ABC=ACB，AB=AC；（2）作 AFCD 于 F，四边形 ABCE 是圆内接四边形，ABC=AEF，又ABC=ACB，AEF=ACB，又AEB=ACB，AEH=AEF，在
19、AEH 和 AEF 中，AEH AEF，EH=EF，CE+EH=CF，在ABH 和ACF 中，ABHACF，BH=C F=CE+EH点评：本题考查的是切线的性质和平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，运用性质证明相关的三角形全等是解题的关键，注意圆周角定理和圆内接四边形的性质的运用7. （2015，福建南平，22，分）如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是 AB 延长线上的一点，CD 与半圆 O 相切于点 D，连接 AD，BD（1）求证：BAD=BDC；（2）若BDC=28，BD=2，求O 的半径 （精确到 0.01）考点： 切线的性质；解直角三角形分析： （1）连接 OD，利用切线的性
20、质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可解答： 证明：（1）连接 OD，如图，CD 与半圆 O 相切于点 D，ODCD，CDO=90，即CDB+BDO=90，AB 是半圆 O 的直径，ADB=90，即ADO+ BDO=90，CDB=ODA，OD=OA，ODA=BAD，BAD=BDC；（2）BAD=BDC=28，在 RtABD 中，sin BAD= ，AB= ，O 的半径为 点评： 此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析8. （2015，广西钦州，25，8 分）如图，AB 为O 的直径，AD 为弦，DBC=A （1）求证：BC
21、是O 的切线；（2）连接 OC，如果 OC 恰好经过弦 BD 的中点 E，且 tanC= ，AD=3，求直径 AB 的12长考点： 切线的判定分析： （1）由 AB 为O 的直径，可得D=90 ，继而可得ABD+A=90 ，又由DBC=A，即可得DBC+ABD=90 ，则可证得 BC 是O 的切线；（2）根据点 O 是 AB 的中点，点 E 时 BD 的中点可知 OE 是ABD 的中位线，故ADOE ，则 A=BOC，再由（1）D=OBC=90 ，故C=ABD，由 tanC= 可知tanABD= = ，由此可得出结论解答： （1）证明：AB 为O 的直径，D=90，ABD+A=90，DBC=A
22、，DBC+ABD=90，即 ABBC，BC 是O 的切线；（2）点 O 是 AB 的中点，点 E 时 BD 的中点，OE 是ABD 的中位线，ADOE ，A= BOC 、由（1）D=OBC=90，C=ABD，tanC= ，tanABD= = = ，解得 BD=6，AB= = =3 点评： 本题考查的是切线的判定，熟知经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解答此题的关键9. （2015，广西玉林，23，9 分）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是 O 上一点且BOD=60，过点 D 作O 的切线 CD 交 AB 的延长线于点 C，E 为 的中点，连接DE，EB（1）求证：四边形 B
23、CDE 是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为 6，求O 的半径 r考点： 切线的性质；平行四边形的判定；扇形面积的计算分析： （1）由BOD=60E 为 的中点，得到 ，于是得到 DEBC，根据CD 是O 的切线，得到 ODCD，于是得到 BECD，即可证得四边形 BCDE 是平行四边形；（2）连接 OE，由（1）知， ，得到BOE=120 ，根据扇形的面积公式列方程即可得到结论解答： 解：（1）BOD=60 ，AOD=120， = ，E 为 的中点， ，DEAB，ODBE，即 DEBC，CD 是O 的切线，ODCD，BECD，四边形 BCDE 是平行四边形；（2）连接 OE，由（1）知
24、， ，BOE=120，阴影部分面积为 6， =6，r=6点评： 本题考查了切线的性质，平行四边形的判定，扇形的面积公式，垂径定理，证明是解题的关键10. （2015，广西河池，21，10 分）如图,AB 为O 的直径,COAB 与 O,D 在O 上，连接 BD,CD,延长 CD 与 AB 的延长线交于 E,F 在 BE 上,且 FD=FE.(1)求证:FD 是O 的切线; (2)若 AF=8,tanBDF= ,求 EF 的长.第 25 题(1)证明:连接 OD,COAB,E+C=90,DFO 为 EFD 的外角,且 FD=FE,ODC 为EOD 的外角,且 OD=OC,DFO= E+EDF=2
25、 E, DOF+ E=ODC=C,得DOF+ E+DFO=C+2E,即DOF+ DFO=C+E=90,FD 是O 的切线 .(2)解:连接 AD,如图,AB 为O 的直径,ADB=90,A+ ABD=90,OB=OD,OBD=ODB,A+ ODB=90,BDF+ODB=90,A= BDF,而DFB=AFD,FBD FDA, = ,在 Rt ABD 中,tanA=tanBDF= = , = ,DF=2,EF=2.11 （10 分） （2015内蒙古赤峰 22，10 分）如图，AB 为O 的直径，PD 切O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DEPO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，E
26、DB=EPB （1）求证：PB 是的切线（2）若 PB=6，DB=8 ，求 O 的半径考点： 切线的判定与性质专题： 计算题分析： （1）由已知角相等，及对顶角相等得到三角形 DOE 与三角形 POB 相似，利用相似三角形对应角相等得到OBP 为直角，即可得证；（2）在直角三角形 PBD 中，由 PB 与 DB 的长，利用勾股定理求出 PD 的长，由切线长定理得到 PC=PB，由 PDPC 求出 CD 的长，在直角三角形 OCD 中，设 OC=r，则有OD=8 r，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解得到 r 的值，即为圆的半径解答： （1）证明：在DEO 和PBO 中，EDB=EP
27、B，DOE=POB，OBP=E=90，OB 为圆的半径，PB 为圆 O 的切线；（2）解：在 RtPBD 中，PB=6， DB=8，根据勾股定理得：PD= =10，PD 与 PB 都为圆的切线，PC=PB=6，DC=PDPC=106=4 ，在 Rt CDO 中，设 OC=r，则有 DO=8r，根据勾股定理得：（8r） 2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为 3点评： 此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键12. （2015 梧州 ,第 20 题 6 分）已知 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 与 CD 交于E，CE=DE，过 B 作 BFCD
28、，交 AC 的延长线于点 F，求证：BF 是O 的切线考点： 切线的判定所有专题： 证明题分析： 根据垂径定理得出 ABCD，再利用平行线的性质得出 BFAB 即可证明解答： 证明：AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 与 CD 交于 E，CE=DE，ABCD ，BF CD，BF AB，BF 是 O 的切线点评： 此题考查切线的判定，关键是根据垂径定理得出 ABCD，再利用平行线的性质得出 BF AB13. （2015 河北 ,第 26 题 14 分）平面上，矩形 ABCD 与直径为 QP 的半圆 K 如图 1 摆放，分别延长 DA 和 QP 交于点 O，且DOQ=60 ，OQ=0D=3
29、，OP=2，OA=AB=1让线段 OD及矩形 ABCD 位置固定，将线段 OQ 连带着半圆 K 一起绕着点 O 按逆时针方向开始旋转，设旋转角为 （060 ） 发现：（1）当 =0，即初始位置时，点 P 在 直线 AB 上 （填“在”或“不在” ）求当 是多少时，OQ 经过点 B（2）在 OQ 旋转过程中，简要说明 是多少时，点 P，A 间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图 2，当点 P 恰好落在 BC 边上时，求 a 及 S 阴影拓展：如图 3，当线段 OQ 与 CB 边交于点 M，与 BA 边交于点 N 时，设 BM=x（x0） ，用含 x的代数式表示 BN 的长，并求 x 的取值范
30、围探究：当半圆 K 与矩形 ABCD 的边相切时，求 sin的值考点： 圆的综合题分析： （1）在，当 OQ 过点 B 时，在 RtOAB 中，AO=AB ，得到DOQ=ABO=45，求得 =6045=15；（2）如图 2，连接 AP，由 OA+APOP，当 OP 过点 A，即 =60时，等号成立，于是有APOPOA=21=1，当 =60时，P、A 之间的距离最小，即可求得结果（3）如图 2，设半圆 K 与 PC 交点为 R，连接 RK，过点 P 作 PHAD 于点 H，过点 R 作REKQ 于点 E，在 RtOPH 中，PH=AB=1，OP=2，得到 POH=30，求得 =6030=30，由
31、于 ADBC，得到RPO=POH=30 ，求出RKQ=230=60，于是得到结果；拓展：如图 5，由OAN=MBN=90，ANO=BNM，得到AON BMN 求出 BN=，如图 4，当点 Q 落在 BC 上时，x 取最大值，作 QFAD 于点 F，BQ=AF=AO=2 1，求出 x 的取值范围是 0x 1；探究：半圆 K 与矩形 ABCD 的边相切，分三种情况；如图 5，半圆 K 与 BC 相切于点 T，设直线 KT 与 AD，OQ 的初始位置所在的直线分别交于点 S，O，于是得到KSO=KTB=90，作 KGOO于 G，在 RtOSK 中，求出 OS=2，在 RtOSO中，SO=OStan6
32、0=2 ，KO=2 在 RtKGO中，O=30，求得 KG= KO= ，在 RtOGK 中，求得结果；当半圆 K 与 AD 相切于 T，如图 6，同理可得 sin的值当半圆 K 与 CD 切线时，点 Q 与点 D 重合，且为切点，得到 =60于是结论可求解答： 解：发现：（1）在，当 OQ 过点 B 时，在 RtOAB 中，AO=AB，DOQ=ABO=45，=6045=15；（2）如图 2，连接 AP，OA+APOP，当 OP 过点 A，即 =60时，等号成立，APOPOA=21=1，当 =60时， P、A 之间的距离最小，PA 的最小值=1 ；（3）如图 2，设半圆 K 与 PC 交点为 R
33、，连接 RK，过点 P 作 PHAD 于点 H，过点 R 作 REKQ 于点 E，在 RtOPH 中，PH=AB=1 ，OP=2，POH=30，=6030=30，ADBC，RPO=POH=30，RKQ=230=60，S 扇形 KRQ= = ，在 Rt RKE 中，RE=RKsin60= ，S PRK= RE= ，S 阴影 = + ；拓展：如图 5，OAN=MBN=90，ANO= BNM，AONBMN， ，即 ，BN= ，如图 4，当点 Q 落在 BC 上时，x 取最大值，作 QFAD 于点F，BQ=AF= AO=2 1，x 的取值范围是 0x 1；探究：半圆 K 与矩形 ABCD 的边相切，分
34、三种情况；如图 5，半圆 K 与 BC 相切于点 T，设直线 KT 与 AD，OQ 的初始位置所在的直线分别交于点 S，O，则 KSO=KTB=90，作 KGOO于 G，在 RtOSK 中，OS= =2，在 Rt OSO中，SO=OStan60=2 ，KO=2 ，在 Rt KGO中，O=30，KG= KO= ，在 RtOGK 中，sin= = = ，当半圆 K 与 AD 相切于 T，如图 6，同理可得 sin= = = ；当半圆 K 与 CD 切线时，点 Q 与点 D 重合，且为切点，=60，sin=sin60 ，综上所述 sin的值为： 或 或 点评： 本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关
35、系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键14. （2015黄冈 ,第 21 题 8 分）已知：如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 AB 于点 M，交 BC 于点 N，连接 AN,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 P.（1）求证：BCP=BAN;（2）求证： BPCA考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：（1）由 AC 为O 直径，得到NAC+ ACN=90 ，由 AB=AC，得到BAN= CAN， 根据 PC 是O 的切线，得到ACN+ PCB=90，于是得到结论 （2 ）由等腰三角形的性质得到ABC= ACB，根据圆内
36、接四边形的性质得到 PBC= AMN ，证出 BPCMNA，即可得到结论 解答：（1）证明：AC 为O 直径， ANC=90， NAC+ ACN=90， AB=AC， BAN= CAN， PC 是O 的切线， ACP=90， ACN+ PCB=90 ， BCP= CAN， BCP= BAN ； （2 ）AB=AC， ABC= ACB， PBC+ ABC= AMN+ ACN=180， PBC= AMN ， 由（1）知BCP= BAN ， BPCMNA， BPCMNA点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理 1
37、5. （2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 24 题 8 分） （2015呼伦贝尔）如图，已知直线 l 与O 相离OAl 于点 A，交O 于点 P，OA=5，AB 与O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C（1）求证：AB=AC；（2）若 PC=2 ，求O 的半径考点： 切线的性质分析： （1）连接 OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90 ，ACP+ CPA=90 ，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；（2）延长 AP 交O 于 D，连接 BD，设圆半径为 r，则 OP=OB=r，PA=5r ，根据AB=AC 推出 52r 2=（
38、2 ） 2（5r） 2，求出 r，证 DPBCPA，得出 = ，代入求出即可解答： 证明：（1）如图 1，连接 OBAB 切O 于 B，OAAC，OBA=OAC=90，OBP+ABP=90 ，ACP+ APC=90 ，OP=OB，OBP=OPB，OPB=APC，ACP=ABC，AB=AC；（2）如图 2，延长 AP 交O 于 D，连接 BD，设圆半径为 r，则 OP=OB=r，PA=5r ，则 AB2=OA2 OB2=52r 2，AC2=PC2PA 2=（2 ） 2（5r ） 2，5 2r 2=（2 ） 2（5r） 2，解得：r=3，AB=AC=4，PD 是直径，PBD=90=PAC ，又DP
39、B=CPA，DPB CPA， = ， = ，解得：PB= O 的半径为 3，线段 PB 的长为 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力本题综合性比较强，有一定的难度16. （2015 青海，第 26 题 8 分）如图，在ABC 中，B=60 ，O 是ABC 的外接圆，过点 A 作O 的切线，交 CO 的延长线于点 M，CM 交 O 于点 D（1）求证：AM=AC；（2）若 AC=3，求 MC 的长考点： 切线的性质分析： （1）连接 OA，根据圆周角定理求出AOC=120
40、，得到OCA 的度数，根据切线的性质求出M 的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；（2）作 AGCM 于 G，根据直角三角形的性质求出 AG 的长，根据勾股定理求出 CG，得到答案解答： （1）证明：连接 OA，AM 是O 的切线，OAM=90，B=60，AOC=120，OA=OC， OCA=OAC=30，AOM=60，M=30，OCA=M，AM=AC；（2）作 AGCM 于 G，OCA=30，AC=3 ，AG= ，由勾股定理的，CG= ，则 MC=2CG=3 点评： 本题考查的是切线是性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键17. （2015 天津
41、,第 21 题 10 分） （2015 天津）已知 A、B、C 是O 上的三个点四边形OABC 是平行四边形，过点 C 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 D（） 如图，求ADC 的大小（）如图，经过点 O 作 CD 的平行线，与 AB 交于点 E，与 交于点 F，连接 AF，求FAB 的大小考点： 切线的性质；平行四边形的性质分析： （）由 CD 是O 的切线，C 为切点，得到 OCCD，即OCD=90由于四边形 OABC 是平行四边形，得到 ABOC，即 ADOC，根据平行四边形的性质即可得到结果（）如图，连接 OB，则 OB=OA=OC，由四边形 OABC 是平行四边形，得到OC=AB
42、，AOB 是等边三角形，证得AOB=60 ，由 OFCD，又ADC=90，得AEO=ADC=90，根据垂径定理即可得到结果解答： 解：（）CD 是O 的切线，C 为切点，OCCD ，即OCD=90四边形 OABC 是平行四边形，ABOC ，即 ADOC ，有ADC+OCD=180，ADC=180OCD=90；（）如图，连接 OB，则 OB=OA=OC，四边形 OABC 是平行四边形，OC=AB，OA=OB=AB，即AOB 是等边三角形，AOB=60，由 OFCD ，又 ADC=90 ，得AEO=ADC=90，OFAB ， ，FOB=FOA= AOB=30， 点评： 本题考查了切线的性质，平行四
43、边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定，熟练掌握定理是解题的关键18. （2015 贵州省黔东南州 ,第 21 题 12 分）如图，已知 PC 平分MPN，点 O 是 PC 上任意一点，PM 与 O 相切于点 E，交 PC 于 A、B 两点（1）求证：PN 与O 相切；（2）如果MPC=30，PE=2 ，求劣弧 的长考点： 切线的判定与性质；弧长的计算专题： 计算题分析： （1）连接 OE，过 O 作 OFPN，如图所示，利用 AAS 得到三角形 PEO 与三角形 PFO 全等，利用全等三角形对应边相等得到=OE，即可确定出 PN 与圆 O 相切；（2）在直角三角形 POE 中，利用 30 度
44、所对的直角边等于斜边的一半求出 OE 的长，EOB 度数，利用弧长公式即可求出劣弧 的长解答： （1）证明：连接 OE，过 O 作 OFPN，如图所示，PM 与圆 O 相切，OEPM，OEP=OFP=90，PC 平分 MPN，EPO=FPO，在PEO 和PFO 中，PEOPFO（AAS） ，OF=OE，则 PN 与圆 O 相切；（2）在 RtEPO 中，MPC=30，PE=2 ，EOP=60，OE=2，EOB=120，则 的长 l= = 点评： 此题考查了切线的判定与性质，弧长公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键19. （2015 辽宁省朝阳 ,第 22 题 10 分）如图，在ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D，过点 D 作 DEBC 于点 E，且BDE=A （1）判断 DE 与O 的位置关系并说明理由；（2）若 AC=16，tanA= ，求O 的半径考点： 切线的判定分析： （1）连接 DO，BD，如图，由于BDE=A ， A=ADO ，则ADO=EDB，再根据圆周角定理得ADB=90 ，所以 ADO+ODB=90，于是得到ODB+EDB=90，然后根据切线的判定定理可判断 DE 为O 的切线；（2）利用等角的余角相等得ABD=EBD，加上 BDAC，根据等腰三角形的判定方法得ABC
