1、规律探索一.选择题1.（2015邗江区初三适应性训练）记 ， 令 ，nnaas21 nssT21则 称 为 ， ， ， 这 列 数 的 “凯 森 和 ”.已 知 ， ， ， 的 “凯 森 和 ”为nT1a2na12502004， 那 么 13， ， ， ， 的 “凯 森 和 ”为 （ ） 50A2013 B2015 C2017 D2019答案：A2.（2015网上阅卷适应性测试）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，正xOy(1,0)A(2,)B六边形 沿 轴正方向无滑动滚动，保持上述运动过程，经过 的正六边ABCDEFx 4,3形的顶点是（ ）AC 或 E BB 或 D CA 或 E D B
2、 或 F答案：D3（2015江苏江阴要塞片一模）如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与 y 轴正半轴所夹的锐角为 60，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B、BA 为邻边作 ABA1C1；过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1、B 1A1 为邻边作A 1B1A2C2；按此作法继续下去，则 Cn 的坐标是（ ） 第 2 题AB CD EFGH IKJPQ13 题图A（ 4n， 4n） B（ 4n 1，4 n 1） C（ 4n1，4
3、 n） D（ 4n，4 n 1）答案：C4.（2015山东省济南市商河县一模）如图，已知在 RtABC 中，AB=AC =2，在ABC 内作第一个内接正方形 DEFG；然后取 GF 的中点 P，连接 PD、PE，在PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ；再取线段 KJ 的中点 Q，在 QHI 内作第三个内接正方形依次进行下去，则第 n 个内接正方形的边长为A B 12()3n 12()3nC D 答案：B5. （2015河北博野中考模拟）观察下列一组图形中点的个数，其中第 1 个图中共有 4 个点，第 2 个图中共有 10 个点，第 3 个图中共有 19 个点，按此规律第 5 个图中共有点的个
4、数是 【 】A31 B41 C51 D66答案：B6（ 2015无 锡 市 宜 兴 市 洑东中学 一 模 ） 如图，在平面直角坐标中，直线 l 经过原点，且与y 轴正半轴所夹的锐角为 60，过点 A（0，1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1，以 A1B、BA 为邻边作ABA 1C1；过点A1 作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B1，过点 B1 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A2，以 A2B1、B 1A1 为邻边作A 1B1A2C2；按此作法继续下去，则 Cn 的坐标是（ ） A（ 4n，4 n） B（ 4n1 ，4 n1 ） C（ 4n
5、1 ，4 n） D（ 4n，4 n1 ）答案：C7 （ 2015无 锡 市 新 区 期 中 ） 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图 ；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图 ；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图 ；如此反复操作下去，则第 2014 个图形中直角三角形的个数有（ ）A2014 个 B2015 个 C4028 个 D6042 个答案：C.二.填空题1（2015江苏江阴夏港中学期中）观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，将这列数排成下列形式：记 为第 i 行第 列的数，如 =4，那么 是 ijaj23a87 16-1514-1312-
6、110 -98-76-5 4-32-1第 1 题图答案：562. (2015北京市朝阳区一模)一组按规律排列的式子：， ， ， ， ，其中第 7 个式子是 ，第 n个式子是 a22531047a526（用含的 n式子表示， 为正整数）答案： ， （第一个空 1 分，第二个空 2 分）7ana)1-(23.（2015福建漳州一模）观察下列各式：, ,ww5143,142,31请你将猜想到的规律用含自然数 n(n1)的代数式表示出来是： _.答案： 2)1(2n4（2015广东广州一模）王宇用火柴棒摆成如图 M1-5 所示的三个“中”字形图案，依次规律，第 n 个“中” 字形图案需要_根火柴棒答案
7、：6n35.（2015广东潮州期中）如图，是用火柴棒拼成的图形，第 1 个图形需 3 根火柴棒，第2 个图形需 5 根火柴棒，第 3 个图形需 7 根火柴棒，第 4 个图形需 根火柴棒，则第 个图形需 根火柴棒。n答案：2n+1(对一个 2 分)6.（2015广东高要市一模）如图，弹性小球从点 P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第 2 次碰到矩形的边时的点为 P2，第 n 次碰到矩形的边时的点为 Pn，则点 P3 的坐标是 ；点 P2014 的坐标是 图 1图 2答案：(8,3),(5,
8、0)；7（2015山东滕州东沙河中学二模）如图 1，已知在 RtABC 中，AB=AC =3 ，在2ABC内作第一个内接正方形 DEFG；然后取 GF 的中点 P，连接 PD，PE，在PDE 内作第二个内接正方形 HIKJ；再取线段耐的中点 Q，在QHI 内作第三个内接正方形；依次进行下去，则第 2014 个内接正方形的边长为_答案： ；2018（2015山东滕州羊庄中学4 月模拟）如图 2，每一幅图中均含有若干个正方形，第 1 幅图中有 1 个正方形；第 2 幅图中有 5 个正方形按这样的规律下去，第 7 幅图中有 个正方形答案：140； 9.（2015山东潍坊广文中学、文华国际学校一模）观
9、察下列等式：16-1=15， 25-4=21， 36-9=27， 49-16=33， ，用自然数 n（其中 n 1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是 答案：(n+3) 2-n2=3(2n+3)；10.（2015江西赣三中20142015 学年第二学期中考模拟）在平面直角坐标系 中，对于点 ， 我们把点 叫做点 的伴随点，已知点 的伴随点为 ， 点 的伴随点为 ， 点 的伴随点为 ， ，这样依次得到点 ， ， ， ， ， .若点 的坐标为（3，1），则点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ；若点 的坐标为（ ， ），对于任意的正整数 ， 点 均在 轴上方，则 ， 应满足的条件为 答案：（3，1）；
10、（0，4）11. （2015辽宁盘锦市一模）如图放置的OAB 1，B 1A1B2，B 2A2B3，都是边长为 2 的等边三角形，边 AO 在 y 轴上，点 B1，B 2，B 3，都在直线 y= x 上，则 A2015 的坐标是 答案：18.（2015 ，2017） 12（2015辽宁东港市黑沟学校一模，3 分）如图，点 B1 是面积为 1 的等边OBA 的两条中线的交点，以 OB1 为一边，构造等边 OB1A1（点 O，B1，A1 按逆时针方向排列），称为第一次构造；点 B2 是 OBA 的两条中线的交点，再以 OB2 为一边，构造等边OB2A2（点 O，B 2，A2 按逆时针方向排列），称为
11、第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边OBnAn 的边 OAn 与等边 OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止则构造出的最后一个三角形的面积是_答案： 10313. 如图，AOB=45，过 OA 上到点 O 的距离分别为 1，3，5，7，9，11，的点作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为 S1，S 2，S 3，S 4，观察图中的规律，第 n（n 为正整数）个黑色梯形的面积是 Sn= 答案：8n414.（2015.河北博野中考模拟）如图，等腰 RtABC 中， ACB=90，AC =BC=1，且 AC 边在直线 a 上，将ABC 绕点 A 顺时针
12、旋转到位置可得到点 P1，此时 AP1= ；将位置的2三角形绕点 P1 顺时针旋转到位置 ，可得到点 P2，此时 AP2=1+ ；将位置的三角形绕点 P2 顺时针旋转到位置，可得到点 P3，此时 AP3=2+ ；，按此规律继续旋转，直至得到点 P2014 为止则 AP2014=_15.（2015 山东枣庄一摸）如图，正方形 1OABC的边长为 2，以 O为圆心、 1A为半径作弧 1AC交 1OB于点 2，设弧 1与边 、 1围成的阴影部分面积为 S；然后以 2为对角线作正方形 2，又以 为圆心、 2为半径作弧 2C交 2B于点3，设弧 2与边 2、 C围成的阴影部分面积为 S；，按此规律继续作
13、下去，设弧 nAC与边 nB、 n围成的阴影部分面积为 n则：（1） S ；（2） S 答案： 4， )4(21n16(2015山东东营一模)如图，AOB=45，过 OA 上到点 O 的距离分别为1，3，5，7，9，11，的点作 OA 的垂线与 OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为 S1，S 2，S 3，S 4，观察图中的规律，第 n（n 为正整数）个黑色梯形的面积是 Sn= 8n4 2(2015山东济南 网评培训)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 yx( x3)（0 x3）在 x 轴上方的部分，记作 C1，它与 x 轴交于点 O，A 1，将 C1 绕点 A1
14、旋转 180得 C2，C 2 与 x 轴交于另一点 A2请继续操作并探究：将 C2 绕点 A2 旋转 180得 C3，与 x 轴交于另一点 A3；将 C3 绕点 A 3 旋转 180得 C4，与 x 轴交于另一点 A4，这样依次得到x 轴上的点 A1，A 2，A 3，A n，及抛物线 C1，C 2， ，C n，则点 A4 的坐标为 ；C n 的顶点坐标为 (n 为正整数，用含 n 的代数式表示 ) 答案：(12,0), 139(,)2417(2015山东青岛 一模)如图，用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第 n 个图形需要围棋子的枚数是 答案：6n118. (2015江苏扬州宝应县 一模) 如图
15、所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 个图形需要黑色棋子的个数是 n答案: n(n2)第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形19. （ 2015锡 山 区 期 中 ） 如图，ABC 是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm若将斜边上的高 CD 分成 n 等分，然后裁出（n1）张宽度相等的长方形纸条则这（n1）张纸条的面积和是 cm 2答 案 ： n150三.解答题1. (2015安徽省蚌埠市经济开发 二摸) 我们学习了勾股定理后，都知道 “勾三、股四、弦五”观察：3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 9、4
16、0、41；，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从 3 起就没有间断过（1） 请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；（2）若第一个数用字母 （ 为奇数，且 ）表示，那么后两个数用含 的代数式分nnn别表示为 和 ，请用所学知识说明它们是一组勾股数答案：（1）11，60，61 2 分（2）后两个数表示为 和 4 分21n2 ， ，24242211()nn221()nn 又 ，且 为奇数，221()()n3n由 ， ， 三个数组成的数是勾股数 8 分222. (2015安庆一摸)观察下列等式：1 =12 652 =22 703 =32 8（1）请写出第四个等式： ；（2）观察上述等式的规律，猜想第 n
17、 个等式（用含 n 的式子表示），并证明其正确性.答案：解：（1）4 =42 2 分901（2）第 n 个等式是 n .55n证明：左边= =右边，等式成立.5122 n3. (2015合肥市蜀山区调研试卷)现有一组有规律排列的数：1、 1、 、 、 、 、1、 1、 、 、 、 、其中，23231、 1、 、 、 、 这六个数按此规律重复出现.问：23（1）第 50 个数是什么数？（2）把从第 1 个数开始的前 2015 个数相加，结果是多少？（3）从第 1 个数起，把连续若干个数的平方加起来，如果和为 520，则共有多少个数的平方相加？答案：解：（1） 50682 第 50 个数是1. 2 分（2）20156=3355 ， 1()23从第 1 个数开始的前 2015 个数的和是 .5 分（3） 222221()31，6 分5043 且 214 436+3=261，即共有 261 个数的平方相加.8 分
