1、综合性问题一.选择题1 （2015湖北省武汉市，第 10 题 3 分）如图，ABC、EFG 均是边长为 2 的等边三角形，点 D 是边 BC、EF 的中点，直线 AG、FC 相交于点 M当EFG 绕点 D 旋转时，线段 BM长的最小值是（ ）A 32B 1C 2D 131.D 【解析】先考虑让EFG 和BCA 重合，然后把EFG 绕点 D 顺时针旋转，连结AG、DG ，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现ADG=FDC,DA=DG，DF=DC，故 DFC=DCF=DAG=DGA.又根据等腰三角形的“三线合一”可知FDG=90，所以 DFG+DGF=90，即DFC +CFG+DGF=
2、90. 所以AMC=MGF+CFG=AGD+DGF+CFG=DFC +DGF+CFG =90.故点 M 始终在以AC 为直径的圆上，作出该圆，设圆心为 O，连结 BO 与 O 相交于点 P，线段 BP 的长即为线段 BM 长的最小值.BP =AOOP = 1，故选 D.3【难点突破】本题发现点 M 始终在以 AC 为直径的圆上是解题的重要突破口.考虑让EFG和BCA 重合，然后把EFG 绕点 D 顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.2 （2015 广东佛山 ,第 10 题 3 分）下列给出 5 个命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形六边形的内角和等于 72
3、0相等的圆心角所对的弧相等顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等其中正确命题的个数是（ ）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个考点： 命题与定理分析： 根据正方形的判定方法对进行判断；根据多边形的内角和公式对进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对进行判断；根据三角形中位线性质、菱形的性质和矩形的判定方法对进行判断；根据三角形内心的性质对进行判断解答： 解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以错误；六边形的内角和等于 720，所以正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以错误；顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以正确；三角
4、形的内心到三角形三边的距离相等，所以错误故选 A点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么” 形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理3 （2015 甘肃武威 ,第 6 题 3 分）下列命题中，假命题是（ ）A 平行四边形是中心对称图形B 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等C 对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D 若 x2=y2，则 x=y考点： 命题与定理；有理数的乘方；线段垂直平分线的性质；中心对称图形；用
5、样本估计总体分析： 根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可解答： 解：A、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；B、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题；C、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题；D、若 x2=y2，则 x=y，不是 x=y，故该命题是假命题；故选 D点评： 本题考查了命题真假的判断，属于基础题根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判
6、断是假命题，不难选出正确项4. （2015 浙江嘉兴，第 10 题 4 分）如图，抛物线 y=x 2+2x+m+1 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（B，0） ，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个判断：当 x0 时，y0；若 a=1，则 b=4； 抛物线上有两点 P（x 1,y1）和 Q（x 2,y2） ，若 x12，则 y1 y2；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当m=2 时，四边形 EDFG 周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是（）62（A） （B） （C） （D ）考点：二次函数综合题.分析： 根据二次函数所过象限，判断出
7、 y 的符号；根据 A、B 关于对称轴对称，求出 b 的值；根据 1，得到 x11x 2，从而得到 Q 点距离对称轴较远，进而判断出 y1y 2；作 D 关于 y 轴的对称点 D，E 关于 x 轴的对称点 E，连接 DE，DE与 DE 的和即为四边形 EDFG 周长的最小值求出 D、E、D、E的坐标即可解答解答：解：当 x0 时，函数图象过二四象限，当 0xb 时，y0；当 xb 时，y0，故本选项错误；二次函数对称轴为 x= =1，当 a=1 时有 =1，解得 b=3，故本选项错误；x1+x22， 1，又 x11x 2，Q 点距离对称轴较远，y1y 2，故本选项正确；如图，作 D 关于 y
8、轴的对称点 D，E 关于 x 轴的对称点 E，连接 DE，DE与 DE 的和即为四边形 EDFG 周长的最小值当 m=2 时，二次函数为 y=x2+2x+3，顶点纵坐标为 y=1+2+3=4，D 为（1，4） ，则 D为（1 ，4 ） ；C 点坐标为 C（0，3） ；则 E 为（2，3） ，E为（2，3） ；则 DE= = ；D E= = ；四边形 EDFG 周长的最小值为 + ，故本选项错误故选 C点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路径问题等，值得关注5(2015深圳，第 12 题 分) 如图，已知正方形 ABCD 的
9、边长为 12，BE=EC ，将正方形边CD 沿 DE 折叠到 DF，延长 EF 交 AB 于 G，连接 DG，现在有如下 4 个结论：ADGFDG； GB=2AG；1 2GDEBEF； SBEF = 。在以上 4 个结论中，正确的有（ ）3 4 57A、 1B、 2C、 3D、 4【答案】C.【解析】由折叠可知，DE DCDA ，DEFC90DFG A906 (2015河南，第 15 题 3 分) 如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3，点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把 EBF 沿EF 折叠，点 B 落在 B处，若 CDB恰为等腰三角形
10、，则DB的长为 .EF CDBA第 15 题B 【分析】若CD 恰为等腰三角形，判断以 CD 为腰或为底边分为三种情况：DB=DC；CB=CD；CB= DB，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16 或 【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想 54根据题意，若CD 恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若 DB=DC 时，则BDB=16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合） ；（2）当 CB=CD 时，EB=EB，CB=CB 点 E、C 在 BB的垂直平分线上，EC 垂直平分 BB，由折叠可知点 F与点 C 重合，不符合题意，舍去；（ 3
11、）如解图，当 CB=DB时，作 BGAB 与点 G，交CD 于点 H.ABCD，BHCD，CB=DB， DH= CD=8， AG=DH=8， GE=AGAE=5，在 RtBEG 中，21由勾股定理得 BG=12，BH =GHBG =4.在 RtBDH 中，由勾股定理得 DB= ，综上54所述 DB=16 或 .54F G B HDA B CE 第 15 题解图7(2015黑龙江绥化，第 9 题 分) 如图 ，在矩形 ABCD 中 ，AB=10 , BC =5 若点M、N 分别是线段 ACAB 上的两个动点 ， 则 BM+MN 的最小值为（ ）A 10 B 8 C 5 D 63考点：轴对称最短路
12、线问题 分析：根据轴对称求最短路线的方法得出 M 点位置，进而利用勾股定理及面积法求出 CC的值，然后再证明BCDCNC 进而求出 CN 的值，从而求出 MC+NM 的值解答：解：如图所示：由题意可得出：作 C 点关于 BD 对称点 C，交 BD 于点 E，连接BC，过点 C作 CNBC 于点 N，交 BD 于点 M，连接 MC，此时 CM+NM=CN 最小，AB=10，BC=5，在 RtBCD 中，由勾股定理得：BD= =5 ，SBCD= BCCD= BDCE，CE= = =2 ，CC=2CE，CC=4 ，NCBC，DCBC，CEBD，BNC=BCD=BEC=BEC=90，CCN+NCC=C
13、BD+NCC=90，CCN=CBD，BCDCNC， ，即 ，NC=8，即 BM+MN 的最小值为 8故选 B点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及勾股定理的应用和相似三角形的应用，利用轴对称得出 M 点与 N 点的位置是解题的关键8(2015黑龙江绥化，第 10 题 分) 如图ABCD 的对角线 ACBD 交于点 O ,平分 BAD 交BC 于点 E ,且 ADC=600，AB= BC ,连接 OE 下列 结论： CAD=300 S21ABCD=ABAC OB=AB OE= BC 成立的个数有（ ）4A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与
14、性质；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 分析：由四边形 ABCD 是平行四边形，得到ABC =ADC=60，BAD=120，根据 AE 平分BAD，得到BAE=EAD=60推出 ABE 是等边三角形，由于 AB= BC，得到AE= BC，得到ABC 是直角三角形，于是得到 CAD=30，故正确；由于 ACAB，得到 SABCD=ABAC，故 正确，根据 AB= BC，OB= BD，且 BDBC，得到 ABOB，故错误；根据三角形的中位线定理得到 OE= AB，于是得到 OE= BC，故正确解答：解：四边形 ABCD 是平行四边形，ABC=ADC=60，BAD =120，AE
15、平分BAD，BAE=EAD=60ABE 是等边三角形，AE=AB=BE，AB= BC，AE= BC，BAC=90，CAD=30， 故 正确；ACAB，SABCD=ABAC，故正确，AB= BC，OB= BD，BDBC，ABOB，故错误；CE=BE，CO =OA，OE= AB，OE= BC，故 正确故选 C点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键二.填空题1 (2015黑龙江绥化，第 18 题 分) 如图正方形 ABCD 的对角线相交于点 O ，CEF 是正三角形，则CEF =_考点：全等三角形的判定
16、与性质；等边三角形的性质；正方形的性质 分析：根据正方形、等边三角形的性质，可得 AO=BO， OE=OF，根据 SSS 可得AOEBOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案解答：解：四边形 ABCD 是正方形，OA=OB，AOB=90OEF 是正三角形，OE=OF，EOF=60在AOE 和BOF 中，AOEBOF（SSS） ，AOE=BOF，AOE=（AOBEOF）2=（90 60）2=15，故答案为 15点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用 SSS 证明三角形全等得出AOE=BOF 是解题的关键2(2015黑龙江绥化，第 21 题
17、 分) 在矩形 ABCD 中 ，AB=4 , BC =3 , 点 P 在 AB 上。若将DAP 沿 DP 折叠 ，使点 A 落在矩形对角线上的 处 ，则 AP 的长为_A考点：翻折变换（折叠问题） 专题：分类讨论分析：分两种情况探讨：点 A 落在矩形对角线 BD 上，点 A 落在矩形对角线 AC 上，在直角三角形中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案解答：解： 点 A 落在矩形对角线 BD 上，如图 1，AB=4， BC=3，BD=5，根据折叠的性质，AD=AD=3，AP=AP， A=PAD=90，BA=2，设 AP=x，则 BP=4x，BP2=BA2+PA2，（ 4x） 2=x2+22，
18、解得：x= ，AP= ；点 A 落在矩形对角线 AC 上，如图 2，根据折叠的性质可知 DPAC，DAPABC， ，AP= = = 故答案为： 或 点评：本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质以及三角形相似的判定与性质；解题中，找准相等的量是正确解答题目的关键3.（2015 四川成都 ,第 25 题 4 分）如果关于 的一元二次方程 有两个实数x20axbc根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 .（写出所有正确说法的序号）方程 是倍根方程；20x若 是倍根方程，则 ；()mn22450mn若点 在反比例函数 的图像上，则关于 的
19、方程 是倍根方()pq，yxx230pxq程；若方程 是倍根方程，且相异两点 ， 都在抛物线20axbc(1)Mts， N(4)ts，上，则方程 的一个根为 .2y20axbc5【答案】 【解析】：研究一元二次方程 是倍根方程的一般性结论，设其中一根为 ，20axbct则另一个根为 ，因此 ，所以有2t22()3txatxa；我们记 ，即 时，方程 为倍根方程；290bac29Kc0K20bc下面我们根据此结论来解决问题：对于 ， ，因此本选项错误；2910bac对于 ， ，而2()20mxnx29K()()0nmn，因此本选项正确；2450对于 ，显然 ，而 ，因此本选项正确；2pq29K3
20、0pq对于 ，由 ， 知 ，由倍根方(1)Mts， N(4)ts，14522btbaa程的结论知 ，从而有 ，所以方程变为290bac509c， ，因此本选项错误。221543axxx25综上可知，正确的选项有： 。4. （2015 浙江嘉兴，第 16 题 5 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0,1） ，点 P在线段 OA 上，以 AP 为半径的P 周长为 1.点 M 从 A 开始沿P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x 轴于点 N（n，0） ，设点 M 转过的路程为 m（0DA,DA=2.点 P、Q 同时从 D 点出发，以相同的速度分别沿射线 DC、射线 DA 运动。过点
21、Q 作 AC 的垂线段 QR,使 QR=PQ,联接 PR.当点 Q 到达 A 时，点 P、Q 同时停止运动。设 PQ=x.PQR 和ABC 重合部分的面积为 S.S 关于 x 的函数图像如图 2 所示（其中 0x， xm 时，函数的解析式不同）78（1）填空：n 的值为_;（2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。图 1 图 2（第 24 题）【答案】(1) （2）当 0x 时，S= ，当 x4时，S=49378217845326x9042【解析】解：(1)如答图 1 当 x= 时，PQR 和ABC 重合部分的面积为 S 就是PQR 的面78积此时，S= = ，所以 n= .21784932
