1、点直线与圆的位置关系一. 选择题1.(2015江苏南京 ,第 6 题 3 分)如图，在矩形 ABCD 中， AB=4，AD =5，AD，AB，BC 分别与O 相切于 E，F，G 三点，过点 D 作O 的切线 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：连接 OE，OF，ON，OG，在矩形 ABCD 中，A=B=90，CD=AB=4， AD，AB，BC 分别与O 相切于 E，F，G 三点，AEO=AFO =OFB =BGO=90，四边形 AFOE， FBGO 是正方形，AF=BF=AE=BG=2，DE=3，DM 是O 的切线，DN=DE =3，MN
2、=MG，CM =52MN=3MN，在 RtDMC 中， ，NM= ，DM = = ，故选 A考点：1切线的性质；2矩形的性质2.（2015 湖南岳阳第 8 题 3 分）如图，在ABC 中，AB= CB，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D过点 C 作 CFAB，在 CF 上取一点 E，使 DE=CD，连接 AE对于下列结论：AD= DC； CBACDE； = ；AE 为O 的切线，一定正确的结论全部包含其中的选项是（ ）A B C D考点： 切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析： 根据圆周角定理得ADB=90 ，则 BDAC，于是根据等腰三角形的性质可判断AD=DC，则可对 进行判断；
3、利用等腰三角形的性质和平行线的性质可证明1=2=3=4，则根据相似三角形的判定方法得到 CBACDE，于是可对进行判断；由于不能确定1 等于 45，则不能确定 与 相等，则可对进行判断；利用DA=DC=DE 可判断 AEC=90，即 CEAE，根据平行线的性质得到 ABAE，然后根据切线的判定定理得 AE 为O 的切线，于是可对进行判断解答： 解：AB 为直径，ADB=90，BDAC，而 AB=CB，AD=DC，所以 正确；AB=CB，1=2，而 CD=ED，3=4，CFAB，1=3，1=2=3=4，CBACDE，所以 正确；ABC 不能确定为直角三角形，1 不能确定等于 45， 与 不能确定
4、相等，所以 错误；DA=DC=DE，点 E 在以 AC 为直径的圆上，AEC=90，CEAE，而 CFAB，ABAE，AE 为O 的切线，所以正确故选 D点评： 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线也考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和相似三角形的判定经过圆心若B =20，则C 的大小等于（ ）A20 B25 C40 D50考点： 切线的性质分析： 连接 OA，根据切线的性质，即可求得 C 的度数解答： 解：如图，连接 OA，AC 是 O 的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=20，AOC=40，C=50故选：D点评： 本题考查了圆的切线性质，以及等腰
5、三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键3 （2015 广东广州 ,第 3 题 3 分）已知O 的半径为 5，直线 l 是O 的切线，则点 O 到直线 l 的距离是（ ）A2.5 B3 C5 D10考点： 切线的性质分析： 根据直线与圆的位置关系可直接得到点 O 到直线 l 的距离是 5解答： 解：直线 l 与半径为 r 的 O 相切，点 O 到直线 l 的距离等于圆的半径，即点 O 到直线 l 的距离为 5故选 C点评： 本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，直线 l 和 O 相交 dr ；直线 l 和
6、 O 相切d= r；当直线 l和 O 相离 dr4. （2015 浙江衢州,第 10 题 3 分）如图，已知等腰 ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的 的切线交 于点 ，若 ，则 的半径是【 】A. B. C. D. 【答案】D【考点】等腰三角形的性质；切线的性质；平行的判定和性质；矩形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用【分析】如答图，连接 ，过点 作 于点 ， ， . ， . . . 是 的切线， . . ，且四边形 是矩形. ， 由勾股定理，得 .设 的半径是 ，则 .由勾股定理，得 ，即 ，解得 . 的半径是 .故选 D5. （ 2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O
7、为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2， tanOAB= ，则 AB 的长是( )A. 4 B. 2 C. 8 D . 4【答案】C.考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理6. （2015 浙江湖州，第 9 题 3 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG，点F，G 分别在 AD，BC 上，连结 OG，DG，若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4 B. CDDF=2 3 C. BC+AB=2
8、+4 D. BCAB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设O 与 BC 的切点为 M,连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N,利用“AAS”易证OMG GCD,所以 OM=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因 AB=CD,所以可得 BCAB=2.设 AB=a，BC= b,AC=c, O 的半径为 r，O 是 RtABC 的内切圆可得r= （a+bc） ，所以 c=a+b2. 在 RtABC 中，由勾股定理可得 ，整理得 2ab4a4b+4=0，又因 BCAB=2 即 b=2+a，代入可得 2a（2+a）4a4（2+a）+4=0， 解得 ，所以 ，即可得BC+AB=2 +
9、4. 再设 DF=x，在 RtONF 中,FN= ，OF =x，ON=,由勾股定理可得 ，解得 ，所以CDDF= ，CD+DF = .综上只有选项 A 错误，故答案选 A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；7. （2015浙江嘉兴，第 7 题 4 分）如图， 中，AB=5，BC =3，AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，则C 的半径为（ ）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5 （D ）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理.分析：首先根据题意作图，由 AB 是 C 的切线，即可得 CDAB，又由在直角ABC 中，C=90，AC=3，BC=
10、4，根据勾股定理求得 AB 的长，然后由 SABC= ACBC= ABCD，即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长解答：解：在ABC 中，AB=5， BC=3，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90，如图：设切点为 D，连接 CD，AB 是C 的切线，CDAB，SABC= ACBC= ABCD，ACBC=ABCD，即 CD= = = ，C 的半径为 ，故选 B点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用8. （2015四川省内江市，第 10 题，3 分）如图，在O 的
11、内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，BCD=120，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于点 P，则ADP 的度数为（ ）A40 B 35 C 30 D45考点： 切线的性质.分析： 连接 DB，即ADB=90，又BCD=120，故 DAB=60，所以 DBA=30；又因为PD 为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果解答： 解：连接 BD，DAB=180C=60，AB 是直径，ADB=90，ABD=90DAB=30，PD 是切线，ADP=ABD=30，故选：C点评： 本题考查了圆内接四边形的性质，直径对圆周角等于直角，弦切角定理，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角求解9. （2015四川乐
12、山,第 10 题 3 分）如图，已知直线 与 x 轴、y 轴分别交于A、B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、PB则 PAB面积的最大值是（ ）A8 B12 C D【答案】C10 （2015 广东梅州 ,第 6 题，3 分）如图，AB 是O 的弦，AC 是O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心.若B =20，则C 的大小等于（ ）A20 B25 C 40 D50考点：切线的性质.分析：连接 OA，根据切线的性质，即可求得 C 的度数解答：解：如图，连接 OA，AC 是 O 的切线，OAC=90，OA=OB，B=OAB=20，AOC=40，C=50故选：D点
13、评：本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键11. （2015山东潍坊第 7 题 3 分）如图，AB 是 O 的弦， AO 的延长线交过点 B 的O 的切线于点 C，如果ABO =20，则C 的度数是（ ）ACB OA 70 B 50 C 45 D 20考点： 切线的性质.分析： 由 BC 是O 的切线，OB 是O 的半径，得到OBC=90，根据等腰三角形的性质得到A=ABO=20，由外角的性质得到 BOC=40，即可求得 C=50解答： 解：BC 是 O 的切线，OB 是O 的半径，OBC=90，OA=OB，A=ABO=20，BOC
14、=40，C=50故选 B点评： 本题考查了本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，掌握定理是解题的关键二.填空题1. （2015浙江宁波，第 17 题 4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，AD=12，过点 A，D两点的O 与 BC 边相切于点 E，则 O 的半径为 【答案】254.【考点】矩形的性质；垂径定理；勾股定理；方程思想的应用.【分析】如答图，连接 EO 并延长交 AD 于点 H，连接 AO，四边形 ABCD 是矩形， O 与 BC 边相切于点 E， EHBC，即 EHAD. 根据垂径定理，AH =DH.AB=8， AD=12，AH=6，HE=8.设 O 的半径为 r，则 A
15、O= r， 8Hr.在 RtAH中，由勾股定理得 226，解得54r.O 的半径为254.2.（2015 江苏徐州 ,第 14 题 3 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，CD与 O 相切于点 D，若C=20，则 CDA= 125 考点： 切线的性质.分析： 连接 OD，构造直角三角形，利用 OA=OD，可求得 ODA=36，从而根据CDA=CDO+ODA 计算求解解答： 解：连接 OD，则ODC=90，COD=70 ；OA=OD，ODA=A= COD=35，CDA=CDO+ODA=90+35=125，故答案为：125点评： 本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关
16、系，等边对等角求解3.（2015 湖北荆州第 18 题 3 分）如图，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA=8，AB=10，点C 在边 OA 上，AC=2， P 的圆心 P 在线段 BC 上，且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 y= （k 0）的图象经过圆心 P，则 k= 考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征专题： 计算题分析： 作 PDOA 于 D，PE AB 于 E，作 CHAB 于 H，如图，设P 的半径为 r，根据切线的性质和切线长定理得到 PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出 OB=6，则可判断OBC 为等腰直角三角
17、形，从而得到 PCD 为等腰直角三角形，则PD=CD=r，AE=AD=2+ r，通过证明ACH ABO，利用相似比计算出 CH= ，接着利用勾股定理计算出 AH= ，所以 BH=10 = ，然后证明BEHBHC，利用相似比得到即= ，解得 r= ，从而易得 P 点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 的值解答： 解：作 PDOA 于 D，PE AB 于 E，作 CHAB 于 H，如图，设P 的半径为 r，P 与边 AB，AO 都相切，PD=PE=r，AD =AE，在 RtOAB 中， OA=8，AB=10，OB= =6，AC=2，OC=6，OBC 为等腰直角三角形，PCD 为等腰直
18、角三角形，PD=CD=r，AE=AD=2+r，CAH=BAO，ACHABO， = ，即 = ，解得 CH= ，AH= = = ，BH=10 = ，PECH，BEPBHC， = ，即 = ，解得 r= ，OD=OCCD=6 = ，P（ ， ） ，k= （ ）= 故答案为 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征4.（2015 福建泉州第 14 题 4 分）如图，AB 和O 切于点 B，AB=5，OB =3，则 tanA= 解： 直线 AB 与
19、O 相切于点 B，则OBA=90AB=5， OB=3，tanA= = 故答案为：5. （2015四川成都,第 24 题 4 分）如图，在半径为 5 的 中，弦 ， 是弦O:8ABP所对的优弧上的动点，连接 ，过点 作 的垂线交射线 于点 ，当ABAPC是等腰三角形时，线段 的长为 . PBCKHGO C CO COBAP BAP BAP图（1） 图（2） 图（3）【答案】： 或 或 8BC563【解析】：（1）当 时，如图（1） ，作 于点 ，延长 交 于点APOHABAOPB；G易知 ，3540coscs 3PCPC射影知 .26486205513ABG（2）当 时，如图（ 2） ，延长 交
20、 于点 ，易知 ，PPOABK3O，8K45BA易知.352085coscs 33APKCOPCABCP（3）当 时，如图（ 3） ，B由 .009 8AB综上： 或 或8C56136. （2015浙江省绍兴市，第 14 题，5 分） 在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC =4，点 P在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结 PA，PB。若 PB=4，则 PA 的长为 考点：点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理.专题：分类讨论分析：连结 CP，PB 的延长线交C 于 P，如图，先计算出 CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得CBP =90，再根据垂径定理得到 PB=PB=4，
21、接着证明四边形 ACBP 为矩形，则 PA=BC=3，然后在 RtAPP中利用勾股定理计算出 PA= ，从而得到满足条件的 PA的长为 3 或 解答：解：连结 CP，PB 的延长线交C 于 P，如图，CP=5，CB=3，PB=4，CB2+PB2=CP2，CPB 为直角三角形，CBP=90，CBPB，PB=PB=4，C=90，PBAC，而 PB=AC=4，四边形 ACBP 为矩形，PA=BC=3，在 RtAPP中， PA=3，PP=8，PA= = ，PA 的长为 3 或 故答案为 3 或 点评：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的
22、关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了垂径定理和勾股定理7. （2015 淄博第 17 题,4 分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”已知点 A、B、C、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x22x3，AB 为半圆的直径，则这个 “果圆”被 y 轴截得的弦 CD 的长为 3+ 考点： 二次函数综合题.分析： 连接 AC，BC，有抛物线的解析式可求出 A，B，C 的坐标，进而求出AO，BO，DO 的长，在直角三角形 ACB 中，利用射影定理可求出 CO 的长，进而可求出CD 的长解答： 解：连接 AC，BC，抛物线的解析式为 y=x22x3，点 D
23、的坐标为（0， 3） ，OD 的长为 3，设 y=0，则 0=x22x3，解得：x= 1 或 3，A（ 1，0） ，B（3，0）AO=1，BO =3，AB 为半圆的直径，ACB=90，COAB，CO2=AOBO=3，CO= ，CD=CO+OD=3+ ，故答案为：3+ 点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键8. （2015浙江省台州市，第 16 题）如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六
24、边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边） ，当这个六边形的边长最大时，AE 的最小值为_三.解答题1. （2015四川省内江市，第 27 题，12 分）如图，在ACE 中，CA=CE ， CAE=30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（1）试说明 CE 是O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点） ，连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求 O 的直径 AB 的长考点： 圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
25、；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值.专题： 综合题分析： （1）连接 OC，如图 1，要证 CE 是 O 的切线，只需证到OCE=90 即可；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图 2，在 RtOHC 中运用三角函数即可解决问题；（3）作 OF 平分 AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DF=DO过点 D 作 DHOC 于 H，易得 DH= DC，从而有CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在 RtOHF 中运用三角
26、函数即可解决问题解答： 解：（1）连接 OC，如图 1，CA=CE，CAE=30，E=CAE=30，COE=2A=60，OCE=90，CE 是 O 的切线；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图 2，由题可得 CH=h在 RtOHC 中，CH= OCsinCOH，h=OCsin60= OC，OC= = h，AB=2OC= h；（3）作 OF 平分 AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，则AOF=COF= AOC= （18060 ）=60OA=OF=OC，AOF、COF 是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DF=DO过
27、点 D 作 DHOC 于 H，OA=OC，OCA =OAC=30，DH=DCsinDCH=DCsin30= DC， CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，此时 FH=OFsinFOH= OF=6，则 OF=4 ，AB=2OF=8 当 CD+OD 的最小值为 6 时，O 的直径 AB 的长为 8 点评： 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，把 CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第（3）小题的关键2.
28、（2015 四川省宜宾市，第 23 题，10 分）( 注意：在试题卷上作答无效)如图，CE 是O 的直径，BD 切O 于点 D，DEBO，CE 的延长线交 BD 于点 A。（1）求证：直线 BC 是O 的切线；（2）若 AE=2，tanDEO = ，求 AO 的长. 2OEDCBA3. （2015 浙江省台州市，第 22 题）如图，四边形 ABCD 内接于 O，点 E 在对角线 AC上，EC=BC=DC（1）若CBD =39，求BAD 的度数（2）求证：1=24.（2015 江苏泰州 ,第 24 题 10 分）如图，ABC 中，AB=AC ，以 AB 为直径的 O 与 BC相交于点 D，与 C
29、A 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F。（1）试说明 DF 是O 的切线；（2）若 AC=3AE，求 。【答案】(1)证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 OD，根据等边对等角得出B= ODB， B=C，得出ODB =C，证得 ODAC，证得 ODDF，从而证得 DF 是 O 的切线； （2）连接 BE，AB 是直径，AEB=90，根据勾股定理得出 BE=2 AE，CE =4AE，然后在 RtBEC 中，即可求得 tanC 的试题解析：（1）证明：连接 OD， OB=OD， B=ODB， AB=AC， B=C， ODB=C， ODAC， DFAC， ODDF，
30、 DF 是O 的切线； （2）解：连接 BE， AB 是直径， AEB=90， AB=AC，AC=3AE ，AB=3AE，CE=4AE， BE= ， 在 RtBEC 中， tanC= .考点：切线的判定5.（2015 山东东营 ,第 21 题 8 分）( 本题满分 8 分)已知在 ABC 中，B=90 o，以 AB 上的一点 O 为圆心，以 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，交 AB 于点 E（1）求证：ACAD=AB AE；（2）如果 BD 是O 的切线， D 是切点，E 是 OB 的中点，当 BC=2 时，求 AC 的长【答案】 （1）证明见解析；（2）AC =4.考点：1.圆周角定理；
31、2.相似三角形的判定与性质；3.切线的性质；4.30的直角三角形的性质.6.（2015 山东聊城 ,第 24 题 10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交BE 于点 E（1）求证：AB=BE；（2）若 PA=2，cosB= ，求O 半径的长考点： 切线的性质；解直角三角形.分析： （1）本题可连接 OD，由 PD 切O 于点 D，得到 ODPD，由于 BEPC，得到ODBE，得出 ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，ODBE
32、 ，得到 POD=B，根据三角函数的定义即可得到结果解答： （1）证明：连接 OD，PD 切O 于点 D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：有（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB= ，在 RtPOD 中， cosPOD= = ，OD=OA，PO= PA+OA=2+OA， ，OA=3，O 半径 =3点评： 本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键7.（2015 山东临沂 ,第 23 题 9 分）如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上的一点，以 OA 为半径的O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD.（1）求证：AD 平分 BAC；（2）若BAC = 60，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留 ）.【答案】 （2）试题解析：（1）证明：连接 OD.BC 是 O 的切线，D 为切点，ODBC.又 ACBC，ODAC，ADO=CAD.又 OD=OA，ADO=OADCAD=OAD，即 AD 平分 BAC.（2）方法一：连接 OE，ED.BAC=60，OE= OA，OAE 为等边三角形，AOE=60，ADE=30. 又 ，ADE=OAD，EDAO， ，阴影部分的面积 = S 扇形 ODE = .
