1、类型一：添加辅助线，构造全等或相似推理证明1.（朝阳一模 26）阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中，ACB =90，BE 是 AC 边上的中线，点 D 在 BC 边上，CD：BD =1：2，AD 与 BE相交于点 P，求 A的值小昊发现，过点 A 作 AFBC，交 BE 的延长线于点 F，通过构造AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2） 请回答： PD的值为 参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在ABC 中，ACB=90，点 D 在 BC 的延长线上， AD 与 AC 边上的中线 BE的延长线交于点 P，DC：BC ：AC =1：2：3 （1）求 A
2、D的值；（2）若 CD=2，则 BP= 2.（门头沟毕业考试 26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在 RtABC 中，ACB=90 ，A =60，CD 平分ACB，试判断 BC 和 AC、AD 之间的数量关系小明发现，利用轴对称做一个变化，在 BC 上截取 CA=CA，连接 DA，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图 2） ADD C BC BA A图 1 图 2请回答：（1）在图 2 中，小明得到的全等三角形是 ；（2 ） BC 和 AC、AD 之间的数量关系是 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD ，BC =CD=10，
3、AC=17，AD=9求 AB 的长图 1 图 2 图 3图 3DCBA3.（燕山毕业考试 26）阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图 1，ABC 中，AB6 ，AC 4，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取值范围小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题他的做法是：如图 2，延长 AD 到 E，使 DEAD，连接 BE，构造BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决请回答：AD 的取值范围是 参考小军思考问题的方法，解决问题：如图 3，ABC 中，E 为 AB 中点，P 是 CA 延长线上一点，连接 PE 并延长交 BC 于点 D求证：PACDPCBD4.（怀柔一模 26）阅读下
4、面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图 1，在ABC 中， A=2B，CD 平分ACB，AD=2.2，AC=3.6求 BC 的长. 小聪思考：因为 CD 平分ACB，所以可在 BC 边上取点 E，使 EC=AC，连接 DE.这样很容易得到 DEC DAC，经过推理能使问题得到解决（如图 2）.请回答：（1）BDE 是_三角形.（2）BC 的长为_.参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图 3，已知ABC 中，AB=AC, A=20，BD 平分ABC,BD= ,BC=23求 AD 的长. 图 1AB D CAB D CE图 2图 3EAB D CPAB CD图 1EDCBA图 2AB C
5、D图 3BCDA类型二：添加辅助线，构造特殊四边形，利用解直等方法推理证明.5.（海淀一模 26）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中，DEBC 分别交 AB 于 D，交 AC 于E已知 CDBE ，CD=3，BE=5，求 BC+DE 的值小明发现，过点 E 作 EFDC，交 BC 延长线于点 F，构造BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2） ADEBCADEBFCGECABDF图 1 图 2 图 3请回答：BC+DE 的值为_参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，已知 ABCD 和矩形 ABEF，AC 与 DF 交于点 G，AC=BF=DF，求AGF
6、的度数类型三：一般四边形的解法，添加辅助线，构造直角三角形进行解直.6.（石景山一模 26）阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图 1，在四边形 中， ，ABCD90， ， ，求 的长60D34ABC小红发现，延长 与 相交于点 ，通过构造 Rt ，经过推理和计算能ABDCEADE够使问题得到解决（如图 2） 请回答： 的长为 参考小红思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 中， ， ，AB21tan135， ，求 和 的长9ABCD图 3图 1 图 2BCABC类型四：利用全等三角形的判定方法画图，构造全等三角形，对 SSA是否全等推理验证.7.（平谷一模 26）阅读下面材料：学习了
7、三角形全等的判定方法（即“SAS” 、 “ASA”、 “AAS”、 “SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL ”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中，AC= DF，BC=EF， B=E小聪想：要想解决问题，应该对B 进行分类研究B 可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究第一种情况：当B 是直角时，如图 1，在ABC 和DEF 中，AC= DF，BC =EF，B= E=90 ，根据“HL”定理，可以知道RtABCRt DEF第二种情况：当B 是锐角时，如图2，BC= EF，B= E90，求证：A
8、BC DEF 类型五：利用圆周角的性质画圆，根据圆内接四边形的性质及三角形外角性质进行推理证明.8.（房山一模 26）阅读材料小明遇到这样一个问题：如图 1，在锐角ABC 中，AD、BE、CF 分别为ABC 的高，求证：AFE=ACB .小明是这样思考问题的：如图 2，以 BC 为直径做半O ，则点 F、E 在O 上，BFE+BCE =180，所以 AFE=ACB.请回答：若ABC= ，则AEF 的度数是 .40参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在锐角ABC 中，AD、BE、CF 分别为ABC 的高，求证：BDF=CDE.BADECF图 1图 2MFEBCA图 3ABCFED图 1
9、图 2 图 3OFEDAB CFEDBAC FEDBAC类型六：利用特殊四边形的性质，构造全等或相似推理证明.9.（东城一模 26）阅读材料在四边形 中，对角线 与 交于点 ， 是 上任意一点， 于点ABCDABDOECAGBE，交 于点 GF(1)如图 1,若四边形 是正方形,判断 与 的数量关系 ;F明明发现， 与 分别在 和 中，可以通过证明 和E OF全等,得到 与 的数量关系;BOE AB请回答： 与 的数量关系是 .F(2) 如图 2,若四边形 是菱形, ,请参考明明思考问题的方法，求 CD120A ABE的值. GBFEODCA图 1 图 2类型七：利用等边三角形性质，构造全等，
10、利用割补法求一般图形的面积.10.（延庆毕业考试 26） 阅 读 下 面 资 料 ： 问题情境：（1）如图 1，等边ABC，CAB 和CBA 的平分线交于点 O，将顶角为 120的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点 O 重合，已知 OA=2，则图中重叠部分OAB 的面积是 探究：（2）在（1）的条件下，将纸片绕 O 点旋转至如图 2 所示位置，纸片两边分别与AB， AC 交于点 E，F，求图 2 中重叠部分的面积（3 ）如图 3，若ABC= （0 90） ，点 O 在ABC 的角平分线上，且 BO=2，以 O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与ABC 的两边 AB，AC 分别交于点E、F
11、 ，EOF =180，直接写出重叠部分的面积 （用含 的式子表示）图 1OCBA FEOCBA OCFEBA图 2 图 3类型八：利用网格，构造直角三角形，进行解直.11.（西城一模 26）阅读下面的材料： 小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果 ， 都为锐角，且 ， ，求 的度数1tan2ta3小敏是这样解决问题的：如图 1，把 ， 放在正方形网格中，使得 ，ABD，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得ABC 是等腰直角三角形，CBE因此可求得 =ABC = . 请参考小敏思考问题的方法解决问题： 如果 ， 都为锐角，当 ， 时，在图 2 的正方形网格中，利用已作
12、出tan43ta5的锐角 ，画出 MON= ，由此可得 =_. 类型九：利用特殊四边形及相似的性质求解.12.（通州一模 26）阅读材料（1）请你根据下面画图要求，在图中完成画图操作并填空 如图， 中，BAC=30 ，ACB=90，PAM= A ABC操作：（1）延长 BC （2）将PAM 绕点 A 逆时针方向旋转 60后，射线 AM 交 BC 的延长线于点D （3）过点 D 作 DQ/AB （4）PAM 旋转后，射线 AP 交 DQ 于点 G （5）连结 BG结论： = ABG（2）如图， 中，AB=AC =1，BAC=36，进行如下操作：将 绕点CABCA 按逆时针方向旋转 度角，并使各边
13、长变为原来的 n 倍（n 1） ，得到 . 当点 B、C、 在同一条直线上，且四边形 为平行四边形时（如图） ，求 ABC和n 的值图 图 图类型十：通过拼图，利用等面积法推理证明勾股定理公式.13.（丰台一模 26）阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法.先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b， 斜边为 c，然后按图 1 的方法将它们摆成正方形. 由图 1 可以得到 ，2214abac（ ）整理，得 222所以 abc如果把图 1 中的四个全等的直角三角形摆成图 2 所示的正方形，请 你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图 2 可以得到 ，整理，得 ，所以 .图 1图 2abccb acbacba
