1、第三章测试题(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1一个物体的运动方程为 s1tt 2，其中 s 的单位是米，t的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( )A7 米/秒 B5 米/秒C 6 米/秒 D4 米/秒答案 B2若二次函数 yf(x)的图象过原点，且它的导数 yf(x )的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则 yf(x )的图象顶点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 设 f(x)ax 2bxa(x 2 x)a(x )2 ，顶点ba b2a
2、b24a( ， )，f(x)2axb 过第一、二、三象限的一条直线，b2a b24ab0，a0， ，a1.154f(x)在a,2是减函数f(a) ，解得 a ，或 a (舍去)154 12 32答案 C5已知函数 f(x)x 3 的切线的斜率等于 3，则这样的切线( )A有 1 条 B有 2 条C多于 2 条 D不确定解析 令 f(x)3x 23，得 x1 ，故应有 2 条答案 B6若 f(x)x 22x 4lnx，则 f( x)0 的解集为( )A(0，) B(1,0)(2 ，)C (2，) D(1,0)解析 f(x)2x2 0，x0，4x 2x2 2x 4x2x 22x40 ，即 x2x2
3、0.解得 x2.又x0，x2.答案 C7函数 f(x)在其定义域内可导， yf(x)的图象如图所示，则导函数 yf (x)的图象为( )答案 D8定义在(0，) 上的可导函数 f(x)满足 f(x )x0 的解集为 ( )fxxA(0,2) B(0,2)(2 ，)C (2，) D解析 0 的解为 00 ， a2 20，则下列不等式中正确的是( )Ax 1x2 Bx 10 Dx 1x 20f(x 1)f(x 2)f(x 1)f(x 2)x 1x 2x 1x 20.答案 C11曲线 yx 3 上一点 B 处的切线 l 交 x 轴于点 A，OAB (O 是原点) 是以 A 为顶点的等腰三角形，则切线
4、 l 的倾斜角为( )A30 B45C 60 D120解析 设 B(x0，x )，由于 y3x 2，30故切线 l 的方程为 yx 3x (xx 0)，30 20令 y0 得点 A( ，0)，2x03由|OA| AB|，得( )2( x0 )2(x 0) 2，2x03 2x03 30当 x00 时，题目中的三角形不存在，故得 x ，4013故 x ，直线 l 的斜率为 3x ，2033 20 3故直线 l 的倾斜角为 60.答案 C12若 a，b 在区间0, 上取值，则函数 f(x)ax 3bx 2ax3在 R 上有两个相异极值点的概率是( )A. B.12 33C. D136 36解析 易得
5、 f(x)3ax 22bxa，函数 f(x)ax 3bx 2ax 在 R 上有两个相异极值点的充要条件是a0，且其导函数的判别式大于 0，即 a0，且 4b212a 20，又 a，b 在区间0， 上取值，则 a0，b a，3 3点(a， b)满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为 3，阴影部分的面积为 ，32故所求的概率是 .36答案 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上)13已知曲线 yx 2 1 在 xx 0 点处的切线与曲线 y1x 3 在xx 0 点处的切线互相平行，则 x0 的值为_解析 yx 21 的导数为 y2x，
6、y1x 3 的导数为 y3x 2，由题可知 2x03x ，x 00，或 x0 .2023答案 0 或2314已知函数 f(x)x 3ax 在 R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是_解析 f(x)3x 2a，由题可知 f(x)0 有两个不等的根，a0 的解集是_解析 由题可设 f(x) ax3bx 2cxd，f(x) 3ax 22bx c，Error!Error!f(x)x 33x 24x 3x 24(x 21)x 2(x1)4(x1)( x1)(x 1)(x2) 2，f(x)0 的解为 x1 ，且 x2.答案 x |x1，且 x216已知函数 f(x) 在区间(2， )上单调递减，则实
7、3x ax 2数 a 的取值范围是_解析 由题可知，函数 f(x) 在区间(2，) 上单调递3x ax 2减，所以其导函数 f(x ) 在( 2，)3x 2 3x ax 22 6 ax 22上小于零，解得 a6.答案 (6，)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10 分) 求函数 f(x)x 33x 26x2，x1,1 的最值解 f(x) 3x 26x 63(x 22x2)3( x1) 2 30，f(x) 在 1,1内恒大于 0，f(x)在1,1上为增函数故 x1 时， f(x)min12；x1 时，f(x )max2.即 f(x)
8、的最小值为12 ，最大值为 2.18(12 分) 设函数 f(x)2x 33(a1) x26ax8( aR) ，若 f(x)在区间( ，0) 上是增函数，求 a 的取值范围解 f(x) 6x 26(a1)x 6a6(xa)(x 1) ，令 f(x) 0，得 x1a，x 21.(1)当 a1 时，f(x )0，f (x)在( ，a)和(1，) 上是增函数故当 0aa 时，f( x)0.f(x)在(，1)和(a，)上是增函数从而 f(x)在( ，0)上是增函数综上可知，当 a0，)时，f(x )在(，0)上是增函数19(12 分) 已知函数 f(x) x34x m 在区间 (，) 上有13极大值
9、.283(1)求实数 m 的值；(2)求函数 f(x)在区间(，)的极小值解 f(x) x 24(x2)( x2)令 f(x) 0 得，x2，或 x2.故 f(x)的增区间为( ，2)和(2，)，减区间为(2,2) (1)当 x 2 时，f( x)取得极大值，故 f( 2) 8m ，m4.83 283(2)由(1)得 f(x) x3 4x413又当 x2 时， f(x)有极小值 f(2) .4320(12 分) 已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C25 000200x x2(元)140(1)要使平均成本最低应生产多少件产品？(2)若产品以每件 500 元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
10、解 (1) 设平均成本为 y，则 y 25 000 200x 140x2x 25 000x200，y .令 y0，得 x1 000.x40 25 000x2 140当 x1 000 时，y0.当 x1 000 时，y 取得极小值，也是最小值因此，要使平均成本最低，应生产 1 000 件产品(2)设利润为 L(x)，则L(x) 500x 300x 25 000 ，(25 000 200x x240) x240L(x) 300 .x20令 L( x) 0，得 x6 000.当 x0；当 x6 000 时，L(x)0，当 x6 000 时，L(x) 取得极大值，也是最大值因此，要使利润最大，应生产 6 000 件产品21(12 分) 已知函数 f(x) x3 x22ax 3，g(a)13 a 22 a35a7.16(1)a 1 时，求函数 f(x)的单调递增区间；(2)若函数 f(x)在区间2,0上不单调，且 x2,0 时，不等式f(x)g(a)恒成立，求实数 a 的取值范围解 (1) 当 a1 时，f( x) x3 x22x3，13 12
