1、精品课程运筹学,第三节 动态规划问题的一些例子,3.1 最短路径问题,3.2 投资分配问题,3.3 背包问题,3.4 排序问题,精品课程运筹学,例一、从A 地到D 地要铺设一条煤气管道,其中需经过两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,3.1 最短路径问题,精品课程运筹学,解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。,第一阶段（C D）： C 有三条路线到终点D 。,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C
2、2,C3,显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4,精品课程运筹学,d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 5,第二阶段（B C）： B 到C 有六条路线。,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,(最短路线为B1C1 D),精品课程运筹学,d( B2,C1 ) + f1 (C1 )
3、2+1 f2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 3 = min 6 = 3 5,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,(最短路线为B2C1 D),精品课程运筹学,第三阶段（ A B ）： A 到B 有二条路线。,f3(A)1 = d(A, B1 ) f2 ( B1 ) 246 f3 (A)2 = d(A, B2 ) f2 ( B2 ) 437, f3 (A) = min = min6,7=6,d(A, B1 )
4、 f2 ( B1 )d(A, B2 ) f2 ( B2 ),(最短路线为AB1C1 D),A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,A,精品课程运筹学,A,B1,B2,C1,C2,C3,D,2,4,3,3,3,3,2,1,1,1,4,D,C1,C2,C3,B1,B2,A,最短路线为 AB1C1 D 路长为 6,精品课程运筹学,练习1：,A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G,5,3,1,3,6,8,7,6,3,6,8,5,3,3,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,
5、2,5,6,6,4,最优路线为：A B1 C2 D1 E2 F2 G 路长18,求从A到G的最短路径,3,精品课程运筹学,k=5，出发点E1、E2、E3,精品课程运筹学,k=2, f2(B1)=13 u2(B1)=C2 f2(B2)=16 u2(B2)=C3,精品课程运筹学,7 5 9,u5(E2)=F2,u6(F2)=G,最优策略,A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G,5,3,1,3,6,8,7,6,3,6,8,5,3,3,8,4,2,2,2,1,3,3,3,5,2,5,6,6,4,3,精品课程运筹学,求从A到E的最短路径,路线为AB2C
6、1 D1 E ，最短路径为19,A,B2,B1,B3,C1,C3,D1,D2,E,C2,5,2,14,1,12,6,10,10,4,3,12,11,13,9,6,5,8,10,5,2,练习2：,1,精品课程运筹学,现有数量为a（万元）的资金，计划分配给n 个工厂,用于扩大再生产。 假设：xi 为分配给第i 个工厂的资金数量（万元） ；gi(xi)为第i 个工厂得到资金后提供的利润值（万元）。 问题是如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为最大。,据此，有下式：,3.2 投资分配问题,精品课程运筹学,令：fk(x) = 以数量为x 的资金分配给前k 个工厂，所得到的最大利润值。 用动态规划求解，就
7、是求 fn(a) 的问题。,当 k=1 时， f1(x) = g1(x) （因为只给一个工厂）,当1kn 时，其递推关系如下： 设：y 为分给第k 个工厂的资金（其中 0y x ），此时还剩 x y（万元）的资金需要分配给前 k-1 个工厂,如果采取最优策略，则得到的最大利润为fk1(xy) ,因此总的利润为： gk(y) fk1(xy),精品课程运筹学,如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的y 只取非负整数0，1，2，x。上式可变为：,所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：,精品课程运筹学,例题： 设国家拨给60万元投资，供四个工厂扩建使用，每个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后
8、的利润函数如下表所示。,解：依据题意，是要求 f4(60) 。,精品课程运筹学,按顺序解法计算。第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x) g1(x)，得到下表,第二阶段：求 f2(x)。此时需考虑第一、第二个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,精品课程运筹学,最优策略为（40，20），此时最大利润为120万元。,同理可求得其它 f2(x) 的值。,精品课程运筹学,最优策略为（30，20），此时最大利润为105万元。,精品课程运筹学,最优策略为（20，20），此时最大利润为90万元。,最优策略为（20，10），此时最大利润为70万元。,精品课程运筹学,最优策略为（10，0）或（ 0
9、， 10 ） ，此时最大利润为20万元。,f2(0) 0。最优策略为（0，0），最大利润为0万元。 得到下表,最优策略为（20，0），此时最大利润为50万元。,精品课程运筹学,第三阶段：求 f3(x)。此时需考虑第一、第二及第三个工厂如何进行投资分配，以取得最大的总利润。,精品课程运筹学,最优策略为（20，10，30），最大利润为155万元。,同理可求得其它 f3(x) 的值。得到下表,精品课程运筹学,第四阶段：求 f4(60)。即问题的最优策略。,精品课程运筹学,最优策略为（20，0，30，10），最大利润为160万元。,精品课程运筹学,练习： 求投资分配问题得最优策略，其中a50 万元，其
10、余资料如表所示。,精品课程运筹学,例：某公司打算在3个不同的地区设置4个销售点，根据市场部门估计，在不同地区设置不同数量的销售点每月可得到的利润如表所示。试问在各地区如何设置销售点可使每月总利润最大。,x1=2，x2=1，x3=1，f3(4)=47,精品课程运筹学,有一个徒步旅行者，其可携带物品重量的限度为a 公斤，设有n 种物品可供他选择装入包中。已知每种物品的重量及使用价值（作用），问此人应如何选择携带的物品（各几件），使所起作用（使用价值）最大？,这就是背包问题。类似的还有工厂里的下料问题、运输中的货物装载问题、人造卫星内的物品装载问题等。,3.3 背包问题,精品课程运筹学,设xj 为第
11、j 种物品的装件数（非负整数）则问题的数学模型如下：,用动态规划方法求解，令 fx(y) = 总重量不超过 y 公斤，包中只装有前k 种物品时的最大使用价值。 其中y 0， k 1,2, , n 。所以问题就是求 fn(a),精品课程运筹学,其递推关系式为：,当 k=1 时，有：,精品课程运筹学,例题：求下面背包问题的最优解,解：a5 ，问题是求 f3(5),精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,精品课程运筹学,所以，最优解为 X（1 . 1 . 0），最优值为 Z = 13。,精品课程运筹学,练习1：某厂生产三种产品，各种产品重量与利润的关系如表所示。现将此三种产品
12、运往市场出售，运输能力总重量不超过 6 吨，问如何安排运输，使总利润最大？,最优方案：X1 =（0.2.0）X2 =（1.0.1）Z=260,精品课程运筹学,练习2：求下列问题的最优解,X=(2. 1. 0) 最优值为 Z = 13,精品课程运筹学,排序问题指n 种零件经过不同设备加工是的顺序问题。其目的是使加工周期为最短。,1、n 1 排序问题 即n 种零件经过1 种设备进行加工，如何安排？,例一、,3.4 排序问题,精品课程运筹学,（1）平均通过设备的时间最小,按零件加工时间非负次序排列顺序，其时间最小。（即将加工时间由小到大排列即可）,零件加工顺序,平均通过时间,精品课程运筹学,延迟时间
13、 = 13 6 = 7,（2）按时交货排列顺序,零件加工顺序,平均通过时间,延迟时间 = 0,精品课程运筹学,（3）既满足交货时间，又使平均通过时间最小,零件加工顺序,延迟时间 = 0,平均通过时间,精品课程运筹学,2、n 2 排序问题 即n 种零件经过2 种设备进行加工，如何安排？,例二、,精品课程运筹学,经变换为,加工顺序图如下：,A,B,T,3,7,5,6,8,9,5,4,3,2,+2,+2,-5,加工周期 T = 3+7+5+6+8+2 = 31,精品课程运筹学,3、n 3 排序问题 即n 种零件经过 3 种设备进行加工，如何安排？,例三、,精品课程运筹学,A,B,C,T,变换,精品课程运筹学,排序,复原,精品课程运筹学,计算,T = 6+10+8+7+6+4+3 = 44,计算依据：,精品课程运筹学,练习：,
