1、2.3平面向量的基本定理及坐标表示教学设计【教学目标】1了解平面向量基本定理；2理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】复习引入：1 实数与向量的积实数 与向量 的积是一个向量，记作： .（1）| |=| |；（2）0 时，aaa与 方向相同；0 时， 与 方向相反；=0 时， = .aa02运算定律结合律：( )=() ；分配律：(+) = + ，( + )= + .aaab3. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数 ，使
2、 = .b 新授课阶段一、平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面1e2内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 = 1 + 2 .aae探究：(1) 我们把不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底 、 的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. 1， 2是被 ， ， 唯一确定的数量.a1e2二、平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量、 作为基底.xyj任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，
3、使得a xy1yjxia 1我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作),(a2yx 2其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标，2 式ya 2叫做向量的坐标表示.与 相等的向量的坐标也为 .a),(yx特别地， ， ， .)0,1(i),(j)0,(如图，在直角坐标平面内，以原点 O 为起点作 ，则点 的位置由 唯一确定.aAa设 ，则向量 的坐标 就是点 的坐标；反过来，点 的坐标yjxiOAA),(yxA也就是向量 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一),(对实数唯一表示.三、平面向量的坐标运算（1）若 ， ，则 ，),(1yxa),(2yxbba),(21
4、21yxba.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.(22设基底为、 ，则 ，即j)()(21jyixjyix jyix)()(2121 ，同理可得 .),(2121yxba,1（2）若 ， ，则 .,A),(2xB122,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.= =( x2， y2) -(x1，y 1)= (x2 x1，y 2 y1).BO（3）若 和实数 ，则 .,(a),(a实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为、 ，则 ，即 .j)(yjxiyji ),(yxa例 1 已知 A(x1，y 1)，B(x 2，y
5、2)，求 的坐标.AB例 2 已知 =(2，1)， =(-3，4)，求 + ， - ，3 +4 的坐标.ababab例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(2，1)，B(1，3)， C(3，4)，求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为 ABCD 时，由 ，得 D1=(2，2).CAB当平行四边形为 ACDB 时，得 D2=(4，6)，当平行四边形为 DACB 时，得 D3=(6，0).例 4 已知三个力 (3，4)， (2，5)， (x，y)的合力 + + = ，求 的坐标.1F3F1F203F解：由题设 + + = ，得：(3，4)+ (2，5)+(x，y)=(0
6、，0)，230即： (5，1).3,45xy,1.3例 5 已知 =(2,1), =(3,4),求 ， ，3 4 的坐标.ababab解： （2,1）+（-3,4）=(1，5)， （2,1）-（-3,4）=(5，3)，b3 4 3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(6，19). a点评：利用平面向量的坐标运算法则直接求解.例 6 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为（-2，1） 、 （-1，3） （3，4） ，求顶点 D 的坐标.解：设点 D 的坐标为（x,y）,即 3- x=1,4-y=2.解得 x=2,y=2.所以顶点 D 的坐标为（2，2
7、）.另解：由平行四边形法则可得(13)2,(1,),44,ABCxyy且(1,2)3,4).xy(1),3(1),43,BAC(1,3),2.ODB例 7 经过点 的直线分别交 轴、 轴于点 ，且 ，求点 的(2,3)Mxy,AB|3|AM,B坐标.解：由题设知， 三点共线，且 ，设 ，,AB|3|M(,0),xy点 在 之间，则有 ， .A(,)23xy解之得： ， 点 的坐标分别为 .3,xy, (,点 不在 之间，则有 ，同理，可求得点 的坐标分别为 ，MAB3AB3(,0)2.(0,9)综上，点 的坐标分别为 或 ， .,(,0)(,0)2(,9)例 8. 已知三点 ，若 ，试求实数
8、的取值范围，使(2,3)5,47,1ABCAMBC落在第四象限.M解：设点 ，由题设得 ，(,)xy(2,3)(,)(5,73,7)xy ， 要使 落在第四象限，则 ，34 040xy解之得 .1例 8 已知向量 ，问是否存在实数 同时满足两(8,2)(3,)(6,12)(,4)abcp,xz个条件： ？如果存在，求出 的值；如果不存在，请();pxyzxyz ,yz说明理由.解：假设满足条件的实数 存在，则有 解之得：,xyz836,214.xyz1,2,31.6xyz满足条件的实数 .1,236xyz课堂小结（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐
9、标，判断向量是否共线. 作业见同步练习拓展提升1.设 是同一平面内两个不共线的向量，不能以下各组向量中作为基底的是（ ）,1e2A. ， B. + ， C. ，2 D. ， 1e+1e21e22. 设 是同一平面内所有向量的一组基底，则以下各组向量中，不能作为基底的是（ ,1e2）A. + 和 - B. 3 -2 和 4 -612121e212eC. +2 和 2 + D. + 和ee3.已知 不共线， = + ， =4 +2 ，并且 ， 共线，则下列各式正确,1a12eb12eab的是（ ）A. =1， B. =2， C. =3， D. =411114.设 = +5 ， =-2 +8 ， =
10、3 -3 ，那么下列各组的点中三点一定共线的ABabCabDab是（ ）A. A，B，C B. A，C，D C. A，B，D D. ，下列说法中，正确的是（ ）一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； 零向量不可作为基底中的向量. 已知 是同一平面内两个不共线的向量，那么下列两个结论中正确的是（ ）,1e2 + （ ， 为实数）可以表示该平面内所有向量； 2若有实数 ， 使 + ，则 .11e2012 以上都不对已知的边上的中线，若 ， ，则 （ ）ABaCbAM （ ） （ ）21ab21ab （ ） （ ）已知是正六边形， ， ，则 （ ）ABaEbBC （ ） （ ）21ab21 （ ）b如果 + ， + ，其中 ， 为已知向量，则 1e21e2ab1e， .2已知 是同一平面内两个不共线的向量，且,1e2 + ， + ， ，如果，三点共线，则ABCB1e2D1e2的值为 .当为何值时，向量 + ， 共线，其中 、 是同一平a12b121e2面内两个不共线的向量.已知： 、 是不共线的向量，当为何值时，向量 + 与 1e2 a1e2b1e共线？2e
