1、2.3 等差数列的前 n 项和材拓展1等差数列的判定(1)ana n1 d (n2，d 为常数 )a n是公差为 d 的等差数列；(2)2ana n1 a n1 (n2)a n是等差数列；(3)anknb(k，b 为常数)a n是公差为 k 的等差数列( n1) ；(4)SnAn 2Bn(A，B 为常数) a n是公差为 2A 的等差数列(n1)例如：已知等差数列a n的前 n 项和 Sn(n1) 2 ，则 的值是_解析 S n(n1) 2n 22 n(1)，a n是等差数列，10，1.答案 12等差数列的通项公式将 ana 1(n1)d 可整理为 andn(a 1d) ，它是关于 n 的一次
2、函数( d0)或常函数(d0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差 d 是该射线所在直线的斜率例如：等差数列a n中，若 anm，a mn (mn)，则 amn _.解析 由点(n，a n)，( m，a m)，(mn，a mn )三点共线， .即 1，am n anm n n am anm n am n mm n mm n易得 amn 0.答案 03等差数列的前 n 项和公式(1)将公式 Snna 1 d 变形可得 Sn n2 n.故当 d0 时，等差数列前 nnn 12 d2 (a1 d2)项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是抛物线 y x2 x 上横坐标为正整数
3、的d2 (a1 d2)一群孤立点(2) n 是关于 n 的一次函数(d0) 或常函数(d 0) Snn d2 (a1 d2)当涉及等差数列前 n 项和 Sn的计算问题时，有时设 SnAn 2Bn 的形式更简便快捷例如：等差数列a n中，若 Spq，S qp (pq) ，则 Spq _.解析 设 SnAn 2Bn，则Error!由(1)(2)得 Ap2BpAq 2Bqqp，A(p 2q 2)B(pq)qp ，pq，A( pq) B1.S pq A( p q)2B(pq)A(pq )B(pq)(pq) 答案 (pq)4等差数列的性质(1)若数列a n和b n均是等差数列，则ma nkb n仍为等差
4、数列，其中 m、k 均为常数(2)若 m，n，p ，qN *，且 mnpq，则 ama na pa q.(3)等差数列中依次 k 项的和成等差数列，即 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k，成等差数列，公差为 k2d (d 是原数列公差)(4)若a n与 bn均为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn与 S n，则 .ambm S2m 1S 2m 1(5)等差数列a n中，奇数项的和记作 S 奇 ，偶数项的和记作 S 偶 ，则 SnS 奇 S 偶当 n 为偶数时：S 偶 S 奇 d；n2当 n 为奇数时：S 奇 S 偶 a 中 ，S 奇 a 中 ，n 12S 偶 a 中 ， .n 12 S奇S
5、偶 n 1n 1(其中 a 中 是等差数列的中间一项 )例如：已知等差数列共有 10 项，其中奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差是_解析 S 偶 S 奇 d5d，n25d301515，d3.答案 35等差数列前 n 项和的最值求等差数列前 n 项和的最值的常用方法：(1)通项法当 a10，d0 时，数列a n只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n有最小值，当 n 满足不等式组Error!时，S n取到这一最小值(2)二次函数法由于 Sn n2 n，nN *是关于 n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最d2 (a1 d2)值问题，但要注意数列的特殊性 n
6、N *.例如：a n是等差数列，a 10，a 2 009a 2 0100，a 2 009a2 0100 成立时，n 的最大值是_答案 2 009 4 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法：(1)定义法：a n1 a nd (常数 )(nN *)；(2)通项公式法：a nknb (k，b 为常数) (nN *)；(3)中项公式法：2a n1 a na n2 (nN *)；(4)前 n 项和法：S nAn 2Bn (A、B 为常数) ，nN *.例 1 数列a n的前 n 项和 Sn满足：S n ，判断a n是否为等差数列？并证na1 an2明你的结论解 a n是等差
7、数列，证明如下：因为 anS nS n1 (n2) ，na1 an2 n 1a1 an 12所以 an1 ，n 1a1 an 12 na1 an2所以 an1 a n (n1)(a 1a n1 )2n(a 1a n)(n1)( a1a n1 )12 (n1)a n1 2na n(n1)a n1 (n2)，12即(n1)( an1 2ana n1 )0，所以 an1 a n1 2a n (n2)，所以数列a n为等差数列二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中 a1 和 d 是两个基本量，利用通项公式与前 n 项和公式，求出 a1
8、和 d，等差数列就确定了例 2 在等差数列a n中，(1)已知 a610，S 55，求 a8 和 S8；(2)已知前 3 项和为 12，前 3 项积为 48，且 d0，求 a1；(3)已知前 3 项依次为 a,4,3a，前 k 项和 Sk2 550，求 a 及 k.解 (1)a 610，S 55，Error!.解方程组得 a15，d3，a 8a 62d102316，S88 44.a1 a82(2)设数列的前三项分别为 ad，a，ad，依题意有：Error!，Error! ，Error!.d0，d2，ad2.a 12.(3)设公差为 d，则由题意得Error!Error!因此，a2，k50.三、
9、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如：(1)若 mnp q，则 ama na pa q；(2)若 mn2 p，则 ama n2a p；(3)若a n是等差数列，则 Sk，S 2kS k，S 3kS 2k也成等差数列(其 Sk为前 k 项和)(4)若等差数列a n的前 n 项和为 Sn，等差数列 bn的前 n 项和为 Tn，则 .anbn S2n 1T2n 1熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效例 3 (1)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S972，求 a2a 4a 9 的值；(2)已知等差数列a n和b n的前 n 项和分别为 Sn和 Tn
10、，求证： ； .anbn S2n 1T2n 1 anbm 2m 12n 1S2n 1T2m 1(1)解 由 S9 72，a 1a 916，9a1 a92a 1a 92a 516，a 58，a 2a 4a 9a 1a 5a 93a 524.(2)证明 anbn 2an2bn a1 a2n 1b1 b2n 1 .a1 a2n 12n 12b1 b2n 12n 12 S2n 1T2n 1 anbm 2an2bm a1 a2n 1b1 b2m 1a1 a2n 12n 12 2m 12b1 b2m 12m 12 2n 12 .2m 12n 1S2n 1T2m 1四、等差数列前 n 项和的最值方法链接：等
11、差数列前 n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若 d0，a 10，d0，因此 an3n63.点 Q(n，a n)在增函数 y3x63 的图象上令 y0 则得 x21，故当n22 时，a n0；当 1n21 且 nN *时，a n 0，于是|a 1|a 2| | a30|a 1a 2a 21a 22a 23a 30a 1a 2a 302(a 1a 2a 21)765.记 Tn|a 1|a 2|a n|，则由上面的求解过程知：当 1n21，nN *时，Tn|a 1|a 2|a n|a 1a 2a n n2 n.123 3nn2 32 1232当 n21，nN *时，Tn|a
12、 1|a 2|a 20|a 21| an|(a 1a 2a 21)a 22a 23a n(a 1a 2a n)2( a1a 2a 21) n2 n1 260.32 1232数列|a n|的前 n 项和TnError!五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论例 5 已知数列a n中，a 15 且 an2a n1 2 n1 (n2 且 nN *)(1)求 a2，a 3 的值；(2)是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值；若不存在，an 2n 请说明理由解 (1)a 15，a 22a 12 2
13、113，a32a 22 3133.(2)假设存在实数 ，使得数列 为等差数列an 2n 则 ， ， 成等差数列，a1 2 a2 22 a3 232 ，a2 22 a1 2 a3 23 .13 2 5 2 33 8解得 1.当 1 时， (an 1 12n 1 ) (an 12n ) (an1 1)2( an1)12n 1 (an1 2a n1)12n 1 (2an2 n1 1)2a n112n 1 2n1 1.12n 1综上可知，存在实数 1，使得数列 为等差数列，且首项是 2，公差是 1.an 2 六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出
14、现解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决例 6 下表给出一个“等差数阵”：4 7 ( ) ( ) ( ) a1j 7 12 ( ) ( ) ( ) a2j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a3j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a4j ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 aij 其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第 i 行第 j 列的数(1)写出 a45 的值；(2)写出 aij的计算公式解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为 4，公差为 3；第二行首项为 7，公差为 5.归纳总结出：第
15、一列( 每行的首项) 是以 4 为首项， 3 为公差的等差数列，即3i1，各行的公差是以 3 为首项， 2 为公差的等差数列，即 2i1.所以 a45 在第 4 行，首项应为 13，公差为 9，进而得出 a4549.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： a1j43(j1)；第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列：a2j75(j1)；第 i 行是首项为 43(i1)，公差为 2i1 的等差数列，因此，a ij43( i1) (2i1)(j1)2iji ji(2 j1) j .区突破1审题不细心，忽略细节而致错例 1 首项为24 的等差数列，从第 10 项起开始为
16、正数，求公差 d 的取值范围错解 a 10a 19d249d0，d .83点拨 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第 10 项是该等差数列中的第一个正项，应有 a90.正解 设 an24(n1)d，由Error! ，解不等式得： 0 时，20(n1) 0，53n0 是不正确的，事实上应解 an0，a n1 0.正解 由 a120，S 10S 15，解得公差 d .53S 10S 15，S 15S 10a 11a 12a 13a 14a 150，a 11a 15a 12a 142a 130，a 130.公差 d0，a 1，a 2，a 11，a 12 均为正数，而 a14 及以后各项均为负数当
17、n12 或 13 时，S n有最大值为 S12S 13130.4忽略题目中的隐含条件而致错例 4 一个凸 n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为 120，公差为 5，求凸 n边形的边数错解 一方面凸 n 边形的内角和为 Sn，Sn120 n 5.nn 12另一方面，凸 n 边形内角和为(n2) 180.所以 120n 5(n 2)180.nn 12化简整理得：n 225n1440.所以 n9 或 n16.即凸 n 边形的边数为 9 或 16.点拨 凸 n 边形的每个内角都小于 180.当 n16 时，最大内角为 120155195180应该舍掉正解 凸 n 边形内角和为(n 2) 180，
18、所以 120n 5(n 2)180，nn 12解得：n9 或 n16.当 n9 时，最大内角为 1208 5160180 舍去所以凸 n 边形的边数为 9.题多解例 一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和分析 本题可从基本方法入手，先求 a1，d，再求前 110 项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前 n 项和的性质解 方法一 设等差数列a n的公差为 d，前 n 项和为 Sn，则 Snna 1 d.nn 12由已知得Error!10整理得 d ，1150代入，得 a1 ，1 099100S 110110a 1 d1101092110 1
19、099100 1101092 ( 1150)110 (1 099 10911100 )110.故此数列的前 110 项之和为110.方法二 设 Snan 2bn.S 10100，S 10010，Error!解得Error!S n n2 n.11100 11110S 110 1102 110110.11100 11110方法三 设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则Error!得(pq)a 1 dp qp q 12(pq) 又 pq，a 1 d1，p q 12S pq (pq)a 1 dp qp q 12(pq)(1)，S 110110.方法四 数列 S10，S 20S 10，S 30S 20
20、，S 100S 90，S 110S 100 成等差数列，设其公差为 D.前 10 项的和 10S10 DS 10010，解得 D22，1092S 110S 100S 10(111)D10010(22)120.S 110120S 100110.方法五 S 100S 10a 11a 12a 100 .90a11 a1002 90a1 a1102又 S100S 101010090，a 1a 1102.S 110 110.110a1 a1102题赏析1(2009全国)已知等差数列 an中，a 3a716，a 4a 60，求 an的前 n 项和 Sn.解 设a n的公差为 d，则Error!即Error
21、!解得Error!或Error!因此 Sn8nn(n1)n( n9) ，或 Sn8nn(n1)n( n9) 2(2009江苏)设a n是公差不为零的等差数列，S n为其前 n 项和，满足a a a a ，S 77.2 23 24 25(1)求数列a n的通项公式及前 n 项和 Sn；(2)试求所有的正整数 m，使得 为数列a n中的项amam 1am 2解 (1)由题意，设等差数列 an的通项公式为ana 1(n1)d，d0.由 a a a a 得 a a a a ，2 23 24 25 2 25 24 23由性质得3d(a 4a 3)d( a4a 3)，因为 d0所以 a4a 30，即 2a15d0.又因为 S77，所以 a13d1.由可得 a15，d2.所以数列a n的通项公式 an2n7，Snna 1 dn 26n.nn 12(2)因为 amam 1am 2 am 2 4am 2 2am 2a m2 6 为数列a n中的项，故 为整数8am 2 8am 2又由(1)知 am2 为奇数，所以 am2 2m31，即 m1,2.经检验，符合题意的正整数只有 m2.赏析 试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力
