1、1.2.2 同角三角函数的基本关系自主学习知识梳理1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：_.(2)商数关系：_.2同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2cos 21 的变形公式：sin2_；cos 2_；(sin cos )2_；(sin cos )2_ ；(sin cos )2(sin cos ) 2_；sin cos _ _.(2)tan 的变形公式：sin _；sin cos cos _.自主探究1利用任意角三角函数的定义推导平方关系2已知 tan 2，求下列代数式的值 (1) ；4sin 2cos 5cos 3sin (2) sin2 sin cos cos2.14 13 12
2、对点讲练知识点一 已知某一个三角函数值，求同角的其余三角函数值例 1 已知 cos ，求 sin 、tan .817回顾归纳 同角三角函数的基本关系式揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二” ，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用变式训练 1 已知 tan ，且 是第三象限角，求 sin ，cos 的值43知识点二 利用同角的三角函数基本关系式化简例 2 化简： .1cos 1 tan2 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 回顾归纳 解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系化简过程中常用的方法
3、有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解变式训练 2 化简： .1 cos4 sin41 cos6 sin6知识点三 利用同角的三角函数基本关系式证明恒等式例 3 求证： .cos 1 sin sin 1 cos 2cos sin 1 sin cos 回顾归纳 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简证明三角恒等式的基本原则：由繁到简常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证常用技巧：切化弦
4、、整体代换变式训练 3 求证： .1 2sin 2xcos 2xcos22x sin22x 1 tan 2x1 tan 2x1同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如 sin22cos 221， tan 8 等都成立，理由是式子中的角sin 8cos 8为“同角” 2已知角 的某一种三角函数值，求角 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求 sin 或 cos 时，其正负号是由角 所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式3在进行三角函数式的求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当的选用公
5、式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.课时作业一、选择题1化简 sin2 cos4sin 2cos2 的结果是( )A. B. C1 D.14 12 322若 为第三象限角，则 的值为( )cos 1 sin2 2sin 1 cos2A3 B3 C1 D13若 sin ，且 是第二象限角，则 tan 的值等于( )45A B. C D43 34 34 434已知 tan ，则 的值是( )12 1 2sin cos sin2 cos2A. B3 C D313 135已知 sin cos ，则 tan 的值为( )52 1tan A4 B4 C8 D8二、填空题6已知 是第
6、二象限角，tan ，则 cos _.127已知 sin cos 且 ，则 cos sin 18 4 2_.8若 sin ，cos ，且 的终边不落在坐标轴上，则 tan 的值为k 1k 3 k 1k 3_三、解答题9证明：(1) sin cos ；1 cos2sin cos sin cos tan2 1(2)(2cos 2)(2tan 2)(1 2tan 2)(2sin 2)10已知关于 x 的方程 2x2( 1) xm 0 的两根为 sin 和 cos ， (0,2)3求：(1)m 的值； (2)方程的两根及此时 的值1.2.2 同角三角函数的基本关系答案知识梳理1(1)sin 2cos 2
7、1 (2)tan (k ，k Z)sin cos 22(1)1cos 2 1sin 2 12sin cos 12sin cos 2 sin cos 2 121 sin cos 22(2)cos tan sin tan 自主探究1解 sin ，cos ，tan ，x 2y 2r 2，yr xr yxsin 2cos 2 1 ( R) y2r2 x2r2 x2 y2r2 tan (k ，kZ)sin cos yrxr yx 22解 关于 sin 、cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以 cos 或 cos2 转化为关于 tan 的式子后再求值(1)原式 .4tan 23tan 5 611(2)
8、原式14sin2 13sin cos 12cos2sin2 cos214tan2 13tan 12tan2 1 .144 132 125 1330对点讲练例 1 解 cos 0 且 cos 1，817 是第二或第三象限的角(1)如果 是第二象限的角，可以得到sin .1 cos21 ( 817)2 1517tan .sin cos 1517 817 158(2)如果 是第三象限的角，可得到：sin ，tan .1517 158变式训练 1 解 由 tan ，sin cos 43得 sin cos . 43又 sin2 cos 21， 由得 cos2cos 21， 即 cos2 .169 925
9、又 是第三象限角，cos ， sin cos .35 43 45例 2 解 原式 1cos 1 sin2cos2 1 sin 21 sin21 sin 21 sin2 |cos |cos 1 sin |cos | 1 sin |cos |Error!变式训练 2 解 原式1 cos4 sin4 1 cos6 sin6 1 cos21 cos2 sin4 1 cos21 cos2 cos4 sin6 sin21 cos2 sin4 sin21 cos2 cos4 sin6 1 cos2 sin21 cos2 cos4 sin4 2cos21 cos2 cos2 sin2cos2 sin2 .2c
10、os21 cos2 cos2 sin2 2cos23cos2 23例 3 证明 左边cos 1 cos sin 1 sin 1 sin 1 cos cos2 sin2 cos sin 1 sin cos sin cos cos sin cos sin 112cos sin 2 sin cos 122cos sin cos sin 1sin cos 12 右边2cos sin 1 sin cos 原式成立变式训练 3 证明 左边cos22x sin22x 2sin 2xcos 2xcos22x sin22xcos 2x sin 2x2cos 2x sin 2xcos 2x sin 2xcos 2
11、x sin 2xcos 2x sin 2x1 tan 2x1 tan 2x右边原等式成立课时作业1C sin 2 cos4sin 2cos2sin 2 cos2(cos2sin 2)sin 2 cos21.2B 为第三象限角，cos 0，sin 0，原式 cos cos2 2sin sin2 3.cos cos 2sin sin 3A 为第二象限角，sin ，cos ，45 35tan .434C 1 2sin cos sin2 cos2sin cos sin cos sin cos sin cos .sin cos sin cos tan 1tan 1 12 1 12 1 135C tan
12、.1tan sin cos cos sin 1sin cos sin cos ，1 sin cos 22 18tan 8.1tan 6255解析 由 是第二象限的角且 tan ，12则Error! ，则Error!.732解析 (cos sin )212sin cos ，34 ，cos sin .cos sin .4 2 328.34解析 sin 2 cos2 2 21，(k 1k 3) (k 1k 3)k 26k70，k 11 或 k27.当 k1 时，cos 不符合，舍去当 k7 时，sin ，cos ，tan .35 45 349证明 (1)左边 sin2sin cos sin cos
13、sin2cos2 1 sin2sin cos sin cos sin2 cos2cos2 sin2sin cos cos2sin cos sin2 cos2 sin2sin cos cos2sin cos sin2 cos2sin cos sin cos 右边原式成立(2)左边42tan 22cos 2sin 222tan 22sin 2sin 222tan 2sin 2右边(12tan 2)(1cos 2)12tan 2cos 22sin 222tan 2sin 2左边右边，原式成立10解 (1)由韦达定理知Error!由式可知 12sin cos 1 ，32sin cos ，34 ，m2 34m ，32(2)当 m 时，原方程 2x2( 1)x 0，32 3 32x 1 ，x 2 .32 12(0,2)Error! 或Error!. 或 .3 6
