1、本章总结提升类型之一 锐角三角函数的有关计算例 1 如图 1T1 所示，在ABC 中，D 是 AB 的中点，DCAC，且tan BCD ，求 tanA.13图 1T1解析 如图 1T 2，过点 D 作 DECD，以便能更好地利用BCD 解答本题解：过点 D 作 DECD，交 BC 于点 E.图 1T2在 Rt CDE 中，tanBCD ，故可设 DEx，13 DECD则 CD3x.又CDAC ，DEAC.又D 为 AB 的中点，E 为 BC 的中点DE AC，AC2DE2x.来源:gkstk.Com12在 Rt ACD 中，ACD 90，AC2x，CD 3x，tanA .CDAC 3x2x 3
2、2点评 在本例中题设出现 tanBCD ，由于BCD 所在的三角形并非直角三角形，13因此需设法构造一个与之相关的直角三角形类型之二 特殊角的三角函数值例 2 计算：(1)sin 230cos 260tan 245_；(2)(1) 2015( )3 (cos88 )0|3 9tan30| _12 5 3答案 (1) (2) 812解析 (1)sin 230cos 260tan 245( )2( )21 2 .12 12 12(2)原式181 8.|33 933|点评 记忆特殊角的三角函数值要准确，注意零指数幂、负整数指数幂的性质和绝对值的化简方法，化简后根据运算顺序进行计算即可类型之三 三角函
3、数的应用例 3 如图 1T3 所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图) ，在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架 AB 和 CD(均与水平面垂直) ，再将集热板安装在 AD上为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平线的夹角为 1，且在水平线上的射影AF 为 1.4 m现已测量出屋顶斜面与水平面的夹角为 2，并已知tan 11.082， tan 20.412. 如果安装工人已确定支架 AB 的高为 25 cm，求支架 CD 的高(结果精确到 1 cm)图 1T3解析 过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E，则所求 CD 转化为 CEDE，而 CEAB25 cm，只要求出 DE，而
4、 DE DFEF ，分别在 RtDAF 与 RtEAF 中表示出 DF 与 EF.解：如图 1T4 所示，过点 A 作 AEBC 交 CD 于点 E，则EAFCBG 2，且 ECAB 25 cm.图 1T4在 Rt DAF 中， DAF 1，DFAFtan 1，在 Rt EAF 中，EAF 2，EFAFtan 2，DEDF EFAF(tan 1tan 2)又AF140 cm，tan 11.082，tan 20.412，DE140(1.0820.412) 93.8(cm)，CDDEEC93.825118.8 119(cm)答：支架 CD 的高约为 119 cm.点评 本题着重考查解直角三角形的应
5、用，难点在于作出辅助线，将问题转化到直角三角形中来求线段的和差类型之四 数形结合思想例 4 如图 1T5，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡 AE 的长度，她先在山脚下点 E 处测得山顶 A 的仰角是 30，然后她沿着坡度是 i11(即 tanCED 11)的斜坡步行 15 分钟到达 C 处，此时，测得 A 点的俯角是 15.已知小丽的步行速度是 18 米/分，图中点 A，B， E，D，C 在同一平面内，且点D，E ， B 在同一水平直线上求出娱乐场地所在山坡 AE 的长度( 参考数据： 1.41，2结果精确到 0.1 米)图 1T5解析 根据“路程速度 时
6、间”得出 CE 的长，通过坡度得到ECA30，作辅助线 EF AC，通过平角定义得到AEF45，进而可求出 AE 的长解：过点 E 作 EFAC 交 AC 于点 F.在 Rt CDE 中， D90，itan CED 1 1，CED45.CDDECKDB ，KCECED45，ECFKCEKCF 30.EFAC ， EFCEFA90.在 Rt CFE 中，sinECF .EFCE 12又CE1815270(米)， EF135 米CEF90ECF 60，AEB30，AEF180AEBCEFCED45，在 RtAEF 中，EFAEcosAEF AE，22AE EF135 190.4( 米)2 2答：娱
7、乐场地所在山坡 AE 的长度约为 190.4 米类型之五 方程思想例 5 如图 1T6 所示，一艘轮船以 30 海里/时的速度向正北方向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏西 30方向，轮船航行 2 小时后到达 B 处，在 B 处时测得灯塔 C 在北偏西45方向当轮船到达灯塔 C 的正东方向的 D 处时，求此时轮船与灯塔 C 的距离(结果精确到 0.1 海里，参考数据： 1.41， 1.73) 2 3图 1T6解析 本题中 CD 是 RtCDB 和 RtADC 的公共直角边，那么可用 CD 来表示出 AD和 BD，再根据 AB 的长来求出 CD.来源:gkstk.Com解：设 CDx 海里，在
8、 RtBCD 中，CBD45，BD CD x 海里又AB30260(海里)，AD(60 x) 海里在 Rt ACD 中，tan30 ，来源:学优高考网来源:学优高考网 gkstkx60 x即 ，解得 x30 30，CD30(1.73 1)81.9(海里) x60 x 33 3答：此时轮船与灯塔 C 的距离约为 81.9 海里太阳光测距例析太阳光是平行光，在同一均匀介质中沿直线传播，太阳光照射不透明的物体时，会产生影子，且同一时刻影长与物高成正比，这一特点可用于测距离例 1 小明的身高是 1.6 m，他的影长是 2 m，同一时刻古塔的影长是 18 m，则古塔的高是_ m.答案 14.4解析 设古
9、塔的高为 x m，同一时刻影长与物高成正比，则 x181.62，解得x14.4，即古塔的高是 14.4 m.例 2 小明想测量电线杆 AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，如图 1T 7 所示，量得 CD4 m，BC10 m，CD 与地面成 30角，且此时测得 1 m 长的竹竿的影长为 2 m，则电线杆的高度约为_ m(结果精确到 0.1 m， 1.41， 1.73)2 3图 1T7答案 8.7解析 延长 AD 交 BC 的延长线于点 F，作 DEBF 于点 E，如图 1T5.在 RtCDE中，DCE30，CD4 m ，所以 DE2 m ，CE 2 m.3根
10、据同一时刻物高与影长成正比，得DEEF12，EF4 m.由 DEAB，得 ABDEBFEF ，即 AB2(1042 )4，3所以 AB7 71.738.7(m) 3例 3 在生活中需要测量一些球( 如足球、篮球等)的直径，某校研究性学习小组通过试验发现下面的测量方法，如图 1T8，将球放在水平桌面上，在阳光的照射下，得到球的影子 AB，设光线 DA，CB 分别与球相切于点 E，F，则 EF 即为球的直径若测得 AB 的长为 41.5 cm， ABC37，请你计算出球的直径(结果精确到 1 cm)图 1T8解：如图 1T6，过点 A 作 AGCB 于点 G.因为 DA，CB 分别与球相切于点 E
11、，F，EF 为球的直径，所以 EFFG，EFEA，则四边形 AGFE 是矩形，AG EF.在 Rt ABG 中，sinB ，AGAB所以球的直径EFAGABsinB41.5sin37 25(cm)例 4 如图 1T9 所示，张琪家居住的甲楼 AB 面向正南，现计划在他家居住的楼前修建一座乙楼 CD，楼高约为 18 m，两楼之间的距离为 20 m已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为 31.来源:学优高考网 gkstk(1)试求乙楼的影子落在甲楼 AB 上的高 BE 的长(结果精确到 0.01 m)；(2)若让乙楼的影子刚好不影响甲楼，则两楼之间的距离至少应是多少( 结果精确到 0.01 m)?图 1T9解：(1)如图 1T9，过点 E 作 EGBD 交 CD 于点 G.在 RtCGE 中，tanCEG，CGGE于是 CGGEtanCEG20tan3112.017(m)所以乙楼的影子落在甲楼上的高BEDGCDCG1812.0175.98(m) (2)如图 1T7，延长 CE 交 DB 的延长线于点 F，要使乙楼的影子不影响甲楼，两楼之间的距离至少为 DF 的长度在 Rt CFD 中，因为 tanCFD ，CDDF所以 DF 29.96(m)CDtanCFD 18tan31即两楼之间的距离至少应是 29.96 m.
