1、专题跟踪突破一 最值问题(2)一、填空题1在半O 中，点 C 是半圆弧 AB 的中点，D 是弧 BC 上距离点 B 较近的一个三等分点，点 P 是直径 AB 上的动点 ，若 AB10，则 PCPD 的最小值是_5 _.3,第 1 题图) ,第 2 题图)2(2015株洲)如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是O 上一动点，且ACB30，点 E，F 分别是 AC，BC 的中点，直线 EF 与O 交于 G，H 两点，若O 的半径为 7，则GEFH 的最大值为_ _2123(2015莆田)如图，在反比例函数 y 上有两点 A(3，2) ，B(6，1)，在直线 yx6x上有一动点 P， 当 P 点的坐
2、标为 _( ， )_时，PAPB 有最小值43 43点拨：设 A 点关于直线 y x 的对称点为 A，连接 AB，交直线 yx 为 P 点，此时 PAPB 有最小值，A 点关于直线 yx 的对称点为 A，A(3，2) ，A(2，3)，设直线 AB 的直线解析式为 ykxb， 解得 k ，b2，直线 AB 3 2k b，1 6k b， ) 12的直线解析式为 y x2，联立 解得 x ，y ，即 P 点坐标( ， )，12 y 12x 2，y x， ) 43 43 43 43故答案为( ， )43 43二、解答题4已知点 M(3，2)，N(1 ，1) ，点 P 在 y 轴上，求使得PMN 的周长
3、最小的点 P 的坐标解：作出 M 关于 y 轴的对称点 M，连接 NM，与 y 轴相交于点 P，则 P 点即为所求，设过 NM两点的直线解析式为 ykxb(k0) ，则 解得 k ，b ，2 3k b， 1 k b， ) 34 14故此一次函数的解析式为 y x ，因为 b ，所以 P 点坐标为(0， )34 14 14 145(2015宁德)如图，AB 是O 的直径，AB 8，点 M 在O 上，MAB20，N 是弧 MB 的中点 ，P 是直径 AB 上的一动点若 MN1，则PMN 周长的最小值为多少解：作 N 关于 AB 的对称点 N， 连接 MN，NN， ON，OM，ON ，N 关于 AB
4、的对称点 N， MN与 AB 的交点 P即为PMN 周长最小时的点，N 是弧 MB 的中点， ANOB MON20，MON60， MON为等边三角形，MNOM4, PMN 周长的最小值为 4 156(2015永州模拟)如图，已知抛物线 yax 2bxc 经过 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) 三点，其顶点为 D，对称轴与 x 轴交于点 H.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 是该抛物线的对称轴上的一个动点 ，求PBC 周长的最小值解：(1)把 A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) 三点坐标代入 yax 2bxc 中，解得 即抛物线的解析式是 y x22x3 a b c 0，9a
5、 3b c 0，c 3， ) a 1，b 2，c 3， )(2)如图，PBC 的周长PB PC BC，BC 是定值，当 PBPC 最小时，PBC的周长最小A，B 两点关于对称轴对称，连接 AC，交对称轴于点 P，点 P 即为所求，AP BP ，PBC 的最小周长PBPCBCACBC，A(3，0) ，B(1，0)，C(0，3) ，AC3 ，BC ，PBC 的最小周长 3 2 10 2 107小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图 1，若点 A，B 在直线 m 的同侧，在直线 m 上找一点 P，使得 APBP 的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的
6、：(a)作点 B 关于直线 m 的对称点 B，(b)连接AB与直线 m 交于点 P，则点 P 为所求请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图 2，在等边ABC 中 ，AB 2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得 BPPE 的值最小，并求出最小值；(2)如图 3，在矩形 ABCD 中 ，AB 4，BC 6，G 为边 AD 上的中点，若 E，F 为 AB边上的两个动点，点 E 在点 F 的左侧，且 EF1，当四边形 CGEF 的周长最小时，请你在图 3 中确定点 E，F 的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) ，并求出四边形
7、 CGEF 的周长的最小值解：(1)如图 2，作点 E 关于 AD 的对称点 F，交 AC 于点 F，连接 BF，交 AD 于点 P，连接 PE, 点 P 即为所求 . 在等边ABC 中， AB2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，F 是 AC 的中点 ，BFAC 于点 F, BP PE 的最小值BF (2)如图 3，作点 G 关于 AB 的对称点 M，在 CD 上截取 CH1，连22 12 3接 MH， 交 AB 于点 E，在 BE 上截取 EF1，连接 CF，则 E，F 为所求，AB 4，BC 6, G 为边 AD 上的中点，DGGA AM3，AEDH，MAEMDH， ， ，AE1，在
8、 RtGAE，RtCBF，RtCDGAEDH AMDM AE3 39中，分别由勾股定理解得，GE ，CF 2 ，CGAE2 AG2 12 32 10 BF2 BC2 22 62 10 DG2 DC25, 四边形 GEFC 的周长的最小值GEEFFCCG 12 5 6310 10108(2015大庆)如图，抛物线 yx 24x5 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点C.已知 M(0，1)，E(a，0)，F(a 1，0) ，点 P 是第一象限内的抛物线上的动点PCM 是以 CM 为底的等腰三角形(1)求点 P 的坐标；(2)当 a 为多少时，四边形 PMEF 周长最小. 解：(1)yx
9、24x5 与 y 轴交于点 C，点 C 的坐标为(0，5)又M(0 ，1)，PCM 是以点 P 为顶点的等腰三角形，点 P 的纵坐标为 3，令 yx 24x53，解得x2 ，点 P 在第一象限，P(2 ，3) 6 6(2)四边形 PMEF 的四条边中，PM ，EF 长度固定，因此只要 MEPF 最小，则 PMEF的周长将取得最小值， 将点 M 向右平移 1 个单位长度 (EF 的长度)，得 M1(1，1) ，作点M1 关于 x 轴的对称点 M2，则 M2(1，1)，连接 PM2，与 x 轴交于 F 点，此时MEPFPM 2 最小，设直线 PM2 的解析式为 ymxn，将 P(2 ，3)，M 2(1，1)代6入得： ，解得： ，y x ，当 y0 时，（2 6）m n 3m n 1 ) m 46 45n 46 15 ) 46 45 46 15解得 x .F( ，0) ，F(a1，0)，a ，a 时，四边形 PMEF6 54 6 54 6 14 6 14周长最小
