1、第七章 图形的变化第 31 课时 相似与位似江苏 20132015 中考真题精选命题点 1 平行线分线段成比例（近 3 年 39 套卷，2015 年考查 3 次）1. （2015 淮安 8 题 3 分）如图，l 1l2l3，直线 a、b 与 l1、l 2、l 3 分别相交于点 A、B、C 和点 D、E、F .若 则 EF 的长是 ( ),4,2DEBCAA. B. C. 6 D. 10330来源:gkstk.Com第 1 题图 第 2 题图2. （2015 连云港 16 题 3 分）如图，在ABC 中， BAC=60,ABC=90,直线 l1l2l3,l1 与 l2之间距离是 1,l2 与 l
2、3 之间距离是 2.且 l1,l2,l3 分别经过点 A,B,C,则边 AC 的长为_.命题点 2 相似三角形的判定与性质（近 3 年 39 套卷，2015 年考查 6 次，2014 年考查3次，2013 年考查 1 次）1. （2014 南京 3 题 3 分）若 ABCABC,相似比为 1：2，则ABC 与ABC的面积的比为 （ ）A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:12. （2015 南京 3 题 3 分）如图，在 ABC 中，DEBC， ，则下列结论中正确的是 21DB（ ）A. B. 21ACE21BCDE3. （2015 泰州 14 题 3 分）如图， ABC 中，D
3、 为 BC 上一点，BAD= C，AB6，BD =4,则 CD 的长为_.第 3 题图 第 4 题图4. （2015 南通 17 题 3 分）如图，矩形 ABCD 中，F 是 DC 上一点，BFAC,垂足为 E，CEF 的面积为 S1，AEB 的面积为 S2，则 的值等于_.21ABD15. （2015 南京 20 题 8 分）如图，ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 .BDCA（1）求证ACDCBD;来源:学优高考网 gkstk（2）求ACB 的大小.第 5 题图6. （2015 连云港 25 题 10 分）如图，在 ABC 中，ABC=90，BC=3，D 为 AC 延长线上一点，AC
4、=3CD，过点 D 作 DHAB， 交 BC 的延长线于点 H.（1）求 BDcosHBD 的值；（2）若CBD =A， 求 AB 的长.来源:gkstk.Com第 6 题图7. （2015 镇江 26 题 7 分）某兴趣小组开展课外活动.如图，A、B 两地相距 12 米，小明从点 A 出发沿 AB 方向匀速前进，2 秒后到达点 D， 此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD， 继续按原速行走 2 秒到达点 F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为 1.2 米，然后他将速度提高到原来的 1.5 倍，再行走 2 秒到达点 H,此时他（GH ）在同一灯光下的影长为 BH（点 C、E
5、、G 在一条直线上）.（1）请在图中画出光源 O 点的位置，并画出他位于点 F 时在这个灯光下的影长 FM（不写画法） ；（2）求小明原来的速度.第 7 题图8. （2013 徐州 26 题 8 分）如图，在 RtABC 中，C90，翻折C，使点 C 落在斜边AB 上的某一点 D 处，折痕为 EF（点 E、F 分别在边 AC、BC 上）.（1）若CEF 与ABC 相似.当 ACBC 2 时，AD 的长为_；当 AC3，BC4 时，AD 的长为_；（2）当点 D 是 AB 的中点时， CEF 与ABC 相似吗？请说明理由 .第 8 题图命题点 3 位似图形（近 3 年 39 套卷，2015 年考
6、查 1 次， 2013 年考查 1 次）1. （2015 镇江 17 题 3 分）如图，坐标原点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，顶点 A 的坐标为（1，t） ，AB x 轴，矩形 ABCD与矩形 ABCD 是位似图形，点 O 为位似中心，点 A、B分别是点 A、B 的对应点， .已知关于 x， y 的二元一次方程组k（m ， n 是实数）无解 .在以 m， n 为坐标（记为（m ， n） ）的所有的点中，4312yxn若有且只有一个点落在矩形 ABCD的边上，则 kt 的值等于 （ ）A. B. 1 C. D. 来源:gkstk.Com43 3423第 1 题图 第 2 题图2. （201
7、3 泰州 15 题 3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 的坐标分别为（3，0） ，（2，-3）,AB O是ABO 关于点 A 的位似图形，且 O的坐标为（ -1，0） ，则点 B的坐标为_.【答案】命题点 1 平行线分线段成比例1. C【解析】本题主要考查平行线截线段对应成比例的定理即三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.由 得 .,32BCAEFD6243DFE2. 【解析】过点 B 作 EFl 2，交 l1 于 E，交 l3 于 F，如解图.BAC=60,213ABC=90,tanBAC= .直线Al1l 2l 3，EFl 1，EF l 3，AEB= BFC=90.
8、ABC=90,EAB=90-ABE=FBC ,BFC AEB, ，BE=1,FC =3.在 RtBFC 中，3ABCEF在 RtABC 中，sinBAC =,73222FCB.1,3A命题点 2 相似三角形的判定与性质1. C【解析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，故 SABC S ABC （1:2）2=1:4.2. C【解析】因为 DEBC，所以ADEABC，则 ADE 与,31ABDCEABC 的周长比为 ，ADE 与ABC 的面积比为 .3191323. 5【解析】因为BAD=C，B=B，所以BADBCA，则 BA2=BDBC，即36=4(4CD)，解得 CD=5.4. 【解析】
9、BFAC ，CFBFCE=90，CFBCBF=90，16FCE= CBF.ABCD，ACD=CAB ，CAB=CBF.BCF= ABC，FCBCBA，CF:CB =CB:AB=1:2，FC:AB=1:4，FCAB，FCEBAE， .16221ABFCS5. （1） 【思路分析】要证ACDCBD，又知 ，只需找到三角形中两边的夹BDCA角，又 CD 为 AB 上的高，则ADC=CDB=90即可得证.证明：CD 是边 AB 上的高，ADC=CDB=90 .（2 分）又 BDCAACDCBD.（4 分）（2） 【思路分析】因为ACB= ACD+BCD，由ACDCBD 可得：ACD=ABC，又因为 A
10、 +ACD=90，因此ACB=90.解：ACDCBD，A=BCD.（5 分）在 Rt ACD 中， ADC90 ,A+ACD=90 ,（7 分）BCD+ACD=90 ,即ACB=90 .（8 分）6. （1） 【思路分析 】由平行得 BHD=ABC =90，进而得ABC DHC ，根据相似三角形的性质得到成比例线段，结合直角三角形的边角关系和已知线段的数量关系求解.解：DHAB,BHD =ABC=90，ABCDHC, ，BDCAAC=3CD ， BC=3,CH=1，BH =BC+CH=4.在 Rt BHD 中，cosHBD = ，HCBBDcos HBD= BH=4；（4 分）（2） 【思路分
11、析】利用三角形中两角对应相等，两三角形相似得到ABCBHD，得到成比例线段，又结合（1）中相似三角形，得到 AB=3DH， 从而可得 DH 的长，即得 AB 的长.解：A= CBD ， ABC=BHD.ABCBHD. （6 分） BHDCABCDHC， ，AB=3DH，13A （10 分）.6,2,4AB【一题多解】CBD=A ， BDC=ADB ，CDBBDA， ,2ADCBADCBD 2=CD4CD=4CD2,BD=2CD .（6 分）CDBBDA， ,32,ABCDBAB=6.（10 分）【备考指导】掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，可以列出等量关
12、系式，再结合题目中的已知条件等量代换求解.7. (1)【思路分析】延长 AC，BG 交于一点 O 即得光源，连接 OE 并延长交 AB 于点 M 则FM 为影长.解：如解图，点 O 为光源;（1 分）FM 为影长.（2 分）（2） 【思路分析】两个“A”字的三角形相似，通过中间比 ，得出 ，代OMEBEGAC入数值即可求解.解：点 C、E、G 在一条直线上，CGAB ，OCEOAM,OEG OMB, ,OMBA则 （4 分） 第 7 题图.设小明原来的速度为 v m/s，（5 分）,2.1432.14v解得：v=1.5.经检验 v=1.5 是方程的根.答：小明原来的速度为 1.5 m/s.（7
13、 分）8. （1） 【思路分析】若CEF 与ABC 相似.当 AC=BC=2 时，ABC 为等腰直角三角形，此时 为 AB 中点；当 AC=3，BC =4 时，分两种情况： a. 若 CE:CF=3:4，如解图所示，此时 EFAB ，CD 为 AB 边上的高；b. 若 CF:CE=3:4，如解图所示.由相似三角形角之间的关系，可以推出A=ECD 与B=FCD，从而得到 CD=AD=BD，即点 D 为AB 的中点.解：2；1.8 或 2.5.（4 分）【解法提示】若CEF 与ABC 相似.当 ACBC2 时，ABC 为等腰直角三角形，如解图 所示.此时 D 为 AB 边中点， AD AC . 第
14、 8 题解图2当 AC=3，BC=4 时，有两种情况：a. 若 CE:CF=3:4，如解图所示.CE:CF=AC：BC ，EF AB.由折叠性质可知，CDEF，CDAB，即此时 CD 为 AB 边上的高.在 Rt ABC 中，AC3，BC4，AB=5，cosA= .5BCAD=ACcosA=3 =1.8； 第 8 题解图3b. 若 CF:CE=3:4，如解图所示.CEFCBA，CEF=B.由折叠性质可知，CEF+ ECD=90，又A+ B=90，A=ECD，AD=CD . 第 8 题解图同理可得：B=FCD，CD=BD ，此时 AD= AB= 5=2.5.21综上所述，当 AC3，BC4 时，
15、AD 的长为 1.8 或 2.5.（2） 【思路分析】当点 D 是 AB 的中点时，可以推出CFE=A，C=C ，从而可以证明两个三角形相似.解：当点 D 是 AB 的中点时， CEF 与CBA 相似.（5 分）理由如下：如解图所示，连接 CD，与 EF 交于点 Q.CD 是 RtABC 的中线，CDDB= AB，21DCB=B.（6 分） 第 8 题解图由折叠性质可知，CQF=DQF =90，DCB+CFE=90.B+A=90，CFE= A.又ACB= FCE，CEFCBA.（8 分） 来源:学优高考网 gkstk命题点 3 位似图形1. D【解析】由于二元一次方程组无解，所以 mn=3，且
16、 2n+14，解得 m2，n ,由于3mn=3，则点（m，n） （其中 m2，n ）在反比例函数 y= 上，由于矩形及反比例函数3x3都是中心对称图形，反比例函数与矩形的交点是成双出现的，只有当点 A的坐标为(2，)时，此时反比例函数与矩形 ABCD 有且只有一个交点为 C点，直线 OA23的解析式为：y= x，当 x=1 时，t= ，AB=4，AB=2，k=2，于是 kt= .434323第 1 题解图 第 2 题解图2. ( ，-4)【解析】如解图，过点 B 作 BEx 轴于点 E，过点 B作 BFx 轴于点35F，点 A、B 的坐标分别为（3，0） 、 （2，-3） ，AB O是ABO 关于点 A 的位似图形，且 O的坐标为（-1，0） ， ，AE1， EO2，BE3，43AO， ，解得：AF ，EF ，FO 4E431F .51，解得：BF4，则点 B的坐标为：（ ，-4）.3 35
