1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十四)函数的最大(小)值与导数(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.函数 f(x)= x3-4x+4 在区间-3,4上的最小值为( )A.- B.-12 C.-1 D.-9【解题指南】先对函数 f(x)求导,然后令导函数等于 0 求出 x 的值,然后判断端点值和极值的大小进而得到最小值.【解析】选 C.因为 f(x)=x 2-4,所以由 f(x)=0,得 x=2.因为 f(-3)=7,f(-2)= ,f(2)=- ,
2、f(4)= ,所以 f(x)min=f(2)=- ,故选 C.2.(2014石河子高二检测)设 M,m 分别是函数 f(x)在a,b上的最大值和最小值,若 M=m,则 f(x)( )A.等于 0 B.小于 0 C.等于 1 D.不确定【解析】选 A.因为 M=m,所以 f(x)为常数函数,故 f(x)=0,故选 A.3.(2014信阳高二检测)已知 a,b 为正实数,函数 f(x)=ax3+bx+2x在0,1上的最大值为 4,则 f(x)在-1,0上的最小值为( )A.- B. C.-2 D.2【解题指南】先求导函数 f(x),再分别判断函数 f(x)在区间0,1和-1,0上的单调性,从而求出
3、最大值(含 a,b 的式子),求出最小值(含 a,b 的式子),最后将 a+b 整体代入即得结果.【解析】选 A.因为 a,b 为正实数,函数 f(x)=ax3+bx+2x,所以导函数 f(x)=3ax2+b+2xln2,因为 a,b 为正实数,所以当 0x1 时,3ax 20,2 xln20,所以 f(x)0,即f(x)在0,1上是增函数,所以 f(1)最大且为 a+b+2=4a+b=2 又当-1x0 时,3ax 20,2 xln20,所以 f(x)0,即 f(x)在-1,0上是增函数,所以 f(-1)最小且为-(a+b)+ 将代入得 f(-1)=-2+ =- ,故选 A.4.函数 f(x)
4、=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围是( )A.0a0,此时函数y=x+2sinx 单调递增;当 x 时,y1 两种情况利用导数求出 f(x)的最大值即可.【解析】选 A.f(x)=x2-2x+loga ,因为 a0,且 0,所以定义域为x|x1,f(x)=2x-2- .当 00,函数 f(x)在 上是增函数,要满足题意,须 f 0,即: -3+loga(2a)0,即:log a2- ,解得:a .又 01 时,由 f(x)=0 得:x=1+ ,当 x1+ 时,f(x)0,由此得函数 f(x)在 x1+ 时是增函数,而 f = -3+loga(2a)=loga2+ 0
5、,所以 a1 时,不能保证在 内 f(x)恒小于 0,故 a1 不合题意,舍去.综上,所求实数 a 的取值范围为 a0,函数为增函数;x=-1 时,f(x)=0,所以 f(x)极大值为 f(-1)=2+m.-10)在1,+)上的最大值为 ,则 a 的值为 .【解析】f(x)= = ,令 f(x)=0,解得 x= 或 x=- (舍去),当 x 时,f(x)0;当 a1 时,f(x) max=f( )= = , = 0,故 f(x)在(-,-2)上为增函数;当 x(-2,2)时,f(x)0,故 f(x)在(2,+)上为增函数.由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f
6、(x)在 x2=2 处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知 16+c=28,得 c=12,此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,因此 f(x)在-3,3上的最小值为 f(2)=-4.【变式训练】已知函数 f(x)=mx3+nx,y=f(x)的图象以点 P 为切点的切线的倾斜角为 .(1)求 m,n 的值.(2)求函数 y=f(x)在-2,1上的最大值和最小值.【解题指南】(1)求导函数,利用 y=f(x)的图象以点 P 为切点的切线的倾斜角为 ,建立方程组,即可求得 m,n 的值.(2)求导函数,确定极值点,求出端点函数值与函数的极值,即可求得
7、函数 y=f(x)在-2,1上的最大值和最小值.【解析】(1)求导函数,可得 f(x)=3mx 2+n,由题意有解得 m= ,n=-1.(2)由(1)知 f(x)= x3-x,所以 f(x)=2x 2-1,令 f(x)=2x 2-1=0,可得 x= .列表由上表可知 f(x)的最大值为 ,最小值为- .11.已知 f(x)= -(a+1)x2+4x+1 .(1)当 a=-1 时,求函数的单调区间.(2)当 aR 时,讨论函数的单调增区间.(3)是否存在负实数 a,使 x 时,函数有最小值-3?【解析】(1)f(x)单调递减区间为 和 ,f(x)单调递增区间为 .(2)当 a=0 时,f(x)的
8、单调递增区间为 ;当 a1 时,f(x)的单调递增区间为 和(2,+).(3)因 a-2;当 -1 即 a-2,不合要求.综上,a=- 为所求.(30 分钟 50 分)一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.(2014聊城高二检测)已知 a0,设函数 f(x)= +sinx(x-a,a的最大值为 M,最小值为 N),那么 M+N=( )来源:学优高考网 gkstkA.0 B.2014 C.4028 D.4029【解析】选 C.因为 f(x)= +sinx,设 g(x)= ,则 g(x)= =2015- ,因为 2015x是 R 上的增函数,所以 g(x)是 R 上的增函数.函数 g(x)
9、在-a,a上的最小值是 g(-a),最大值是 g(a).函数 sinx 是奇函数,它在-a,a上的最大值与最小值互为相反数,最大值与最小值的和为 0,所以函数 f(x)的最大值 M 与最小值 N 之和 M+N=g(a)+g(-a)=+(2015- )=4030-=4030-=4030-2=4028,故选 C.2.已知 f(x)=x3-ax 在1,+)上是单调增函数,则 a 的最大值是( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 D.f(x)=3x 2-a0 在1,+)上恒成立,即:a3x 2在1,+)上恒成立,而(3x 2)min=312=3.所以 a3,故 amax=3.故选 D.3.已知函数 f(x)= x3-x2-3x+ ,直线 l1:9x+2y+c=0,若当 x-2,2时,函数y=f(x)的图象恒在直线 l 的下方,则 c 的取值范围是( )A.(0,+) B.(-,-6)C.(-6,+) D.(-,0)【解题指南】先根据题意得到不等式 x3-x2-3x+ - x- ,然后转化为 c-x3+2x2-3x- 成立,即求在闭区间上的最小值问题;先对函数 g(x)=- x3+2x2-3x- 求导判断单调性,即可求出最小值,进而得到答案.【解析】选 B.因为当 x-2,2时,f(x)= x3-x2-3x+ 恒在直线 9x+2y+c=0 的下方,
