1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十九)导数的几何意义(25 分钟 40 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.(2014衡水高二检测)若曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x0)处的切线方程为2x+y+1=0,则( )A.f(x 0)0 B.f(x 0)=0C.f(x 0)0 D.f(x 0)不存在【解题指南】曲线在点 x=x0处的导数,即为切线的斜率.【解析】选 C.切线的方程为 2x+y+1=0,即 y=-2x-1,斜率为-2,故曲线在 x=x0处的导数为-2,即
2、f(x 0)=-20.2.设曲线 y=x2在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为( )A.(3,9) B.(-3,9)C. D.【解题指南】设出点 P 的坐标,求出导函数,利用曲线在切点处的导数值是切线的斜率列出方程求出点 P.【解析】选 C.设 P(x,y),根据定义,可求得其导数 y=2x,令 2x=3,得 x= ,所以P ,故选 C.3.(2014银川高二检测)若曲线 f(x)=x2的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( )A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0【解析】选 A.根据定义可求导数 f(x)=
3、2x,则 2x=4,x=2;切点(2,4),切线斜率k=4,所以 l 的方程为 4x-y-4=0,故选 A.【误区警示】此题易把切线的斜率和垂线的斜率混淆而造成错误.来源:gkstk.Com二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)4.(2014无锡高二检测)已知曲线 y= -1 上两点 A ,B,当 x=1 时,割线 AB 的斜率为 .【解题指南】本题考查直线斜率的求法,根据割线的斜率 k= 求解.【解析】y= -= - = = .来源:学优高考网所以 = =- ,即 k= =- .所以当 x=1 时,k=- =- .来源:学优高考网 gkstk答案:-【变式训练】抛物线 y=f(x)=2x2
4、-x 在(1,1)点处的切线斜率为 .【解析】因为 =3+2x,令 x 趋于 0,则 3+2x 趋于 3.所以切线的斜率 k=3.答案:35.已知曲线 y=f(x)=2x2+1 在点 M 处的瞬时变化率为-4,则点 M 的坐标为 .【解析】当 x0 时,=2x+4x 04x 0,由 4x0=-4,得 x0=-1,所以点 M 的坐标是(-1,3).答案:(-1,3)三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)6.(2014安顺高二检测)已知抛物线 y=f(x)=x2+3 与直线 y=2x+2 相交,求它们交点处的切线方程.【解析】由方程组 得 x2-2x+1=0,解得 x=1,y=4,所以交点坐
5、标为(1,4),又 =x+2.当 x 趋于 0 时 x+2 趋于 2.所以在点(1,4)处的切线斜率 k=2.所以切线方程为 y-4=2(x-1),即 y=2x+2.【变式训练】已知曲线 y=f(x)=x+ 上一点 A ,用斜率定义求:(1)点 A 处切线的斜率.(2)点 A 处的切线方程.【解题指南】求曲线在 A 处切线的斜率 kA,即求 .【解析】(1)y=f(2+x)-f(2)=2+x+ - = +x,来源:gkstk.Com= = .(2)切线方程为 y- = (x-2),即 3x-4y+4=0.7.(2014嘉峪关高二检测)求抛物线 y=x2上的一点到直线 x-y-2=0 的最短距离
6、.【解析】根据题意可得,与直线 x-y-2=0 平行的抛物线 y=x2的切线对应的切点到直线 x-y-2=0 的距离最短,设切点坐标为(x 0, ).根据定义可求导数 y =2x =2x0=1,所以 x0= ,所以切点坐标为 .切点到直线 x-y-2=0 的距离 d= = .所以抛物线上的点到直线 x-y-2=0 的最短距离为 .(20 分钟 30 分)一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)1.(2014天津高二检测)设 f(x)为可导函数,且满足 =-1,则过曲线 y=f(x)上点(1,f(1)处的切线斜率为( )A.2 B.-1 C.1 D. -2【解析】选 D. = = f =-1f=
7、-2.2.设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围为,则点 P 横坐标的取值范围为( )A. B.-1,0C.0,1 D.【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线 C 在点 P 处斜率的取值范围,进而得到点 P 横坐标的取值范围.【解析】选 D.设点 P 的横坐标为 x0,因为 y=x2+2x+3,由定义可求其导数 y =2x0+2,利用导数的几何意义得 2x0+2=tan( 为点 P 处切线的倾斜角),又因为 ,所以 12x 0+2,所以 x0 .故选 D.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.曲线 f(x)=x3+x-2 在
8、P 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P 点的坐标为 .【解析】因为 f(x)=x3+x-2,设 xP=x0,所以 y=3 x+3x 0(x) 2+(x) 3+x,所以 =3 +1+3x0(x)+(x) 2,所以 f(x 0)=3 +1,又 k=4,所以 3 +1=4, =1.所以 x0=1,故 P(1,0)或(-1,-4).答案:(1,0)或(-1,-4)【变式训练】已知 f(x)=x3,则曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线斜率为 .【解析】设 P(2,8),Q(2+x,(2+x) 3),则割线 PQ 的斜率为 kPQ=12+6x+(x) 2,当 x0 时,k PQ12,来源:gk
9、stk.Com所以曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线斜率为 12.答案:124.(2014日照高二检测)若抛物线 y=x2-x+c 上一点 P 的横坐标是-2,抛物线过点 P 的切线恰好过坐标原点,则 c 的值为 .【解析】根据题意可知过点 P 处切线的斜率为 f =-5,又直线 OP 的斜率为- ,据题意有- =-5c=4.答案:4三、解答题(12 分)5.已知直线 x+2y-4=0 与抛物线 y2=2x 相交于 A,B 两点,O 是坐标原点,试在抛物线的曲线 AOB 上求一点 P,使ABP 的面积最大.【解题指南】求出与直线 x+2y-4=0 平行的切线,对应切点即为所求点 P.【解析
10、】由 y2=2x 及直线 x+2y-4=0 的位置关系可知,点 P 应位于直线 x+2y-4=0的下方.故令 y=- ,所以 y= =- ,设切点为(x 0,y0),过切点(x 0,y0)的切线与直线 x+2y-4=0 平行,所以 y =- =- .所以 x0=2,所以切点坐标为(2,-2),此时该点为抛物线上与线段 AB 的距离最大的点,故点 P(2,-2)即为所求.所以在抛物线的曲线 AOB 上存在点 P(2,-2),使ABP 的面积最大.【拓展延伸】利用切线巧解面积的最值问题此类题目若将面积表示出后,求面积的最大值,则运算化简过程比较繁杂.由于ABP 的底边 AB 长度不变,故点 P 到 AB 距离的最大值可利用抛物线的切线与直线 AB 的距离来确定.利用切点的惟一性,再利用导数知识解题,解题过程非常简便.【变式训练】已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点(1,1),且在(2,-1)处的切线的斜率为1,求抛物线解析式.【解析】因为 y=ax2+bx+c 分别过(1,1)点和(2,-1)点,所以 a+b+c=1 ,4a+2b+c=-1 ,又 f = =2ax+b,故由导数的几何意义得:y| x=2=4a+b=1 ,由可得,a=3,b=-11,c=9.故抛物线解析式为 y=3x2-11x+9.关闭 Word 文档返回原板块
