1、图形的变化锐角三角函数 1一选择题（共 9 小题）1如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点且 AE：EB=4：1，EFAC 于F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（ ）A B C D2如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则AOB 的正弦值是（ ）A B C D3如图，已知 RtABC 中，C=90，AC=4，tanA=，则 BC 的长是（ ）A2 B8 C2 D44如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA=（ ）A B C D5在 RtABC 中，C=90，sinA= ，则 ta
2、nB 的值为（ ）A B C D6计算 sin245+cos30tan60，其结果是（ ）A2 B1 C D7在ABC 中，若|cosA|+（1tanB） 2=0，则C 的度数是（ ）A45 B60 C75 D1058如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形” 下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A1，2，3 B1，1， C1，1， D1，2，9 在直角三角形 ABC 中，已知C=90，A=40，BC=3，则 AC=（ ）A3sin40 B3sin50 C3tan40 D3tan50二填空题（共 8 小题）10在 RtABC 中，ACB=
3、90，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=4，AC=6，则 sinB 的值是 _ 11如图，在ABC 中，C=90，AC=2，BC=1，则 tanA 的值是 _ 12如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点ABC 的顶点都在方格的格点上，则 cosA= _ 13如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8若BPC=BAC，则 tanBPC= _ 14网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sinA= _ 15cos60= _ 16ABC 中，A、B 都是锐角，若 sinA= ，cosB=，则C= _ 17在ABC
4、中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB） 2=0，那么C= _ 三解答题（共 7 小题）18甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发，甲轮船以每小时 30 海里的速度沿着北偏东 60的方向航行，乙轮船以每小时 15 海里的速度沿着正东方向行进，1 小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛 C 处与乙船相遇假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口 A 与小岛 C 之间的距离；（2）甲轮船后来的速度19如图，ABC 中，ADBC，垂足是 D，若 BC=14，AD=12，tanBAD=，求 sinC 的值20如图，在ABC 中，ABC=90，A=
5、30，D 是边 AB 上一点，BDC=45，AD=4，求BC 的长 （结果保留根号）21如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D若 AB=12，CD=6，tanA=，求 sinB+cosB 的值22在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，C=45，sinB=，AD=1求 BC 的长23如图，在ABC 中，BDAC，AB=6，AC=5 ，A=30求 BD 和 AD 的长；求 tanC 的值24如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO=5118，求梯子
6、的长（参考数据：sin51180.780，cos51180.625，tan51181.248）图形的变化锐角三角函数 1参考答案与试题解析一选择题（共 9 小题）1如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，E 为 AB 上一点且 AE：EB=4：1，EFAC 于F，连接 FB，则 tanCFB 的值等于（ ）A B C D考点： 锐角三角函数的定义分析： tanCFB 的值就是直角BCF 中，BC 与 CF 的比值，设 BC=x，则 BC 与 CF 就可以用 x 表示出来就可以求解解答： 解：根据题意：在 RtABC 中，C=90，A=30，EFAC，EFBC，AE：EB=4：1， =5，
7、 =，设 AB=2x，则 BC=x，AC= x在 RtCFB 中有 CF= x，BC=x则 tanCFB= = 故选：C点评： 本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边2如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O 都在格点上，则AOB 的正弦值是（ ）A B C D考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理专题： 网格型分析： 作 ACOB 于点 C，利用勾股定理求得 AC 和 AO 的长，根据正弦的定义即可求解解答： 解：作 ACOB 于点 C则 AC= ，AO= = =2 ，则 sinAOB= = = 故选：
8、D点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边3如图，已知 RtABC 中，C=90，AC=4，tanA=，则 BC 的长是（ ）A 2 B8 C2 D 4考点： 锐角三角函数的定义专题： 计算题分析： 根据锐角三角函数定义得出 tanA= ，代入求出即可解答： 解：tanA= ，AC=4，BC=2，故选：A点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中，C=90，sinA= ，cosA= ，tanA= 4如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA=（ ）A
9、B C D考点： 锐角三角函数的定义专题： 网格型分析： 在直角ABC 中利用正切的定义即可求解解答： 解：在直角ABC 中，ABC=90，tanA= =故选：D点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边5在 RtABC 中，C=90，sinA= ，则 tanB 的值为（ ）A B C D考点： 互余两角三角函数的关系专题： 计算题分析： 根据题意作出直角ABC，然后根据 sinA= ，设一条直角边 BC 为 5x，斜边AB 为 13x，根据勾股定理求出另一条直角边 AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出tanB解答
10、： 解：sinA= ，设 BC=5x，AB=13x，则 AC= =12x，故 tanB= = 故选：D点评： 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用6计算 sin245+cos30tan60，其结果是（ ）A 2 B1 C D考点： 特殊角的三角函数值专题： 计算题分析： 根据特殊角的三角函数值计算即可解答： 解：原式=（ ） 2+ =+=2故选：A点评： 此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值7在ABC 中，若|cosA|+（1tanB） 2=0，则C 的度数是（ ）A 45 B60 C75 D 105考点： 特殊角的三角函
11、数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理专题： 计算题分析： 根据非负数的性质可得出 cosA 及 tanB 的值，继而可得出 A 和 B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出C 的度数解答： 解：由题意，得 cosA=，tanB=1，A=60，B=45，C=180AB=1806045=75故选：C点评： 此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理8如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形” 下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是
12、（ ）A 1，2，3 B1，1， C1，1， D 1，2，考点： 解直角三角形专题： 新定义分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角 120，底角 30的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是 90，60，30的直角三角形，依此即可作出判定解答： 解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、1 2+12=（ ） 2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是 =，可知是顶角 120，底角 30的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知
13、是三个角分别是 90，60，30的直角三角形，其中 9030=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定， “智慧三角形”的概念9在直角三角形 ABC 中，已知C=90，A=40，BC=3，则 AC=（ ）A 3sin40 B3sin50 C3tan40 D 3tan50考点： 解直角三角形分析： 利用直角三角形两锐角互余求得B 的度数，然后根据正切函数的定义即可求解解答： 解：B=90A=9040=50，又tanB= ，AC=BCtanB=3tan50故选：D点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的
14、应用，要熟练掌握好边角之间的关系二填空题（共 8 小题）10在 RtABC 中，ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=4，AC=6，则 sinB 的值是 考点： 锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线专题： 计算题分析： 首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出 AB 的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出 sinB 即可解答： 解：RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=4，AB=2CD=8，则 sinB= =故答案为：点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义11如图，在ABC 中，C=
15、90，AC=2，BC=1，则 tanA 的值是 考点： 锐角三角函数的定义分析： 根据锐角三角函数的定义（tanA= ）求出即可解答： 解：tanA= =，故答案为：点评： 本题考查了锐角三角函数定义的应用，注意：在 RtACB 中，C=90，sinA= ，cosA= ，tanA= 12如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点ABC 的顶点都在方格的格点上，则 cosA= 考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理专题： 网格型分析： 根据勾股定理，可得 AC 的长，根据邻边比斜边，可得角的余弦值解答： 解：如图 ，由勾股定理得 AC=2 ，AD=4，c
16、osA= ，故答案为： 点评： 本题考查了锐角三角函数的定义，角的余弦是角邻边比斜边13如图，在ABC 中，AB=AC=5，BC=8若BPC=BAC，则 tanBPC= 考点： 锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理专题： 计算题分析： 先过点 A 作 AEBC 于点 E，求得BAE=BAC，故BPC=BAE再在 RtBAE 中，由勾股定理得 AE 的长，利用锐角三角函数的定义，求得tanBPC=tanBAE= 解答： 解：过点 A 作 AEBC 于点 E，AB=AC=5，BE=BC=8=4，BAE=BAC，BPC=BAC，BPC=BAE在 RtBAE 中，由勾股定理得AE= ，tan
17、BPC=tanBAE= 故答案为：点评： 求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值14网格中的每个小正方形的边长都是 1，ABC 每个顶点都在网格的交点处，则 sinA= 考点： 锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理分析： 根据各边长得知ABC 为等腰三角形，作出 BC、AB 边的高 AD 及 CE，根据面积相等求出 CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案解答： 解：如图，作 ADBC 于 D，CEAB 于 E，由勾股定理得 AB=AC=2 ，BC=2 ，AD=3 ，可以得知ABC 是等腰三角形，
18、由面积相等可得， BCAD=ABCE，即 CE= = ，sinA= = =，故答案为：点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边15cos60= 考点： 特殊角的三角函数值分析： 根据特殊角的三角函数值计算解答： 解：cos60=故答案为：点评： 本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值16ABC 中，A、B 都是锐角，若 sinA= ，cosB=，则C= 60 考点： 特殊角的三角函数值；三角形内角和定理专题： 计算题分析： 先根据特殊角的三角函数值求出A、B 的
19、度数，再根据三角形内角和定理求出C 即可作出判断解答： 解：ABC 中，A、B 都是锐角 sinA= ，cosB=，A=B=60C=180AB=1806060=60故答案为：60点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单17在ABC 中，如果A、B 满足|tanA1|+（cosB） 2=0，那么C= 75 考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方专题： 计算题分析： 先根据ABC 中，tanA=1，cosB=，求出A 及B 的度数，进而可得出结论解答： 解：ABC 中，|tanA1|+（cosB） 2=0tanA=1，cosB=A=45，B
20、=60，C=75故答案为：75点评： 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键三解答题（共 7 小题）18甲、乙两条轮船同时从港口 A 出发，甲轮船以每小时 30 海里的速度沿着北偏东 60的方向航行，乙轮船以每小时 15 海里的速度沿着正东方向行进，1 小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛 C 处与乙船相遇假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口 A 与小岛 C 之间的距离；（2）甲轮船后来的速度考点： 解直角三角形的应用-方向角问题专题： 应用题；压轴题分析： （1）根据题意画出图形，再根据平行线的性
21、质及直角三角形的性质解答即可（2）根据甲乙两轮船从港口 A 至港口 C 所用的时间相同，可以求出甲轮船从 B 到 C 所用的时间，又知 BC 间的距离，继而求出甲轮船后来的速度解答： 解：（1）作 BDAC 于点 D，如图所示：由题意可知：AB=301=30 海里，BAC=30，BCA=45，在 RtABD 中，AB=30 海里，BAC=30，BD=15 海里，AD=ABcos30=15 海里，在 RtBCD 中，BD=15 海里，BCD=45，CD=15 海里，BC=15 海里，AC=AD+CD=15 +15 海里，即 A、C 间的距离为（15 +15）海里（2）AC=15 +15（海里）
22、，轮船乙从 A 到 C 的时间为 = +1，由 B 到 C 的时间为 +11= ，BC=15 海里，轮船甲从 B 到 C 的速度为 =5 （海里/小时） 点评： 本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，解答此题的关键是过 B 作BDAC，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值及直角三角形的性质解答19如图，ABC 中，ADBC，垂足是 D，若 BC=14，AD=12，tanBAD=，求 sinC 的值考点： 解直角三角形专题： 计算题分析： 根据 tanBAD=，求得 BD 的长，在直角ACD 中由勾股定理得 AC，然后利用正弦的定义求解解答： 解：在直角ABD 中，tanBAD= =，
23、BD=ADtanBAD=12=9，CD=BCBD=149=5，AC= = =13，sinC= = 点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系20如图，在ABC 中，ABC=90，A=30，D 是边 AB 上一点，BDC=45，AD=4，求BC 的长 （结果保留根号）考点： 解直角三角形专题： 几何图形问题分析： 由题意得到三角形 BCD 为等腰直角三角形，得到 BD=BC，在直角三角形 ABC中，利用锐角三角函数定义求出 BC 的长即可解答： 解：B=90，BDC=45，BCD 为等腰直角三角形，BD=BC，在 RtABC 中，tanA=tan30= ，即 =
24、，解得：BC=2（ +1） 点评： 此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键21如图，在ABC 中，CDAB，垂足为 D若 AB=12，CD=6，tanA=，求 sinB+cosB 的值考点： 解直角三角形；勾股定理专题： 计算题分析： 先在 RtACD 中，由正切函数的定义得 tanA= =，求出 AD=4，则BD=ABAD=8，再解 RtBCD，由勾股定理得 BC= =10，sinB= =，cosB= =，由此求出 sinB+cosB=解答： 解：在 RtACD 中，ADC=90，tanA= = =，AD=4，BD
25、=ABAD=124=8在 RtBCD 中，BDC=90，BD=8，CD=6，BC= =10，sinB= =，cosB= =，sinB+cosB=+=故答案为：点评： 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，难度适中22在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，C=45，sinB=，AD=1求 BC 的长考点： 解直角三角形；勾股定理专题： 计算题分析： 先由三角形的高的定义得出ADB=ADC=90，再解 RtADB，得出 AB=3，根据勾股定理求出 BD=2 ，解 RtADC，得出 DC=1；然后根据 BC=BD+DC 即可求解解答： 解：在 RtABD 中， ，又AD=1，AB=
26、3，BD 2=AB2AD 2， 在 RtADC 中，C=45，CD=AD=1BC=BD+DC= +1点评： 本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解 RtADB 与 RtADC，得出 BD=2 ，DC=1 是解题的关键23如图，在ABC 中，BDAC，AB=6，AC=5 ，A=30求 BD 和 AD 的长；求 tanC 的值考点： 解直角三角形；勾股定理专题： 几何图形问题分析： （1）由 BDAC 得到ADB=90，在 RtADB 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系先得到 BD=AB=3，再得到 AD= BD=3 ；（2）先计算出 CD=2 ，然后在 Rt
27、BCD 中，利用正切的定义求解解答： 解：（1）BDAC，ADB=90，在 RtADB 中，AB=6，A=30，BD=AB=3，AD= BD=3 ；（2）CD=ACAD=5 3 =2 ，在 RtBCD 中，tanC= = = 点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系24如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为 O）的墙上，当梯子位于 AB 位置时，它与地面所成的角ABO=60；当梯子底端向右滑动 1m（即 BD=1m）到达 CD 位置时，它与地面所成的角CDO=5118，求梯子的长（参考数据：sin51180
28、.780，cos51180.625，tan51181.248）考点： 解直角三角形的应用专题： 几何图形问题分析： 设梯子的长为 xm在 RtABO 中，根据三角函数得到 OB，在 RtCDO 中，根据三角函数得到 OD，再根据 BD=ODOB，得到关于 x 的方程，解方程即可求解解答： 解：设梯子的长为 xm在 RtABO 中，cosABO= ，OB=ABcosABO=xcos60=x在 RtCDO 中，cosCDO= ，OD=CDcosCDO=xcos51180.625xBD=ODOB，0.625xx=1，解得 x=8故梯子的长是 8 米点评： 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算
