1、几何图形综合题几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练题型 1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型 1 操作探究题 (2015南充)如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A，B 和 D 的距离分别为 1，2 ， .ADP 沿点 A 旋转至ABP，连 PP，并延长 AP 与 BC 相交于点 Q.2 10(1)求证：APP是等腰直角三角形；(2)求BPQ 的大小；(3)求 CQ 的长【思路点拨】 (1)利用旋转 相等的线段、相等的角APP 是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证BPP是直角三角形，再利用
2、(1)的结论，得BPQ 的大小；(3)过点B 作 BMAQ 于 M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和 BQ 的长，进而求得 CQ 的长度【解答】 (1)证明：由旋转可得：APAP，BAPDAP.四边形 ABCD 是正方形，BAD90.PAPPABBAPPABDAPBAD90.APP是等腰直角三角形(2)由(1)知PAP90，APAP1，PP .2PBPD ，PB2 ，10 2PB 2PP 2PB 2.PPB90.APP是等腰直角三角形，APP45.BPQ180904545.(3)过点 B 作 BMAQ 于 M.BPQ45，PMB 为等腰直角三角
3、形由已知，BP2 ，BMPM2.2AMAPPM3.在 RtABM 中，AB .AM2 BM2 32 22 13cosQAB ，即 ，AMAB ABAQ 313 13AQAQ .133在 RtABQ 中，BQ .AQ2 AB223 13QCBCBQ .1323 13 1331图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是 60 度，则会出现等边三角形2旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形1(2015自贡)在ABC 中，ABAC5，cosABC ，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，得35到A 1B1
4、C.图 1 图 2(1)如图 1，当点 B1在线段 BA 延长线上时求证：BB 1CA 1；求AB 1C 的面积；(2)如图 2，点 E 是 BC 上的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1长度的最大值与最小值的差2(2013自贡)将两块全等的三角板如图 1 摆放，其中A 1CB1ACB90，A 1A30.(1)将图 1 中的A 1B1C 顺时针旋转 45得图 2，点 P1是 A1C 与 AB 的交点，点 Q 是 A1B1与BC 的交点，求证：CP 1CQ；(2)在图 2 中，若 AP12，则 CQ 等于多少？(3)
5、如图 3，在 B1C 上取一点 E，连接 BE、P 1E，设 BC1，当 BEP 1B 时，求P 1BE 面积的最大值3(2013内江)如图，在等边ABC 中，AB3，D，E 分别是 AB，AC 上的点，且DEBC，将ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分为图形 L.(1)求ABC 的面积；(2)设 ADx，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式；(3)已知图形 L 的顶点均在O 上，当图形 L 的面积最大时，求O 的面积类型 2 动态探究题 (2015乐山)如图 1，四边形 ABCD 中，BD90，AB3，BC2，tanA .43(1)求 CD 边的长；(2)如
6、图 2，将直线 CD 边沿箭头方向平移，交 DA 于点 P，交 CB 于点 Q(点 Q 运动到点 B 停止)，设 DPx，四边形 PQCD 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围【思路点拨】 (1)分别延长 AD、BC 相交于 E，通过构造的 RtABE、RtDCE 求解；(2)利用EDCEPQ 及 S 四边形 PQCDS EPQ S EDC 求解【解答】 (1)分别延长 AD、BC 相交于 E.在 RtABE 中，tanA ，AB3，BE4.43BC2，EC2.在 RtABE 中，AE 5.AB2 BE2 32 42sinE .CD .35 DCEC 65(
7、2)BADC90，EE，ECDA.tanECDtanA .43 ，解得 ED .EDCD ED65 43 85如图 4，由 PQDC，可知EDCEPQ， . ，即 PQ x.EDEP DCPQ8585 x 65PQ 65 34S 四边形 PQCDS EPQ S EDC ，y PQEP DCED12 12 ( x)( x) 1265 34 85 12 65 85 x2 x.38 65如图 5，当 Q 点到达 B 点时，ECBC，DCPQ，可证明DCEHQC，从而得 CHED ，85自变量 x 的取值方范围为：0x .85动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变
8、中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系1(2013成都)如图，点 B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 的同侧，AC90，BDBE，ADBC.(1)求证：ACADCE；(2)若 AD3，AB5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQDP，交直线 BE 于点 Q.当点 P 与 A，B 两点不重合时，求 的值；DPPQ当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径(线段)长(直接写出结果，不必写出解答过程)2(2015攀枝花)如图 1，矩形
9、 ABCD 的两条边在坐标轴上，点 D 与坐标原点 O 重合，且AD8，AB6，如图 2，矩形 ABCD 沿 OB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，同时点 P从 A 点出发也以每秒 1 个单位长度的速度沿矩形 ABCD 的边 AB 经过点 B 向点 C 运动，当点P 到达 C 时，矩形 ABCD 和点 P 同时停止运动，设点 P 的运动时间为 t 秒(1)当 t5 时，请直接写出点 D、点 P 的坐标；(2)当点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，求出PBD 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应 t 的取值范围；(3)点 P 在线段 AB 或线段 BC 上运动时，作 P
10、Ex 轴，垂足为点 E，当PEO 与BCD 相似时，求出相应的 t 值3(2015绵阳)如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，G 是 AD 延长线上的一点，且DGAD，动点 M 从 A 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿着 A、C、G 的路线向 G 点匀速运动(M 不与 A、G 重合)，设运动时间为 t 秒，连接 BM 并延长交 AG 于 N.(1)是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形？若存在，分析点 M 的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点 N 在 AD 边上时，若 BNHN，NH 交CDG 的平分线于 H，求证：BNNH；(3)过点 M 分别作 AB、AD 的垂线，垂足分别为
11、E、F，矩形 AEMF 与ACG 重叠部分的面积为S，求 S 的最大值类型 3 类比探究题 (2015成都)已知 AC，EC 分别为四边形 ABCD 和 EFCG 的对角线，点 E 在ABC 内，CAECBE90.(1)如图 1，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为正方形时，连接 BF.求证：CAECBF；若 BE1，AE2，求 CE 的长(2)如图 2，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且 k 时，若ABBC EFFCBE1，AE2，CE3，求 k 的值；(3)如图 3，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且DABGEF45时，设BEm，AEn，CEp，试探究 m，n，p
12、 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得CAECBF，进而证明EBF90，利用勾股定理求 EF，进而求 CE；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有 k 的式子表示出 CE，BF，并建立 CE2，BF 2的等量关系，从而求出 k；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找 m，n，p 的关系【解答】 (1)ACEECB45，BCFECB45，ACEBCF.又 ，CAECBF.ACBC CECF 2 ，AE2，BF .AEBF ACBC 2 2由CAECBF 可得CAECBF.又CAECBE
13、90，CBFCBE90，即EBF90.EF .BE2 BF2 3CE EF .2 6(2)连接 BF，同理可得EBF90，由 k，可得 BCABAC1k ，CFEFEC1k .ABBC EFFC k2 1 k2 1 .ACBC AEBF k2 1BF ，BF 2 .AEk2 1 AE2k2 1CE 2 EF2 (BE2BF 2)，k2 1k2 k2 1k2即 32 (12 )，解得 k .k2 1k2 22k2 1 104(3)p2n 2(2 )m2.2提示：连接 BF，同理可得EBF90，过 C 作 CHAB，交 AB 延长线于 H，可解得 AB2BC 2AC 211(2 )，2EF2FC
14、2EC 211(2 )，2p 2(2 )EF2(2 )(BE2BF 2)2 2(2 )(m2 )(2 )m2n 2.2n22 2 2p 2n 2(2 )m2.2本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题1(2013乐山)阅读下列材料：如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，点 M，N 分别在边 AB，DC 上，且 MNAD，记ADa，BCb.若 ，则有结论：MN .AMMB mn bm anm n请根据以上结论，解答下列问题：如图 2，图 3，BE，CF 是ABC 的
15、两条角平分线，过 EF 上一点 P 分别作ABC 三边的垂线段 PP1，PP 2，PP 3，交 BC 于点 P1，交 AB 于点 P2，交 AC 于点 P3.(1)若点 P 为线段 EF 的中点求证：PP 1PP 2PP 3；(2)若点 P 为线段 EF 上的任意位置时，试探究 PP1，PP 2，PP 3的数量关系，并给出证明2(2015随州)问题：如图 1，点 E、E 分别在正方形 ABCD 的边 BC、CD 上，EAF45，试判断 BE、EF、FD 之间的数量关系发现证明小聪把ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，从而发现 EFBEFD，请你利用图 1 证明上述结论类比引申如图 2，
16、四边形 ABCD 中，BAD90，ABAD，BD180，点 E、F 分别在边BC、CD 上，则当EAF 与BAD 满足_关系时，仍有 EFBEFD.探究应用如图 3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形 ABCD.已知 ABAD80 米，B60，ADC120，BAD150，道路 BC、CD 上分别有景点 E、F，且AEAD，DF40( 1)米，现要在 E、F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长(结果3取整数，参考数据： 1.41， 1.73)2 3参考答案类型 1 操作探究题1(1)证明：ABAC，BACB.B 1CBC，CB 1BB.又由旋转性质得A 1CB1ACB，CB 1B
17、A 1CB1.BB 1CA 1.过 A 作 AGBC 于 G，过 C 作 CHAB 于 H.ABAC，AGBC，BGCG.在 RtAGB 中，cosABC ，AB5，BGAB 35BG3.BC6.B 1CBC6.B 1CBC，CHAB，BHB 1H.B 1B2BH.在 RtBHC 中，cosABC ，BHBC 35BH .BB 1 .AB 1BB 1AB 5 ，CH .185 365 365 115 BC2 BH2 62 （ 185） 2 245SAB 1C AB1CH .12 12 115 245 13225(2)过点 C 作 CFAB 于 F，以点 C 为圆心，CF 为半径画圆交 BC 于
18、 F1，此时 EF1最小此时在 RtBFC 中，CF .245CF 1 .245EF 1的最小值为 CFCE 3 .245 95以点 C 为圆心，BC 为半径画圆交 BC 的延长线于 F 1，此时 EF 1有最大值此时EF 1ECCF 1369.线段 EF1的最大值与最小值的差 9 . 95 3652.(1)证明：B 1CB45，B 1CA190，B 1CQBCP 145.在B 1CQ 和BCP 1中， B1CQ BCP1，B1C BC， B1 B， )B 1CQBCP 1.CQCP 1.(2)作 P1DCA 于 D，A30，P 1D AP11.12P 1CD45，CP 1 P1D .2 2C
19、P 1CQ，CQ .2(3)ACB90，A30，AC BC.BEP 1B，ABC60，3CBE30.CBEA.由旋转的性质可得：ACP 1BCE，AP 1CBEC.AP 1BEACBC 1.3设 AP1x，则 BE x，在 RtABC 中，A30，33AB2BC2.BP 12x.S P1BE x(2x) x2 x (x1) 2 ，12 33 36 33 36 36 2，当 t 秒时，S 的最大值为 .83 8 23 83类型 3 类比探究题1(1)证明：过点 E 作 ERBC 于点 R，ESAB 于点 S.BE 为角平分线，ERES.过点 F 作 FMBC 于点 M，FNAC 于点 N，同理
20、FMFN.ESBA，PP 2AB，PP 2ES.同理得 PP3FN，FMPP 1ER.点 P 为 EF 中点，PP 2ES，FPP 2FES.ES2PP 2，同理 FN2PP 3.FM2PP 3，ER2PP 2.在梯形 FMRE 中，FMPP 1ER， ，FPPE 11根据题设结论可知：PP 1 PP 2PP 3.ER1 FM11 1 ER FM2 2PP2 2PP32(2)探究结论：PP 1PP 2PP 3.证明：过点 E 作 ERBC 于点 R，ESAB 于点 S，则有 ERES.过点 F 作 FMBC 于点 M，FNAC 于点 N，则有 FMFN.点 P 为 EF 上任意一点，不妨设 F
21、PPE，则 ， .PP 2ES， .mn PFEF mm n PEEF nm n PP2ES PFEF nm nES PP2.m nmPP 3FN， .FN PP3.ER PP2，FM PP3.PP3FN PEEF nm n m nn m nm m nn在梯形 FMRE 中，FMPP 1ER， ，PFPE mn根据题设结论可知：PP 1 mER nFMm n mm nmPP2 nm nnPP3m nPP 2PP 3. （ m n） PP2 （ m n） PP3m n2.发现证明：将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至ADG，使 AB 与 AD 重合ABEADG.BAEDAG，BADG，AEAG
22、，BEDG.GAFGADDAFBAEDAF45.在正方形 ABCD 中，BADF90.ADGADF180，即点 G、D、F 在一条直线上在EAF 和GAF 中，AE AG， EAF GAF 45，AF AF， )EAFGAF.EFGF.又 GFDGDFBEDF.EFBEFD.类比引申：EAF BAD，12理由如下：将ABE 绕点 A 逆时针方向旋转DAB 至ADG，使 AB 与 AD 重合ABEADG.BAEDAG，BADG，AEAG，BEDG.GAFGADDAFBAEDAF BAD.12在四边形 ABCD 中，BADF180.ADGADF180，即点 G、D、F 在一条直线上在EAF 和GAF 中，AE AG， EAF GAF 12 BAD，AF AF， )EAFGAF.EFGF.又 GFDGDFBEDF，EFBEFD.探究应用：连接 AF，延长 BA、CD 交于点 O.则BOC180BC90.AOD 为直角三角形在 RtAOD 中，ODA60，OAD30，AD80 米AO40 米，OD40 米3OFODDF4040( 1)40 (米)，3 3AOOF.OAF45.DAF453015.EAF901575.EAF BAD.12BAE180OAFEAF60，B60，BAE 为等边三角形BEAB80 米由类比引申的结论可得 EFBEDF40( 1)109(米)3
