1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十六)直线与圆的位置关系来源:学优高考网一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.(2014铜仁高一检测)直线 x-y+1=0 与圆(x+1) 2+y2=1 的位置关系是 ( )A.相切B.直线过圆心C.直线不过圆心但与圆相交D.相离【解析】选 B.圆(x+1) 2+y2=1 的圆心为(-1,0),点(-1,0)在直线 x-y+1=0 上,故选 B.【变式训练】直线 3x+4y-5=0 与圆 2x2+2y2-4x-2y+1=0 的位置关系是 (
2、 )A.相离 B.相切C.相交且直线不过圆心 D.相交且直线过圆心【解析】选 D.圆 2x2+2y2-4x-2y+1=0 的圆心为 ,圆心到直线 3x+4y-5=0 的距离为 d= =0,所以直线与圆相交且直线过圆心.2.(2013安徽高考)直线 x+2y-5+ =0 被圆 x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为( )A.1 B.2 C.4 D.4【解题指南】由圆的半径、弦心距、半弦长组成直角三角形,利用勾股定理即可求得半弦长.来源:学优高考网【解析】选 C.由(x-1) 2+(y-2)2=5 得圆心(1,2),半径 r= ,圆心到直线 x+2y-5+ =0 的距离 d= =1,在由半径、弦
3、心距、半弦长组成的直角三角形中,弦长 l=2 =2 =4.3.若直线 3x+4y+k=0 与圆 x2+y2-6x+5=0 相切,则 k 的值等于 ( )A.1 或-19 B.10 或-1C.-1 或-19 D.-1 或 19【解析】选 A.x2+y2-6x+5=0 的圆心为(3,0),半径 r=2,由题意得圆心到直线的距离 d= =2,解得 k=-19 或 1.4.(2013陕西高考)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 ( )A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,
4、列出关系式,解之即可判断直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系.【解析】选 B.点 M(a,b)在圆 x2+y2=1 外a 2+b21.圆心 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= 0),则圆心到直线的距离等于半径 1,即 =1,c= ,所求方程为 x+y- =0.二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)7.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切,则圆 C 的方程为 .【解析】由题意可得圆心为(-1,0),圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆的半径,故 r= = ,所以圆 C 的方程为(x+1) 2+y2=2.答案
5、:(x+1) 2+y2=28.(2014重庆高考)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) 2+(y-a)2=4 相交于 A,B 两点,且ABC 为等边三角形,则实数 a= .【解题指南】先根据ABC 为等边三角形求出圆心到直线的距离然后求解.【解析】因为ABC 为等边三角形且半径为 2,易知圆心到直线的距离为 .即点(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离 d= = ,解得 a=4 .答案:49.(2014南京高一检测)过点 P 的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A,B 两点,当ACB 最小时,直线 l 的方程为 .【解析】当过点 P 的直线被圆截得的弦长
6、最短时,ACB 最小,此时 CPAB.因为 kCP=-2,所以 kAB= ,故直线 l 的方程为 y-1= ,即 2x-4y+3=0.答案:2x-4y+3=0三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.(1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切.(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程.【解析】将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 =2.解
7、得 a=- .(2)过圆心 C 作 CDAB,则根据题意和圆的性质,得解得 a=-7 或 a=-1.故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.【拓展延伸】数形结合思想方法的应用数形结合是一种重要的解题思想方法,直线和圆的方程将数(方程)与形(直线或圆)有机地结合起来,因此常用直线与圆的图形解决一些代数问题.来源:gkstk.Com11.(2014张掖高一检测)已知圆 C:x2+y2-x-8y+m=0 与直线 x+2y-6=0 相交于P,Q 两点,定点 R(1,1),若 PRQR,求 m 的值.【解析】圆的方程为 +(y-4)2= -m,圆心 C ,半径 r= ,过 C作直线 P
8、Q 垂线为:2x-y+3=0,其与 x+2y-6=0 联立求得 PQ 中点 M 的坐标为(0,3).因为 PRQR,所以 = = = ,又 = ,由 r2= + -m=5+ ,所以 m=10.【一题多解】设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 x2+ m-12=0,由根与系数的关系得:由 PRQR,可得(x 1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0即 x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-(y1+y2)+1=0, (*)因为 y1=3- ,y2=3- ,所以 y1y2=9+ ,y1+y2=6,代入(*)式得 +1=0,即 +1=0,所以 m=10.一、选择题(每小题 4 分,共
9、 16 分)1.(2014潍坊高一检测)与圆 x2+(y-2)2=1 相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ( )A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.6 条【解析】选 C.由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有 2 条,此时在两坐标轴上的截距都是 0;当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时,易知满足题意的切线有 2 条;综上共计 4 条.2.若直线 ax+by-1=0 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是 ( )A.在圆上 B.在圆外C.在圆内 D.以上皆有可能【解析】选 B.直线 ax+by-1=0 与圆 x2+y2=1 相交,所以 1,故点 P(a,b)在圆外.
10、【变式训练】已知直线 ax-by+c=0(ab0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形 ( )来源:gkstk.ComA.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在【解析】选 B.圆心 O(0,0)到直线的距离 d= =1,则 a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.来源:学优高考网 gkstk3.(2014绥化高一检测)若直线 y=k(x+1)与圆(x+1) 2+y2=1 相交于 A,B 两点,则|AB|的值为 ( )A.2 B.1C. D.与 k 有关的数【解析】选 A.直线 y=k(x+1)过圆心(-1,0),所以|AB|的值为圆的
11、直径长 2.4.(2014梅州高一检测)过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 ( )A.y= x B.y=- xC.y= x D.y=- x【解析】选 C.设直线为 y=kx,因为圆心为(-2,0),半径为 1,则 =1,解得k= ,而切点在第三象限,所以 k= ,直线方程为 y= x.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.(2014南京高一检测)过点 A(3,2),圆心在直线 y=2x 上,与直线 y=2x+5 相切的圆的方程为 .【解析】设圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2(r0),由题意,解得 或所以圆的方程为(x-2)
12、2+(y-4)2=5 或 + =5.答案:(x-2) 2+(y-4)2=5 或 + =56.(2014湖北高考)直线 l1:y=x+a 和 l2:y=x+b 将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧,则 a2+b2= .【解析】依题意,圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的 ,圆心到 l1:y=x+a 的距离为 ,圆心到 l2:y=x+b 的距离为,即 = , =cos45= ,所以 a2=b2=1,故 a2+b2=2.答案:2【误区警示】解答本题时容易出现的问题是不能把“将单位圆 C:x2+y2=1 分成长度相等的四段弧”用数学语言表示出来.【变式训练】圆 x
13、2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 的点的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.x2+y2+2x+4y-3=0 的圆心为(-1,-2),半径 r=2 ,因为圆心到x+y+1=0 的距离为 d= = ,故共有 3 个.三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.(2014黄石高一检测)已知点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过 M(3,1)点的圆的切线方程.(2)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 ,求 a 的值.【解析】(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜
14、率不存在时,方程为 x=3.由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.由题意知 =2,解得 k= .所以方程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0.故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0.(2)因为圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 ,所以 + =4,解得 a=- .8.(2014玉溪高一检测)已知O:x 2+y2=1 和点 M(4,2).(1)过点 M 向O 引切线 l,求直线 l 的方程.(2)求以点 M 为圆心,且被直线 y=2
15、x-1 截得的弦长为 4 的M 的方程.(3)设 P 为(2)中M 上任一点,过点 P 向O 引切线,切点为 Q.试探究:平面内是否存在一定点 R,使得 为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意可知切线斜率存在,故设切线方程为 y-2=k(x-4),易得=1,解得 k= ,所以切线方程为 y-2= (x-4).(2)圆心 M 到直线 y=2x-1 的距离为 ,设圆的半径为 r,则 r2=22+5=9,所以 r=3,M 的方程为(x-4) 2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点 R(a,b),设点 P 的坐标为(x,y),相应的定值为 ,根据题意可得PQ= ,所以 =,即 x2+y2-1= 2(x2+y2-2ax-2by+a2+b2)().又点 P 在M 上,所以(x-4) 2+(y-2)2=9,即 x2+y2=8x+4y-11,代入()得,8x+4y-12= 2(8-2a)x+(4-2b)y+a2+b2-11,对应项系数相等得解得 a=2,b=1,= 或 a= ,b= ,= ,所以可以找到这样的定点 R,使得 为定值,当 R 坐标为(2,1)时,比值为 ;R 坐标为 时,比值为 .关闭 Word 文档返回原板块
