1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为 ( )A.10 B.20 C.30 D.40【解析】选 B.圆心坐标是(3,4),半径是 5,圆心到点(3,5)的距离为 1.根据题意最短弦 BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为 2 =4 ,所以四边形 A
2、BCD 的面积为 |AC|BD|= 104 =20 .2.已知点 A(-1,1)和圆 C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从 A 经 x 轴反射到圆 C 上的最短路程是 ( )A.6 -2 B.8C.4 D.10【解析】选 B.点 A 关于 x 轴的对称点 A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为=10.来源:学优高考网所以所求最短路程为 10-2=8.3.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度 AB 是 36m,拱高 OP 是 6m,在建造时,每隔 3m 需用一个支柱支撑,则支柱 A2P2的长为 ( )来源:学优高考网 gkstkA.(12 -24)m B.(12 +24)mC.
3、(24-12 )m D.不确定【解析】选 A.如图,以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中点 O 为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点 A,B,P 的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在的圆的方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为 A,B,P 在此圆上,故有解得故圆拱所在圆的方程是 x2+y2+48y-324=0.将点 P2的横坐标 x=6 代入上式,结合图形解得 y=-24+12 .故支柱 A2P2的长约为(12 -24)m.【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;常选特殊点作为直角坐标系的原点
4、;尽量使已知点位于坐标轴上.4.圆 C:(x-4)2+(y-4)2=4 与直线 y=kx 的交点为 P,Q,原点为 O,则|OP|OQ|的值为 ( )A.2 B.28C.32 D.由 k 确定【解题指南】由平面几何知识可知|OP|OQ|等于过 O 点圆的切线长的平方.【解析】选 B.如图,过原点 O 作C 的切线 OA,连结 AC,OC,在 RtOAC 中,|OA| 2=|OC|2-r2=32-4=28,由平面几何知识可知,|OP|OQ|=|OA|2=28.5.若 P(x,y)在圆(x+3) 2+(y-3)2=6 上运动,则 的最大值等于 ( )A.-3+2 B.-3+C.-3-2 D.3-2
5、【解析】选 A.设 =k,则 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时,k 取最值.所以= ,解得 k=-32 .故 的最大值为-3+2 .二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.一条光线从点 A(7,2)射入,经过 x 轴上点 P 反射后,通过圆 B:(x+3)2+(y-3)2=25 的圆心,则反射点 P 的坐标为_.【解析】B 关于 x 轴的对称点 B(-3,-3).直线 AB: = ,即 5x-35=10y-20,即 5x-10y-15=0,所以直线 AB与 x 轴交点为(3,0),所以反射点坐标为(3,0).答案:(3,0)【延伸探究】若把题干中“通过圆 B:(x+3)2+(y-3
6、)2=25 的圆心”改为“与圆B:(x+3)2+(y-3)2=25 相切”,则反射点的坐标为_.【解析】圆 B:(x+3)2+(y-3)2=25 关于 x 轴对称的圆的方程为圆 B:(x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为 y-2=k(x-7)即 kx-y-7k+2=0,又圆心B(-3,-3)到 kx-y-7k+2=0 的距离等于半径 5,所以 =5,所以 k= 或 k=0(舍),所以入射光线的方程为 x-y- =0,所以入射光线与 x 轴交点为 ,所以反射点坐标为 .答案:7.过点 A(11,2)作圆 x2+y2+2x-4y-164=0 的弦,其中弦长为整数的共有_条.【解析】方
7、程化为(x+1) 2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点 A(11,2)的距离为 12,最短弦长为 10,最长弦长为 26,所以所求弦长为整数的条数为 2+2(25-11+1)=32.答案:328.(2015烟台高一检测)已知直线 x-2y-3=0 与圆(x-2) 2+(y+3)2=9 相交于 E,F两点,圆心为点 C,则CEF 的面积等于_.【解析】因为圆心 C(2,-3)到直线的距离为 d= = ,又 R=3,所以|EF|=2 =4.所以 SCEF = |EF|d=2 .答案:2三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.某公园有 A,B 两个景点,位于一条小路(直道)的同
8、侧,分别距小路 km 和 2km,且A,B 景点间相距 2km(A 在 B 的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?【解析】所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识可知,该点应是过 A,B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为 x 轴,B 点在 y 轴上建立空间直角坐标系(如图).则 B(0,2 ),A( , ).设过 A,B 两点且与 x 轴相切的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2(b0),因为圆心在 AB 中垂线上,且中垂线方程是 x-y+ =0,所以所以 或由实际意义知 应舍去,所以圆的方程为
9、 x2+(y- )2=2,与 x 轴的切点即原点,所以观景点应设在 B 景点在小路上的射影处.10.有相距 100km 的 A,B 两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居民从两地运回商品时,A 地的单位距离的运费是 B 地的 2 倍.问怎样确定 A,B 两批发市场的售货区域对当地居民有利?【解析】建立以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点的直角坐标系,则 A(-50,0),B(50,0).设 P(x,y),由 2|PA|=|PB|,得 x2+y2+ x+2500=0,所以在圆 x2+y2+ x+2500=0 内到 A 地购物合算;在圆 x2+y2+ x+2500=0 外到B 地购物
10、合算;在圆 x2+y2+ x+2500=0 上到 A,B 两地购物一样合算.(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.若曲线 y=1+ 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点,则实数 k 的取值范围为来源:学优高考网 gkstk( )A. B.C. D. 来源:学优高考网 gkstk【解题指南】画出曲线 y=1+ 及直线 y=k(x-2)+4 的图象,利用数形结合求k 的取值范围.【解析】选 D.如图,曲线 y=1+ 表示上半圆,直线 y=k(x-2)+4 过定点 P(2,4),且 A(-2,1).因为 kPA= ,PC 与半圆相切,所以易求 kPC= ,所以 k
11、 .2.由 y=|x|和圆 x2+y2=4 所围成的较小扇形的面积是 ( )A. B. C. D. 来源:学优高考网 gkstk【解析】选 B.由题意围成的面积为圆面积的 ,所以 S= r 2=,故选 B.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.直线 2x-y=0 与圆 C:(x-2)2+(y+1)2=9 交于 A,B 两点,则ABC(C 为圆心)的面积等于_.【解析】因为圆心到直线的距离 d= = ,所以|AB|=2 =4,所以 SABC= 4 =2 .答案:24.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数
12、c 的取值范围是_.【解析】由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于 1,即1,|c|13,-13c13.答案:(-13,13)三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.AB 为圆的定直径,CD 为直径,自 D 作 AB 的垂线 DE,延长 ED 到 P,使|PD|=|AB|,求证:直线 CP 必过一定点.【证明】以线段 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 中点为原点,建立直角坐标系,如图,设圆的方程为 x2+y2=r2,直径 AB 位于 x 轴上,动直径为 CD.令C(x0,y0),则 D(-x0,-y0),所以 P(-x0,-y0-2r).所以直线 CP 的方程为 y-y0= (x
13、-x0),即(y 0+r)x-(y+r)x0=0.所以直线 CP 过直线:x=0,y+r=0 的交点(0,-r),即直线 CP 过定点(0,-r).6.(2014江苏高考)如图,为了保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥 BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆.且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m.经测量,点 A 位于点 O 正北方向 60m 处,点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸),tanBCO= .(1)求新桥 BC 的长.(2)当 OM 多长时,圆形保护
14、区的面积最大?【解析】(1)以 OC,OA 为 x,y 轴,向东和向北为正方向建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).由题意,k BC=- ,直线 BC 的方程为 y=- (x-170),又 kAB=- = ,故直线 AB 方程为 y= x+60.BC1由 解得 即 B(80,120),所以|BC|= =150(m).(2)设 OM=t,即 M(0,t),0t60,由(1)直线 BC 的一般方程为 4x+3y-680=0,圆 M 的半径为 r= ,由题意要求 由于 0t60,因此 r= = =136- t,所以 所以 10t35,所以当 t=10 时,r 取得最大值 130m,此时圆的面积最大.关闭 Word 文档返回原板块
