1、第四节 存在性问题中考重难点突破这类问题是近几年来各地中考的“热点” 解决存在性问题就是：假设存在推理论证得出结论若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰( 直角) 三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点这类题型是对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对知识、能力的一次全面的考查【例】如图 1，抛物线 yax 2bxc(a0)的对称轴是直线 x1，抛物线过 A(1，0) 、C(0，3)两点，抛物线的顶点为点 D.对称轴与 x 轴交于点 E，抛物线与 x
2、轴交于点 B.(1)求抛物线的解析式并求顶点坐标；(2)点 M 是对称轴 x1 上一个动点，是否存在这样的点 M，使 MAMC 最小，若存在求出该点坐标；(3)如图 2，点 P 是对称轴上一个动点，是否存在这样的点 P，使 PB 与 PC 的距离之差的绝对值最大，若存在求出该点坐标；(4)如图 3，连接 BC，若点 K 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 到 B 运动(不与 A，B 重合) ，同时点 R 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动，设运动时间为 t 秒，求出BKR 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求出点 K 运动多长时间， BKR 的面
3、积最大？最大面积是多少？【解析】本题考查抛物线背景下的最短和问题、最大差问题以及面积最值问题【学生解答】【规律总结】这类问题一般是对结论作出肯定的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件建立方程，解出方程的解的情况和结合题目的已知条件确定“存在与否” 解题的方法主要是建立方程模型，由方程有无符合条件的解来肯定“存在与否”的问题1(2015 黔东南中考)如图，已知二次函数 y1x 2 xc 的图像与 x 轴的一个交点为 A(4，0)，与 y 轴的134交点为 B，过 A、B 的直线为 y2kxb.(1)求二次函数 y1的解析式及点 B 的坐标；(2)由图像写出满足 y1y 2的自变量 x 的取值
4、范围；(3)在两坐标轴上是否存在点 P，使得ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由2(2015 遵义十一中三模)如图所示，抛物线 yax 2bxc 经过原点 O，与 x 轴交于另一点 N，直线ykx4 与两坐标轴分别交于 A、D 两点，与抛物线交于 B(1，m)、C(2，2)两点(1)求直线与抛物线的解析式；(2)若抛物线在 x 轴上方的部分有一动点 P(x，y) ，设PON，求当PON 的面积最大时 tan 的值(3)若动点 P 保持(2) 中的运动路线，问是否存在点 P，使得 POA 的面积等于PON 面积的 ？若存在，请815求出点 P 的
5、坐标；若不存在，请说明理由3.(2015 黔东南中考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yError!x 2bxc 过点 A(0，4) 和 C(8，0)，P(t，0)是 x 轴正半轴上的一个动点，M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90得线段 PB.过点 B作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点 D.(1)求 b，c 的值；(2)当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上；(3)是否存在 t，使得以 A，B，D 为顶点的三角形与AOP 相似？若存在，求此时 t 的值；若不存在，请说明理由4(2015 铜仁中考)如图，已知，关于 x 的二次函数 yx 2bxc 的图像与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y轴交于点 C(0，3)，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D.(1)求二次函数的表达式；(2)在 y 轴上是否存在一点 P，使 PBC 为等腰三角形若存在，请求出点 P 的坐标；(3)有一个点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动，另一个点 N 从点 D 与点 M 同时出发，以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M、N 同时停止运动，问点M、N 运动到何处时，MNB 面积最大，试求出最大面积
