1、专题四 归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系在中考试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现考向一 数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题【例 1】如图，一个数表有 7 行 7 列，设 aij表示第 i 行第 j 列上的数(其中i1,2,3，j1,2,3，)例如：第 5 行第 3 列上的数 a5
2、37.1 2 3 4 3 2 12 3 4 5 4 3 23 4 5 6 5 4 34 5 6 7 6 5 45 6 7 8 7 6 56 7 8 9 8 7 67 8 9 10 9 8 7则(1)(a 23a 22)(a 52a 53)_ .(2)此数表中的四个数 anp，a nk，a mp，a mk，满足(a npa nk)(a mka mp)_.解析：根据数表中数字排列规律，得 a234，a 223，a526，a 537，所以(1)的答案是(43)(6 7)0.对于(2)中四个数 anp，a nk，a mp，a mk，可以发现 anp与 ank为同一行的数，且其差为第 p个数与第 k 个
3、数之差，同理 amk与 amp之差也为同行中第 k 个数与第 p 个数之差根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(a npa nk)( amka mp)0.答案：(1)0 (2)0方法归纳 解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题考向二 数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每 个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来； (4)用题中所给数据验证规律的正确性【例 2】给出下列命题：命题 1：直线 yx 与双曲线 y 有一个交点是(1,1)
4、；1x命题 2：直线 y8x 与双曲线 y 有一个交点是 ；2x (12，4)命题 3：直线 y27x 与双曲线 y 有一个交点是 ；3x (13，9)命题 4：直线 y64x 与双曲线 y 有一个交点是 ；4x (14，16)(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题 n(n 为正整数)；(2)请验证你猜想的命题 n 是真命题解：(1)命题 n：直线 yn 3x 与双曲线 y 有一个交点是 ；nx (1n，n2)(2)将 代入直线 yn 3x 得：右边n 3 n 2，左边 n2，(1n，n2) 1n左边右边点 在直线 yn 3x 上(1n，n2)同理可证：点 在双曲线 y 上，(1n，n2)
5、nx直线 yn 3x 与双曲线 y 有一个交点是 .nx (1n，n2)方法归纳 此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系考向三 数形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见【例 3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第 1 个图形需要 1 个小圆，第2 个图形需要 3 个小圆，第 3 个图形需要 6 个小圆，第 4 个图形需要 10 个小圆，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要小圆_个(用含 n 的代数
6、式表示) 解析：观察图形可知，第 n 个图形比第(n1) 个图形多 n 个小圆，所以第 n 个图形需要小圆 123n n(n1) 12答案： n(n1)12方法归纳 解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字 )与等式序号之间的关系，从而得到一般规律一、选择题1如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，曲线 FK1K2K3K4K5K6K7叫做“正 六边形的渐开线” ，其中 A1FK， 2， A3， 4， A5， 的圆心依次按点A，B ，C ，D，
7、E，F 循环，其弧长分别记为 l1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6.当 AB1 时，l 2 011 等于( )A B2 0112 2 0113C D2 0114 2 01162在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1,0)，点 D的坐标为(0,2)延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，按这样的规律进行下去，第 2 011 个正方 形的面积为( )A5 2 010 B5 2 011 C5 2 009 D5 4 020(32) (94) (94) (32)二、填空题3按
8、一定规律排列的一列数，依次为 1,4,7，.则第 n 个数是_ _4如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为1；取ABC 和DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取A 1B1C1 和D 1E1F1 各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积为_5如图，在一单位为 1 的方格纸上，A 1A2A3，A 3A4A5，A 5A6A7，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2,4,6，的等腰直角三角形若A 1A2A3 的顶点坐标分
9、别为A1(2,0)， A2(1，1)，A 3(0,0)，则依图中所示规律，A 2 012 的坐标为_三、解答题6观察下列算式：132 2341243 2891354 215161_(1)请你按以上规律写出第 4 个算式；(2)把这个规律用含字母 n(n 为正整数 )的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式 子一定成立吗？并说明理由7观察图形，解答问题：(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：图 图 图三个角上三个数的积1(1)21( 3)(4)(5) 60三个角上三个数的和1( 1)22( 3)(4)(5) 12积与和的商 221( 2)请用你发现的规律求出图中的数 y 和图中的数 x.
10、8(1)ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C 90，ACBC2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图 1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由图 1图 2 图 3(2)图 1 中甲种剪法称为 第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 S1；按照甲种剪法，在余下的ADE 和 BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 S2(如图 2)，则 S2_.(3)按(1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 S3(如图 3
11、)；继续操作下去，则第10 次剪取时，S 10_.求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和参考答案专题提升演练1B 可以发现规律：每段弧的度数都等于 60，K n1 Kn的半径为 n，所以 l2 011 .602 011180 2 01132D 由题意知，OA1，OD2，DA ，ABAD ，利用互余关系证得5 5DOA ABA 1， ，BA 1 AB ，A 1B1A 1C AB ，同理，DOAB OABA1 12 125 32 352A2B2 A1B1 2 ，一般地 AnBn n ，第 2 011 个正方形的面积为(A 2 010B2 010)25 4 32 (32) 5 (32) 5
12、 (32)020，故选 D.33n2 思路一：将数列看成 130,131,132，13(n1) ，所以第 n 个数是 13(n1)，即 3n2.思路二：将数列看成 312,322,332，3n2，所以第 n 个数是 3n2.4 因为 A1，B 1 分别是 EF，FD 的中点，所以 A1B1 ED.因为正六角星形128 12A1F1B1D1C1E1 正六角星形 AFBDCE，所以正六角星形 A1F1B1D1C1E1 的面积:正六角星形AFBDCE 的面积 2 .所以正六角星形 A1F1B1D1C1E1 的面积 .同理正六角星形(12) 14 14A2F2B2D2C2E2 的面积 :正六角星形 A
13、1F1B1D1C1E1 的面积 2 ，所以正六角星形(12) 14A2F2B2D2C2E2 的 面积 2.如此下去，则正六角星形 A4F4B4D4C4E4 的面积等于14 14 (14)4 .(14) 1285(2,1 006)6解：(1)465 224251；(2)n(n 2)(n1) 21；(3)一定成立理由：因为 n(n2) ( n1) 2n 22n(n 22n1)n 22nn 22n11，故(2)中的式子一定成立7解：(1)图：(60)( 12)5，图：(2) (5)17170，(2)(5)1717，1701017.(2)图：5( 8)(9)360，5(8)( 9)1，y360(12)
14、30，图： 3，解得 x2.1x31 x 38解：(1)如图甲，由题意得 AEDEEC ，即 EC1， S 正方形 CFDE1.如图乙，设MNx，则由题 意，得 AMMQPN NB MNx，3x2 ，解得 x .2223S 正方形 PNMQ 2 .(223) 89又1 ，89甲种剪法所得的正方形的面积更大(2)S2 .12(3)S10 .129解法 1：探索规律可知：S n .12n 1剩余三角形的面积和为 2(S 1S 2S 10)2 .(1 12 14 129) 129解法 2：由题意可知，第 1 次剪取后剩余三角形面积和为 2S 11S 1.第 2 次剪取后剩余三角形面积和为 S1S 21 S 2.12 12第 3 次剪取后剩余三角形面积和为 S2S 3 S 3.12 14 14第 10 次剪取后剩余三角形面积和为 S9S 10S 10 .129
