1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十二)两条直线的交点坐标两点间的距离一、选择题(每小题 3 分,共 18 分)1.一条线段的长是 5 个单位,它的一个端点是 A(2,1),另一个端点 B 的横坐标是-1,则点 B 的纵坐标是 ( )A.-3 B.5 C.-3 或 5 D.-1 或-3【解析】选 C.设 B 点的纵坐标为 y,则 B(-1,y),所以 =5.即(2+1) 2+(1-y)2=25.所以 y=-3 或 y=5.2.直线 x+2y-2=0 与直线 2x+y-3=0 的交点
2、坐标是 ( )A.(4,1) B.(1,4)C. D.【解析】选 C.由 解得即交点坐标是 .【变式训练】三条直线 l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0 构成一个三角形,则 k 的范围是( )来源:学优高考网 gkstkA.kRB.kR 且 k1,k0C.kR 且 k5,k-10D.kR 且 k15,k1【解析】选 C.由题意 l3与 l1和 l2均不平行, 即 k5,而且 l3不过 l1,l2的交点(1,1),所以 k-10.3.(2013襄阳高一检测)直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该定点的坐标为 ( )A.(-2,1) B.(2,1)C.(1,-
3、2) D.(-1,2)【解析】选 A. mx-y+2m+1=0 化为 m(x+2)-y+1=0,当 x+2=0 且-y+1=0 时,m(x+2)-y+1=0 恒成立,所以过定点(-2,1).【举一反三】本题中若直线改为“x-my+2m+1=0”,则该定点的坐标又如何呢?来源:学优高考网【解析】将直线 x-my+2m+1=0 化为 x+1-m(y-2)=0,当 y-2=0 且 x+1=0 时,x-my+2m+1=0 恒成立,所以过定点(-1,2).4.(2013长沙高一检测)直线 y=2x 关于 x 轴对称的直线方程为 ( )A. y=- x B. y= xC. y=-2x D. y=2x【解析
4、】选 C.与 y=2x 关于 x 轴对称的直线的倾斜角与 y=2x 的倾斜角互补,所以方程为 y=-2x.5.已知ABC 的三个顶点是 A(-a,0),B(a,0)和 C , a,则ABC 的形状是( )A.等腰三角形 B.等边三角形来源:gkstk.ComC.直角三角形 D.斜三角形【解析】选 C.|AB|= ,|AC|= ,|BC|= ,所以|AB| 2=|AC|2+|BC|2,三角形为直角三角形.6.若直线 y=kx+3 与直线 y= x-5 的交点在直线 y=x 上,则 k 的值为 ( )A. B. - C. - D.【解析】选 A.由 得 x=y= .将 代入 y=kx+3,得= +
5、3,得 k= .二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)7.直线 l 过直线 2x-y+4=0 与 x-3y+5=0 的交点,且垂直于直线 y= x,则直线 l 的方程是 .【解析】直线 2x-y+4=0 与 x-3y+5=0 的交点为 ,所以直线 l 的方程是:y- =-2 ,即 10x+5y+8=0.答案:10x+5y+8=08.(2014南京高一检测)已知三角形的三个顶点 A(2,1),B(-2,3),C(0,-1),则BC 边上中线的长为 .【解析】BC 边的中点坐标为(-1,1),所以中线长 =3.答案:39.(2013四川高考)在平面直角坐标系内,到点 A(1,2),B(1,5)
6、,C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是 .【解题指南】分析已知条件可知四边形 ABCD 是凸四边形,要求的点需要到四点的距离之和最小,可知该点应是 AC 与 BD 的交点.【解析】由题可知 A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1),四边形 ABCD 的对角线的交点到四点的距离之和最小,直线 AC 的方程为 2x-y=0,直线 BD 的方程为 x+y-6=0,所以其交点为(2,4).答案:(2,4)三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)10.(2014大同高一检测)直线 l 与直线 x-3y+10=0,2x+y-8=0 分别交于点 M,N,若 MN 的中点
7、是(0,1),求直线 l 的方程.【解题指南】先通过联立方程组将交点横坐标解出,再利用中点坐标求所求直线的斜率 k.【解析】设直线 l 的方程为 y-1=kx 或 x=0,x= ;x= ,由 + =0,得 k=- ,又直线 x=0 不合题意.故所求直线方程为 x+4y-4=0.11.已知点 A(-3,5),B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上找一点 P,使得 + 最小,并求其最小值.【解析】设 A 关于 l:3x-4y+4=0 的对称点为 C(a,b),则解得 直线 BC 的方程为 18x+y-51=0,由得 P , + 的最小值为 =5 .【变式训练】已知矩形 ABCD 的两个
8、顶点 A(-1,3),B(-2,4),若它的对角线的交点 M 在 x 轴上,求 C,D 两点的坐标.【解题指南】本题对两点间距离公式的考查是依托于矩形 ABCD,因此解答时充分联系矩形的几何性质,如线段的相等关系,线段中点等.【解析】设点 M 的坐标为(x,0),由 = 根据两点的距离公式,得= ,解得 x=-5,又 M 为 AC,BD 的中点,根据中点坐标公式可得 C(-9,-3),D(-8,-4).【拓展延伸】两点距离公式的应用:(1)证明三点共线.(2)判断三角形的形状.(3)求点的坐标.(4)求函数的最值.一、选择题(每小题 4 分,共 16 分)1.不论 m 取什么值,直线 mx-3
9、y+7=0 与 5x-2y+1=0 都不能 ( )A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合【解析】选 D.因为 mx-3y+7=0 恒过定点 ,而 不在直线 5x-2y+1=0 上,故两直线一定不重合.2.(2014临沂高一检测)若三条直线 y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0 相交于同一点,则点(m,n)可能是 ( )来源:学优高考网A.(1,-3) B.(3,-1)C.(-3,1) D.(-1,3)【解析】选 A.由题意 y=2x,x+y=3 的交点为(1,2),此点在 mx+ny+5=0 上,则m+2n+5=0,经验证得选项 A 适合.【变式训练】若三直线 2x+3y+8=0,x-y-
10、1=0 和 x+by=0 相交于一点,则 b 的值等于 ( )A.-2 B.- C.2 D.【解析】选 B.直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 的交点坐标为(-1,-2),(-1,-2)在直线x+by=0 上,故 b=- .3.设平行四边形 ABCD 的顶点 A(0,0),B(0,b),C(a,c),则第四个顶点 D 的坐标是 ( )A.(a,b+c) B.(-a,b+c)C.(a,c-b) D.(-a,c-b)【解析】选 C.由题意 ABCD,所以 D 的横坐标为 a,又|AB|=|CD|,故 D 的坐标是(a,c-b).4.(2014景德镇高一检测)若点 P(m,0)到点 A(-3,
11、2)及 B(2,8)的距离之和最小,则m 的值为 ( )A.2 B.-2 C.1 D.-1来源:学优高考网【解析】选 B.点 A(-3,2)关于 x 轴的对称点为 A(-3,-2).因为点 P(m,0)在 x轴上,由对称性可知|PA|=|PA|,所以|PA|+|PB|=|PA|+|PB|,所以当 A,P,B 三点共线时此距离和最短.因为 kAB = =2,所以直线 AB 方程为 y-8=2(x-2),即 y=2x+4,令 y=0 得 x=-2,即 A,P,B 三点共线时 P(-2,0),所以所求 m 的值为-2.故 B 正确.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)5.(2014杭州高一检测
12、)直线 y= x 关于直线 x=1 对称的直线方程是 .【解析】因为关于直线 x=1 对称的直线的倾斜角与 y= x 的互补,而 y= x 与x=1 的交点为 ,所以所求直线的方程为 y- =- (x-1),即 x+2y-2=0.答案:x+2y-2=0【误区警示】此题易因找不出两条直线斜率之间的关系而求解错误.6.三条直线 x-2y+1=0,x+3y-1=0 和 ax+2y-3=0 共有两个不同的交点,则 a= .【解题指南】由于直线 x-2y+1=0 和 x+3y-1=0 不平行,是相交的直线,故只有ax+2y-3=0 和以上两条直线中一条平行才能保证三条直线共有两个不同的交点.【解析】三条
13、直线共有两个不同的交点,所以其中必有两条直线平行,当 x-2y+1=0 与 ax+2y-3=0 平行时,a=-1;当 ax+2y-3=0 与 x+3y-1=0 平行时,a= .答案:-1 或三、解答题(每小题 12 分,共 24 分)7.(2014大同高一检测)求过直线 3x+2y+6=0 与 2x+5y-7=0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.【解析】由方程组 得交点为(-4,3),当所求直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,直线方程为 y=- x,即 3x+4y=0.当所求直线不过原点时,设直线方程为 x+y=a,而点(-4,3)在其上,所以 a=-1,直线方程为 x+y+1=0
14、.综上所述,所求直线方程为 3x+4y=0 或 x+y+1=0.【举一反三】若本题中的条件不变,如何求在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程?【解析】由方程组 得交点为(-4,3),当所求直线在两坐标轴上的截距都为 0 时,直线方程为 y=- x,即 3x+4y=0.当所求直线不过原点时,设直线方程为 x-y=a,而点(-4,3)在其上,所以 a=-7,直线方程为 x-y+7=0.综上所述,所求直线方程为 3x+4y=0 或 x-y+7=0.8.已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求一点 P,使 + + 的值最小,并求最小值.【解题指南】可以以正三角形 ABC 的底边为 x 轴,底边的中垂线为 y 轴建系.【解析】以底边 BA 所在的直线为 x 轴,BA 的中垂线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系.则 A ,B ,C .设 P 点坐标为(x,y),则 + + =+y2+ +y2+x2+=3x2+3y2- ay+ a2=3x2+3 +a2a 2,当且仅当 x=0,y= a 时,等号成立,即所求最小值为a2,此时,P 点的坐标为 .关闭 Word 文档返回原板块
