1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 十五抛物线及其标准方程(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016新乡高二检测)设动点 C 到点 M(0,3)的距离比点 C 到直线 y=0 的距离大 1,则动点 C 的轨迹是 ( )A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.圆【解析】选 A.由题意,点 C 到 M(0,3)的距离等于点 C 到直线 y=-1 的距离,所以点 C 的轨迹是抛物线.【补偿训练】(2016济南高二检测)若动点 P 与定点 F(1,1)和直线
2、3x+y-4=0的距离相等,则动点 P 的轨迹是 ( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.直线【解析】选 D.由于点 F(1,1)在直线 3x+y-4=0 上,故满足条件的动点 P 的轨迹是一条直线.2.顶点在原点,焦点是 F(0,3)的抛物线标准方程是 ( )A.y2=21x B.x2=12yC.y2= x D.x2= y【解析】选 B.由 =3 得 p=6,且焦点在 y 轴正半轴上,故 x2=12y.3.焦点在 x 轴上,且焦点到准线距离为 2 的抛物线的标准方程是 ( )A.y2=4x B.y2=-4xC.y2=2x D.y2=4x【解析】选 D.由抛物线标准方程中 p 的几何意义知
3、p=2,焦点在 x 轴的抛物线开口向左,y 2=-4x;开口向右,y 2=4x.4.抛物线 y=ax2的准线方程为 y=-1,则实数 a 的值是 ( )A. B. C.- D.-【解析】选 A.由条件知 a0,则 y=ax2可以变形为 x2= y,由于准线是 y=-1,可知 a0,抛物线标准方程可设为 x2=2py(p0),2p= ,则 p= ,又由于- =-1,知p=2,所以 =2,解得 a= ,故选 A.【补偿训练】抛物线 y2=ax(a0)的焦点到其准线的距离是 ( )A. B. C.|a| D.-【解析】选 B.因为 y2=ax,所以 p= ,即焦点到准线的距离为 .5.(2016大连
4、高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 - =1 上,则抛物线方程为 ( )A.y2=8x B.y2=4xC.y2=2x D.y2=8x【解析】选 D.由题意知抛物线的焦点为双曲线 - =1 的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为 y2=8x 或 y2=-8x.6.已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且 2x2=x1+x3,则有 ( )A.|P1F|+|P2F|=|P3F|B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|D.|P2F
5、|2=|P1F|P3F|【解析】选 C.因为 P1,P2,P3在抛物线上,且 2x2=x1+x3,两边同时加上 p,得 2 =x1+ +x3+ .即 2|P2F|=|P1F|+|P3F|.7.已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线C 相交于点 M,与其准线相交于点 N,则|FM|MN|= ( )A.2 B.12C.1 D.13【解题指南】利用射线 FA 的斜率和抛物线的定义求解.【解析】选 C.射线 FA 的方程为 x+2y-2=0(x0).由条件知 tan= ,所以 sin= ,由抛物线的定义知|MF|=|MG|,所以 = =sin= = .8.(2
6、016重庆高二检测)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 ,则POF 的面积为 ( )A.2 B.2 C.2 D.4【解题指南】由|PF|=4 及抛物线的定义求出点 P 的坐标,进而求出面积.【解析】选 C.抛物线 C 的准线方程为 x=- ,焦点 F( ,0),由|PF|=4 及抛物线的定义知,P 点的横坐标 xP=3 ,从而 yP=2 ,所以 = |OF|yP|= 2 =2 .二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016泰安高二检测)已知动点 P 到点(3,0)的距离比它到直线 x=-2 的距离大 1,则点 P 的轨迹方程为
7、_.【解析】由题意可知点 P 到(3,0)的距离与它到 x=-3 的距离相等,故 P 的轨迹是抛物线,p=6,所以方程为 y2=12x.答案:y 2=12x10.若抛物线 y2=-2px(p0)上有一点 M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为 10,则点 M 的坐标为_.【解析】由抛物线方程 y2=-2px(p0),得其焦点坐标为 F ,准线方程为x= ,设点 M 到准线的距离为 d,则 d=|MF|=10,即 -(-9)=10,所以 p=2,故抛物线方程为 y2=-4x.将 M(-9,y)代入抛物线方程,得 y=6,所以 M(-9,6)或 M(-9,-6).答案:(-9,-6)或(-9,6)【
8、补偿训练】(2015皖南八校联考)若抛物线 y2=2x 上一点 M 到坐标原点 O 的距离为 ,则点 M 到抛物线焦点的距离为_.【解析】设 M(x,y),则由得 x2+2x-3=0.解得 x=1 或 x=-3(舍).所以点 M 到抛物线焦点的距离 d=1- = .答案:三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.(2016吉林高二检测)已知动圆 M 与直线 y=2 相切,且与定圆 C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.【解题指南】设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛
9、物线,其方程易求.【解析】设动圆圆心为 M(x,y),半径为 r,则由题意可得 M 到 C(0,-3)的距离与到直线 y=3 的距离相等,则动圆圆心的轨迹是以 C(0,-3)为焦点,y=3 为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.12.(2016邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管 OP=1m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面 2m,P 距抛物线的对称轴 1m,则水池的直径至少应设计为多少米?(精确到 1m)【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系,则易得 P 点坐标,再由 P 在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物
10、线方程求出相关点坐标即可获解.【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为 x2=-2py(p0).依题意有 P(-1,-1)在此抛物线上,代入得 p= .故得抛物线方程为 x2=-y.又 B 在抛物线上,将 B(x,-2)代入抛物线方程得 x= ,即|AB|= ,则|OB|=|OA|+|AB|= +1,因此所求水池的直径为 2(1+ )m,约为 5m,即水池的直径至少应设计为 5m.【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 米,车与箱共高 4.5 米,问此车能否通过此隧道?说明理由.【解析】建立如图所示的平面直角
11、坐标系,则 B(-3,-3),A(3,-3).设抛物线方程为 x2=-2py(p0),将 B 点的坐标代入,得 9=-2p(-3),所以 p= ,所以抛物线方程为 x2=-3y(-3y0).因为车与箱共高 4.5 米,所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 米.设抛物线上点 D 的坐标为(x 0,-0.5),D的坐标为(-x 0,-0.5),则 =-3(-0.5),解得 x0= = .所以|DD|=2|x 0|= 3,故此车不能通过隧道.【能力挑战题】已知抛物线 x2=4y,定点 A(12,39),点 P 是此抛物线上的一动点,F 是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值.【解析】将 x=12 代入 x2=4y,得 y=3639.所以点 A(12,39)在抛物线内部,抛物线的焦点为(0,1),准线 l 为 y=-1.过 P 作 PBl 于点 B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,由图可知,当 P,A,B 三点共线时,|PA|+|PB|最小.所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.故|PA|+|PF|的最小值为 40.关闭 Word 文档返回原板块
