1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 二十三函数的极值与导数(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.已知函数 f(x),xR,且在 x=1 处,f(x)存在极小值,则 ( )A.当 x(-,1)时,f(x)0;当 x(1,+)时,f(x)0;当 x(1,+)时,f(x)0C.当 x(-,1)时,f(x)0D.当 x(-,1)时,f(x)1 时,f(x)0.2.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(
2、x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【解析】选 A.从 f(x)的图象可知 f(x)在(a,b)内从左到右单调性依次为增减增减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.3.下列说法正确的是 ( )A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数 f(x)=|x|只有一个极小值D.函数 y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选 C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故 A,B,D 错误,C 正确,函数 f(x)=|x|只有一个极小值为 0
3、.4.(2016惠州高二检测)函数 y=x3-6x 的极大值为 ( )A.4 B.3 C.-3 D.-4【解析】选 A.y=3x 2-6,令 y0,得x 或 x0;当 x0 时,f(x)0,b0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值,则 + 的最小值为 ( )A. B. C. D.【解析】选 C.因为函数 f(x)=4x3-ax2-2bx 在 x=1 处有极值,所以 f(1)=12-2a-2b=0,即 a+b=6,则 + = (a+b) = = (当且仅当 = 且 a+b=6,即 a=2b=4 时取“=”);6.(2016沈阳高二检测)若函数 f(x)=x2-2bx+
4、3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ( )A.(-,1) B.(1,+)C.(0,1) D.【解析】选 C.f(x)=2x-2b=2(x-b),令 f(x)=0,解得 x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有 00,符合题意.所以实数 b 的取值范围是(0,1).7.(2016广州高二检测)设函数 f(x)=ex(sinx-cosx)(0x2015),则函数 f(x)的各极大值之和为 ( )A. B.C. D.【解析】选 D.由题意,得f(x)=(e x)(sinx-cosx)+e x(sinx-cosx)=2exsinx,所以 x(2k,2k+)时 f
5、(x)递增,x(2k+,2k+2)时,f(x)递减,故当 x=2k+ 时,f(x)取极大值,其极大值为f(2k+)=e 2k+ sin(2k+)-cos(2k+)=e2k+ ,又 0x2015,所以函数 f(x)的各极大值之和为S=e +e3 +e5 +e2015 =8.已知函数 f(x)的定义域为(0,+),且满足 f(x)+xf(x)= ,f(e)=,则下列结论正确的是 ( )A.f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值C.f(x)既有极大值又有极小值D.f(x)没有极值【解析】选 D.因为 f(x)+xf(x)= ,所以xf(x)= ,所以 xf(x)= (lnx)2+c.又
6、因为 f(e)= ,所以 e = (lne)2+c,解得 c= ,所以 f(x)= (lnx)2+1 ,f(x)= 0,所以函数 f(x)在(0,+)上为减函数,所以 f(x)在(0,+)上没有极值.二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)9.(2016银川高二检测)函数 f(x)= x3- x4在区间 上的极值点为 .【解析】因为 f(x)= x3- x4,所以 f(x)=x 2-x3=-x2(x-1),令 f(x)=0,则x=0 或 x=1,因为 x ,所以 x=1,并且在 x=1 左侧 f(x)0,右侧f(x)0,f(x)在 R 上为增函数,f(x)无极值.当 a0 时,令 f(x)=
7、0,得 ex=a,x=lna,所以 x(-,lna),f(x)0,所以 f(x)在(-,lna)上单调递减,在(lna,+)上单调递增,所以 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且极小值为 f(lna)=lna,无极大值.综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时,所以 f(x)在 x=lna 处取得极小值 lna,无极大值.12.(2016山东高考)设 f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x，aR.(1)令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间.(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值,求实数 a 的取值范围.【解析】(1)g(x)=f(x)=ln x2ax+2
8、a,所以 g(x)= 12a.当 a0,x(0,+)时，g(x)0,函数 g(x)单调递增.当 a0,x 时，g(x)0,函数 g(x)单调递增,(0,)2ax 时，g(x)0,函数 g(x)单调递增区间为 ，1(0)2a，函数 g(x)单调递减区间为 .(,(2)由(1)知 f(1)=0.当 a0，f(x)单调递增，所以 x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(x)在 x=1 处取得极小值，不合题意.当 01 时，由(1)知 f(x)在 内单调递增，12a 1(0)2a，所以 x(0, 1)时,f(x)0,f(x)单调递增,(1)a，所以 f(x)在 x=1 处取得极小值，不
9、合题意.当 a= , =1 时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+)内单调递2a减，所以x(0,+)时,f(x)0,f(x)单调递减，不合题意.当 a ,00,f(x)单调递增，12a1(,)2a当 x(1,+)时,f(x) .12【补偿训练】(2015梅州高二检测)已知函数 f(x)=x3-bx2+2cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称.(1)求 b 的值.(2)若函数 f(x)无极值,求 c 的取值范围.【解析】(1)f(x)=3x 2-2bx+2c,因为函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以- =2,即 b=6.(2)由(1)知,f(x)=x 3-6x2+2cx,
10、f(x)=3x 2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当 2c-120,即 c6 时,f(x)0 恒成立,此时函数 f(x)无极值.【能力挑战题】已知函数 f(x)= (c0 且 c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x=-c.(1)求函数 f(x)的另一个极值点.(2)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m,并求 M-m1 时 k 的取值范围.【解析】(1)f(x)= ,由题意知 f(-c)=0,即得 c2k-2c-ck=0,(*)因为 c0,所以 k0.由 f(x)=0 得-kx 2-2x+ck=0,由根与系数的关系知另一个极值点为 x=1(或 x=c- ).(2)由(*)式得 k= ,即 c=1+ .当 c1 时,k0;当 00 时,f(x)在(-,-c)和(1,+)内是减函数,在(-c,1)内是增函数.所以 M=f(1)= = 0,m=f(-c)= = 0,
