1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课后提升作业 二十四函数的最大(小)值与导数(45 分钟 70 分)一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.(2016衡水高二检测)函数 y=x-sinx,x 的最大值是 ( )A.-1 B. -1 C. D.+1【解析】选 C.因为 y=1-cosx,当 x 时,y0,则函数 y 在区间 上为增函数,所以 y 的最大值为 ymax=-sin=.【补偿训练】函数 f(x)= x2-lnx 的最小值为 ( )A. B.1 C.0 D.不存在【解析】选 A.f(
2、x)=x- = ,且 x0.令 f(x)0,得 x1;令 f(x)0,所以 x=1 时 f(x)最小,最小值为 f(1)=3.3.已知函数 f(x)=ax-lnx,当 x(0,e(e 为自然常数),函数 f(x)的最小值为 3,则 a 的值为 ( )A.e B.e2 C.2e D.2e2【解析】选 B.由 f(x)=ax-lnx 得 f(x)=a- ,因为 x(0,e,所以当 a 时,f(x)在 x(0,e是减函数,最小值为 f(e)=ae-10,不满足题意,当 a ,f(x)在 是减函数,是增函数,所以最小值为 f =1+lna=3a=e2.【补偿训练】(2015大庆高二检测)若函数 y=x
3、3+ x2+m 在-2,1上的最大值为 ,则 m 等于 ( )A.0 B.1 C.2 D.【解题指南】先求出函数 y=x3+ x2+m 在-2,1上的最大值,再依据题设条件可得到关于 m 的方程,解方程即得出 m 的值.【解析】选 C.y= =3x2+3x=3x(x+1).由 y=0,得 x=0 或 x=-1.因为 f(0)=m,f(-1)=m+ .f(1)=m+ ,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以 f(1)=m+ 最大.所以 m+ = .所以 m=2.4.已知 y=f(x)是奇函数,当 x(0,2)时,f(x)=lnx-ax ,当 x(-2,0)时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值
4、等于 ( )A. B. C. D.1【解析】选 D.因为 f(x)是奇函数,所以 f(x)在(0,2)上的最大值为-1.当 x(0,2)时,f(x)= -a,令 f(x)=0 得 x= ,又 a ,所以 00,f(x)在 上单调递增;当 2x 时,f(x)m,则实数m 的取值范围是 ( )A.m0,故函数 f(x)在(1,2上单调递增,所以 f(x)min=f(1)=0,所以 a0,即 a 的最大值为 0.答案:0【规律总结】 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.一般地,可采用分离参数法.f(x)恒成立f(x) max;f(x)
5、恒成立f(x) min.三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)11.(2016长沙高二检测)已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,x-1,2的最大值为 3,最小值为-29,求 a,b 的值.【解析】f(x)=3ax 2-12ax=3ax(x-4),令 f(x)=0,得 x1=0,x2=4(舍去).(1)当 a0 时,列表如下:x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2f(x) + 0 -f(x) -7a+b b -16a+b由表可知,当 x=0 时,f(x)取极大值,也就是函数在-1,2上的最大值,所以 f(0)=3,即 b=3.又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(
6、-1),所以 f(2)=-16a-29=3,所以 a=-2.综上可得,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.【警示误区】分类讨论由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.12.(2016黄山高二检测)已知函数 f(x)=-x3+3x2+9x+a.(1)求 f(x)的单调递减区间.(2)若 f(x)在区间-2,2上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.【解题指南】(1)先求出函数 f(x)的导函数 f(x),然后令 f(x)3,所以函数 f(x)的单调递减区间为(-,-1),(3,+).(2)因
7、为 f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以 f(2)f(-2).因为在(-1,3)上 f(x)0,所以 f(x)在-1,2上单调递增,又由于 f(x)在-2,-1上单调递减,因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间-2,2上的最大值和最小值,于是有 22+a=20,解得 a=-2.故 f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此 f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数 f(x)在区间-2,2上的最小值为-7.【能力挑战题】已知函数 f(x)= x2+lnx(aR).(1)当 a=1 时,求 f(x)在区间1,e上的最大值和最小值.(2)若
8、在区间(1,+)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,求 a 的取值范围.【解析】(1)当 a=1 时,f(x)= x2+lnx,f(x)=x+ = ;对于 x1,e,有 f(x)0,所以 f(x)在区间1,e上为增函数,所以 f(x)max=f(e)=1+ ,f(x)min=f(1)= .(2)令 g(x)=f(x)-2ax= x2-2ax+lnx,在区间(1,+)上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 下方,等价于 g(x),令 g(x)=0,得 x1=1,x2= ,当 x2x1=1,即 0,此时 g(x)在区间(x 2,+)上是增函数,当 x+时,有 x2-2ax+,lnx+,g(x)g(x 2),+),不合题意;当 x2x 1=1,即 a1 时,同理可知,g(x)在区间(1,+)上是增函数,当 x+时,有 x2-2ax+,lnx+,g(x)(g(1),+),也不合题意.
