1、向量数乘运算及其几何意义【知识梳理】1向量数乘运算一般地，规定实数 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 a，其长度与方向规定如下：(1)|a| |a|；(2)a(a 0)的方向Error!特别地，当 0 或 a0 时，0a0 或 0 0.2向量数乘的运算律设 ， 为实数，则(1)( a)( )a；(2)()aa a；(3)(a b)ab.特别地，( )a(a) (a) ，(ab)ab.3共线向量定理向量 a(a0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 b a.4向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量 a，b，以及任意实数、 1、 2，
2、恒有 (1a2b) 1a2b.【常考题型】题型一、向量的线性运算【例 1】 化简下列各式：(1)3(6a b)9 ；(a 13b)(2) 2 ；123a 2b (a 12b) (12a 38b)(3)2(5a 4bc)3( a3bc)7a.解 (1) 原式 18a3b9a 3b9a.(2)原式 a ba ba b0.12(2a 32b) 34 34 34(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.【类题通法】向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项” “提取公因式” ，这里的“同类项” “公因式”指的是向量【对点训练】化简下列各式：(1)2(3
3、a 2b)3(a5b)5(4ba) ；(2) .1622a 8b 44a 2b解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b；(2)原式 (4a 16b16a8 b) (12a24b) 2a 4b.16 16题型二、在几何图形中用已知向量表示未知向量【例 2】 如图所示，D ，E 分别是ABC 的边 AB，AC 的中点，M，N 分别是 DE，BC的中点，已知 a， b，试用 a，b 分别表示 ， ， .BCDEC解 由三角形中位线定理，知 DE BC，故 ，即 a./12 12B12 ab a ab.EDE12 12 MNBN12D12 C ab a ab.14 12 14【类题通法】用
4、已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用【对点训练】如图所示，四边形 OADB 是以向量 a，OAb 为邻边的平行四边形又 BM BC，CN CD，试用 a，b 表示 ， ，OB 13 13 OMN.MN解： ( ) (ab) ，13 C16BA16O16 b a b a b.O16 16 16 56 ，CN13 D16O 12 16 D23O ( ) (ab)23 AB23 (ab ) a b a b.MNO23 16 56 12 16题
5、型三、共线向量定理的应用【例 3】 (1)已知 e1，e 2 是两个不共线的向量，若 2e 18e 2， e 13e 2，ABC2e 1e 2，求证：A，B， D 三点共线CD(2)已知 A，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若 x y ，求 xy 的OPB值解 (1) 证明： e 13e 2， 2e 1e 2，C e 14e 2.又 2e 18e 22(e 14e 2)，AB 2 ， .DBAB 与 BD 有交点 B，A，B，D 三点共线(2)由于 A，B ，P 三点共线，所以向量 ， 在同一直线上，由向量共线定理可知，AP必定存在实数 使 ，即 ( )，所以 (1) OBOPOA，
6、故 x1 ，y ，即 xy 1.O【类题通法】用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若 ba( a 0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若 ba( a 0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量 ，则 ， 共线，又 与 有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，这ABCABC是证明三点共线的重要方法【对点训练】如图所示，已知 D，E 分别为 ABC 的边 AB，AC 的中点，延长 CD 到 M 使 DMCD ，延长 BE 至 N 使 BEEN，求证： M，A，N 三点共线证明：D 为 MC 的中点，且 D 为 AB 的中点，
7、 ， .ABMCABC同理可证明 .N . ， 共线且有公共点 A，M，A，N 三点共线【练习反馈】1设 a 是非零向量， 是非零实数，则下列结论中正确的是( )Aa 与 a 的方向相同Ba 与a 的方向相反Ca 与 2a 的方向相同D|a|a|解析：选 C 只有当 0 时， a 与 a 的方向相同，a 与a 的方向相反，且|a| |a|.因为 20，所以 a 与 2a 的方向相同2. 等于( )13122a 8b 4a 2bA2ab B2baCba Dab解析：选 B 原式 (2a8b) (4a2b)16 13 a b a ba2b2ba.13 43 43 233下列向量中 a，b 共线的有
8、_( 填序号) a2e，b2e ；ae 1 e2，b2e 12e 2；a4e 1 e2，be 1 e2；25 110ae 1e 2，b2e 12e 2.解析：中，ab；中，b2e 12e 22(e 1e 2)2a；中，a4e 1 e24254b ；中，当 e1，e 2 不共线时，ab.故填.(e1 110e2)答案：4已知向量 a，b 是两个不共线的向量，且向量 ma3b 与 a(2 m)b 共线，则实数 m的值为_解析：因为向量 ma3b 与 a(2 m) b 共线且向量 a，b 是两个不共线的向量，所以m ，解得 m1 或 m3. 32 m答案：1 或 35.如图所示，已知ABCD 的边
9、BC，CD 的中点分别为 K， L，且 Ae 1， e 2，试用 e1，e 2 表示 ， .AKLBCD解：法一：设 x，则 x，BCK12e 1 x， e1 x，12 D12 14又 x，由 得ALAx e1 xe 2，解方程，得 x e2 e1，12 14 43 23即 e2 e1，BC43 23由 ， e 1 x，得 e1 e2.DA12 CD43 23法二：设 x， y ，则 x， y.BK12 L12由 ， 得BKAError!2得 x2x e 1 2e2，解得12x (2e2e 1)，即 (2e2e 1) e2 e1，23 BC23 43 23同理得 y (2e 1e 2)，即 e1 e2.23 D43 23法三：如图所示，BC 与 AL 的延长线相交于点 E.则DLACLE，从而 2 ， ， ，AELCADKE32BC由 ，K得 2e 2e 1，即 (2e2e 1) e2 e1.32B23 43 23同理可得 (2e 1e 2) e1 e2.CD23 43 23
