1、平行线例 1：已知：如图，直线 AB、CD 被 EF 所截，且 1 + 2 = 180。求证：AB /CD证一： 1 + 2 = 180 （已知） 1 与 2 互补 （补角定义） EF 是一条直线 （已知） 1 与 3 互补 （邻补角定义）有 2 = 3 （同角的补角相等） AB / CD （同位角相等两直线平等）证二：如图 1 + 2 = 180 （已知） 2 = 4 （对顶角相等） 1 + 4 = 180 （等量代换） 1 与 4 互补 （补角定义） 1 与 3 互补 （邻补角定义） 3 = 4 （同角的补角相等） AB / CD （内错角相等两直线平行）证三：如图 直线 AB 与 EF
2、相交 （已知） 1 = 5 （对顶角相等） 直线 CD 与 EF 相交 （已知） 2 = 4 （对顶角相等） 1 + 2 = 180 （已知） 4 + 5 = 180 （等量代换） AB / CD （同旁内角互补，两直线平行）例 2：注明理由与看图填空1、如图 1： E = 3 2 = 1 （已知） 直线 DE 与 AC 相交于 F （已知） 3 = 2 （ ） 3 = 1 （ ） E = 1 （ ） AD / EC （ ）2、 1 = 2 （已知） / （ ） 3 + 4 = 180 （已知） / （ ） 4 与 5 互补 （已知） / （ ） A = E （已知） / （ ） 答案：1、对
3、顶角相等；等量代换；等量代换；同位角相等两直线平等。2、CE / AD 内错角相等两直线平行；CF / AD 同旁内角互补两直线平行；CB / FD 同旁内角互补两直线平行；EC / AD 内错角相等两直线平行。3、如图： CD AB，FG AB （已知） / （ ） = （ ） 1 = 2 （已知） = （ ） / （ ）4、如图 4 1 = 2 （已知） / D = 又 D = 3 （已知） = /答案 3：CD / GF 垂直于同一直线的两条直线平行； 2 = 3 两直线平行同位角相等， 1 = 3；等量代换； DE / BC 内错角相等两直线平行。答案 4：AD / BE 内错角相等两
4、直线平行； D = DBE 两直线平行内错角相等； DBE = 3 等量代换；DB / EC 内错角相等两直线平行。例 3：已知：如图 AB / DF，BC / DE求证： 1 = 2证明： AB / DF （已知） ABD = FDB （两直线平行，内错角相等） BC / DE （已知） CBD = EDB （两直线平行内错角相等） ABD CBD = FDB EDB（等量减等量差相等）即： 1 = 2例 4：已知，如图 AB / CD，AB EF求证：CD EF证明： AB / CD （已知） AGE = CHE （两直线平行同位角相等） AB EF （已知） AGE = 90 （垂直定义
5、） CHE = 90 （等量代换） CD EF （垂直定义）说明： 1、一条直线垂直平行线中一条，也垂直另一条。2、本题可仿照例 1 采用另外的证法 2 和证法 3，即利用两条线平行除了同位角相等之外还有内错角相等，同旁内角互补可用。例 5：已知：如图 AB / BC，AD / BC求证： A = C， B = D分析：得用两直线平行同旁内角互补，由已知条件可推出 A 与 B 互补， C 与 B 互补，于是 A = C，同理可证 B = D 证明： AB / CD C + B = 180 （两直线平行同旁内角互补） AD / BC （已知） A + B = 180 （两直线平行同旁内角互补）
6、A = C （同角的补角相等）同理 B = D本题的已知条件虽然给出了两组平行线，但是由于原图形中只出现同旁内角，因此只能利用“两直线平行同旁内角互补”这条性质定理，从而得出上面的证法。但是两直线平行还可推出同位角相等，内错角相等，为了充分利用已知条件，拓广证题思路，我们可以在原图形中添加一些线构选出同位角或内错角，从而利用平行线的其它性质公理或定理来证明。分析二：将原图形稍加变化，延长 AB 至 E，如图，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，由已知条件可推出 C = 1， A = 1，于是 A = C，同理可得 B = D。证明二：延长 AB 至 E AB / CD （已知） C = 1
7、（两直线平行，内错角相等） AD / BC （已知） A = 1 （两直线平行，同位角相等） A = C （等量代换）同理 B = D 分析三：原图已有两组平行线，但是本图不能直接使用平行线的性质，我们已经知道它的三条性质都要求两条平行线被第三条直线所截，目前就是缺少这第三条直线，此时，我们应该添加第三条线，能产生出同位角、内错角之一即可，这条辅助线就是 AC。证明三：连结 AC AB / CD （已知） 1 = 2 （两直线平行内错角相等） AD / BC （已知） 3 = 4 （两直线平行内错角相等） 1 + 3 = 2 + 4（等量加等量和相等）即 BAD = BCD同理 B = D （
8、 ）【练习】：一、判断正误（对的画 ，错的画）1不相交的两条直线叫做平行线。2在同一平面内如果两条线段不相交，那么这两条线段就平行。3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角相等。4两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补。二、选择题1如果角的两边有一边在同一条直线上，另一边互相平行，则这两个角A相等 B互补 C相等且互补 D相等或互补2在同一平面内，直线 l1 和 l2 相交于 O 点，又 ，则直线 l1 和 l3 的位置关l23/系是A平行 B相交 C重合 D平行或重合3由图 由 AC / ED，可知相等的角有A2 对 B3 对 C4 对 D6 对4如图 由 AE / BC
9、可知相等的角有A1 对 B2 对 C3 对 D4 对5两条平行线直线被第三条直线所截时，（ ）的两条角平分线互相平行A只有同位角 B只有内错角C只有同旁内角 D同位角或内错角6两条平行线被第三条直线所截得的角中，角平分线互相垂直的是A内错角 B同位角 C同旁内角 D内错角和同位角7如图，已知 DAC = ACB , D = 78 ，则 BCD 等于A78 B112 C 102 D12 三、看图填空，并注明理由1 B = C （已知） / （ ） = （已知） BC / DE （ ）2 BCD 是一条直线 （已知） ACB = 47 （已知） ACD = （ ） CE / BA （已知） A =
10、 ACE （ ） B = ECD （ ） A + B = ACD （ ） A + B = （ ） 四、已知 ABC = ADC，BE、DF 分别是 ABC、 ADC 的平分线且 1 = 2求证：FD / BE【答案】：一、1 2 3 4二、1D 2B 3D 4B 5D6C 7C二提示 3：由 AC / ED 被直线 FB 所截，有同位角 FAC = FED、 BAC = BED 相等；由 AC / ED 被 FD 所截，有同位角 FHA = FDE，内错角 CHD = FDE 相等，由 ED / AC 被直线 CD 所截有同位角 EDB = C 相等，为此还由直线 FD 与 AC 交于 H，对
11、顶角 AHF = DHC 相等三、1、AB / CD，内错角相等两直线平行； C = D，内错角相等两直线平行。2、133 平角定义；两直线平行内错角相等；两直线平行同位角相等；等量加等量和相等。133 等量代换。四、证明： ABC = ADC （已知） DF 平分 ADC （已知） 2 = ADC （角平分线定义）1 EB 平分 ABC （已知） 3 = ABC （角平分线定义）12则 2 = 3 （等量的一半相等） 2 = 1 （已知） 1 = 3 （等量代换）则 DF / BE （同位角相等两直线平行）简单的几何证明例 1：如图，直线 AB / CD，直线 EF 分别与 ABCD交于 M
12、，N，分别过 M、N 做 MP、MQ，使 1 = 2求证：MP / NQ分析：要证 MP / NQ 须要使平行线的判定 去找角。要找角须要确定第三条直线，由图可知，EF 即是与 MP、QN 相交的第三条直线 找到 EMP 和 ENQ 它们是同位角，它们相等吗？ 从条件出发 AB / CD 产生了许多同位角，内错角，同旁内角，与本题须求相关的是 EMB 等于 END, 已知又有 1 = 2 可得到 EMP 和 ENQ 相等的关系。故可证。证明： AB / CD （已知） EMB = END （两直线平行同位角相等） 1 = 2 （已知） EMB 1 = END 2 （等量减等量差相等）即 EMP
13、 = ENQ MP / NQ （同位角相等两直线平行）例 2：已知：如图 四边形 ABCD 中， A = 106 ， B = 74+ ，BD DC 于 D，EF DC 于 F。求证： 1 = 2 分析：欲证 1 = 2, 从图可知，角的两边四条线，构不成两条平行线被第三条线所截。因此它也不能通过平行去找角相等。此时须要找第三个角来进行代换。从图可找到 1 与 DBC 是内错角， 2 与 DBC 是同位角，它们能不能相等，就须要看 AD 与 BC 是否平行？BD 与 EF 是否平行？由已知 BD DC 于 D，EF DC 于 F，可证 BD / EF由已知 A = 106 ， ABC = 74+
14、 可知 AD / BC由须知 BD 与 EF 平行 AD 与 BC 平行到可乔 BD / EF，AD / BC 本题思路已经形成。证明： A = 106 ， ABC = 74+ （已知） A + ABC = (106 ) + (74+ ) = 180 则 AD / BC （同旁内角互补两直线平行） 1 = DBC （两直线平行同错角相等） BD DC, EF BC （已知） BD / EF （垂直于同一直线的两直线平行） 2 = DBC （两直线平行同位角相等）由可知 1 = 2 （等量代换）例 3：已知：如图 DA AB, EB AB，DG 平分 ADE，CF 平分 DCF求证：DG / C
15、F分析：欲证 DG / CF，须利用平行线判定定理，须要找到角从图来看就是 GDC 与 DCF 最靠近须知。从已知条件看，由 AD AB，BC AB 可知 AB / CD。由此找角可知AD、BC 与第三线 AB 相交，同时又与 DC 相交，后者更靠近须知，从已知还可以得到 GDC 和 ADC 的关系。 FCD 和 DCE 的关系这就要选择一个恰当的方式来表达，因此它有三种方式，最好是 GDC = ADC。据等量公理，12本题可证。证明： AD AB BC AB （已知） AD / BC （垂直于同一直线的两直线平行） ADC = DCE （两直线平行内错角相等） DG 平分 ADC （已知）
16、GDC = ADC （角平分线定义）12同理 DCF = DCE12 GDC = DCF （等量的一半相等）DG / CF （内错角相等两直线平行）例 4：已知；如图 AB / ED求证 B + BCD + D = 360 分析一：欲证三个三角的和为 360须要将三个角的和分解出两对平行线的同旁内角，现只有一对平行线这是已知条件，再添加一条直线即可造出两对平行线。关健是这条线在哪里作更合适。再看求证三个角的三个顶点的位置，得到法一：证明：过 C 点作 CF / AB AB / ED （已知） FC / ED （平行于同一直线的两直线平行） B + BCF = 180 （两直线平行同旁内角互补）
17、 FCD + D = 180 （两直线平行同旁内角互补） B + BCF + FCD + D = 360 （等量加等量和相等）即 B + BCD + D = 360 分析二：欲证三个角和为 360已知周角是 360 故须将这三角转化为周角。证明二：过 C 点作 CF / AB ABC = BCF（两直线平行内错角相等） ED / AB （已知） ED / CF （平行于同一直线的两直线平行） EDC = DCF （两直线平行内错角相等） DCB + BCF + FCD = 360 （周角定义） DCB + ABC + CDE = 360 （等量代换）即 BCD + B + D = 360 分析
18、三：欲证三个角之和为 360，若转化为两个邻补角之和也是 360，这两个邻角要和三个角有紧密的联系才能解决问题证明： 延长 AB、ED，过 C 点作 CF / AB 3 = 4 （两直线平行内错角相等） AB / ED （已知） ED / CF （平行于同一直线的两直线平行） 1 = 2 （两直线平行内错角相等） 1 + EDC = 180 （平角定义） 4 + ABC = 180 （平角定义） 1 + 4 + EDC + ABC = 360 （等量加等量和相等） 2 + 3 + EDC + ABC = 360 （等量代换）即 DCB + D + B = 360 例 5：已知：如图 ABC =
19、 50， ACB = 60，BO 平分 ABC，OC 平分 ACB，OB、OC 交于 O 点，求 BOC 的度数。分析：欲求 BOC 的度数，现在找不到满意的须知。从条件入手 B = 50， C = 60，OB 平分 B 可知 1 = 25, OC 平分 C 可知 2 = 60。此时 BOC 的度数要依赖于 1 与 2 去求，它们之间的关系小学已经知道但没有证明过，这里不能用。但是从它们之和为 180想到平角进而想到直线，过 O 点作一条直线是极容易的事，但随便作一条直线很难发现什么角和 1、 2 的关系，此时可以悟到作平行线才能找到等角。解：过 O 点作 BC 的平行线交 AB 于 E，交
20、AC 于 F 1 = 3 （两直线平行，内错角相等） 2 = 4 （同上） EOF = 180 （平角定义） 3 + 4 + BOC = 180 B = 50 （已知）OB 平分 B （已知） 1 + B = 25 （角平分线定义）2同理 2 = 30 1 + 2 + BOC = 180 （等量代换）有 25+ 30+ BOC = 180 （等量代换） BOC = 125 答： BOC 为 125的角。说明：目前我们所作的辅助线主要是作平行线，应该不断积累经验，在什么条件下作辅助线，怎样作。作了之后图形结构发生了什么变化，产生了什么新的条件可供使用等等。例 6：如图所示，已知 AB / CD、
21、 B =100，EF平分 BEC , GE EF 于 E求证： BEG = DEG 分析：欲证 BEG = DEG 须证 EG 是 BEG 平分线，或找等量代换或者通过计算。若从条件出发，标明已知条件如图，还是通过计算来解决问题比较好。证明： AB / CD （已知） B + BEC = 180 （两直线平行同旁内角互补） B = 100 （已知） BEC = 180100= 80（角平分线定义） FE GE （已知） FEG = 90 （垂直定义）有 BEG = 9040= 50 （互为余角定义） CED 是一条直线 CEB + BEG + EGD = 180 （平角定义）则 GED = 1
22、80 CEB BEG= 1808050 = 50 故 GED = BEG （等量代换）说明：本题还可以有别的证明方法。【练习】：1如图所示，已知 1 = 4, 2 = 6 且 1 + 2 = 180 求证： ()/()234151ll证明：（1） （ ）l12/（2） 2 + 3 = 180 （邻补角定义） 1 + 2 = 180 （已知） 1 = 3 （ ）或者 （已证）l2/ 1 = 3 （ ） 1 = 4 （已知） 3 = 4 （ ）则 （ ）l35/（3） （已证）l/ 3 = 4 （ ） 2 + 3 = 180 （平角定义） 5 + 6 = 180 （平角定义）又 2 = 6 （已知
23、） 3 = 5 （ ）由、得 4 = 5 （ ） （ ）l2/（4） （已证）l1/l2 / l4 （已证） l 1 / l4 （ ）答案：（1） 1 + 2 = 180，同旁内角互补两直线平行（2）同角的补角相等；两直线平行同位角相等；等量代换，同位角相等两直线平行；（3）两直线平行同位角相等；等角的补角相等；等量代换，内错角相等两直线平等。（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。图 1 图 22已知：如图（1） B + BCD + D = 360 求证 AB / DE。3已知：如图（2）DE AC, BF AC， 1 = 2 ，求证 A = C。答案 2：证明：过 C 点作 CF / DE则 1 + EDC = 180 （ ？） EDC + 1 + 2 + B = 360 （已知） B + 2 = 180 （等量变换） FC / AB （同旁内角互补两直线平行）有 AB / DE （平行于同一直线的两直线平行）3：证明： DE AC，BF AC （已知） DE / BF （垂直于同一直线的两直线平行） 2 = 3 （两直线平行，同位角相等） 1 = 2 （已知） 1 = 3 （等量代换）则 AB / CD （内错角相等两直线平行） A = C （两直线平行内错角相等）
