1、第八节 相似多边形的周长比和面积比第十课时课 题4.8.1 相似多边形的性质（一）教学目标（一）教学知识点相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.（二）能力训练要求1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似多边形的性质.2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（三）情感与价值观要求1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系，培养学生的探索精神和合作意识.2.通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.教学重点1.相似三角形中对应线段比值的推导.2.运用相似三角形的性质解决实际问题.教学难点相似三角形的性质的运用.教学方法引导启发式
2、教具准备投影片两张第一张：（记作4.8.1 A）第二张：（记作4.8.1 B）教学过程.创设问题情境，引入新课师在前面我们学习了相似多边形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形是相似多边形中的一种，因此三对对应角相等，三对对应边成比例.那么，在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质.新课讲解1.做一做投影片（4.8.1 A）钳工小王准备按照比例尺为 34 的图纸制作三角形零件，如图 438，图纸上的ABC 表示该零件的横断面A BC，CD 和 CD 分别是它们的高 .（1） , , 各等于多少？BAC（2）AB
3、C 与AB C 相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.（3）请你在图 438 中再找出一对相似三角形.（4） 等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.D图 438生解：（1） = = =BAC3（2）ABCAB C = =ABCAB C ，且相似比为 34.（3）BCDBCD.（ADCAD C）由ABCAB C 得B= BBCD=BCDBCDBCD（同理ADCAD C）（4） =43BDCBDC = =2.议一议已知ABCAB C ，ABC 与ABC的相似比为 k.（1）如果 CD 和 CD是它们的对应高，那么 等于多少？D（2）如果 CD 和 CD是它们的对应角平分线,那么 等于多少
4、？如果 CD 和CD 是它们的对应中线呢？师请大家互相交流后写出过程.生甲从刚才的做一做中可知，若ABCABC，CD、C D是它们的对应高，那么 = =k.D生乙如 439 图，ABCABC，CD、CD分别是它们的对应角平分线，那么 = =k.C图 439ABCAB C A=A,ACB=ACBCD、C D分别是ACB 、AC B的角平分线 .ACD=ACDACDACD = =k.生丙如图 440 中，CD、CD分别是它们的对应中线，则 = =k.DCA图 440ABCAB C A=A， = =k.BACD、C D分别是中线 = = =k.21ACDACD = =k.由此可知相似三角形还有以下性
5、质.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.例题讲解投影片（4.8.1 B）图 441如图 441 所示，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=60 cm,高 AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.（1）ASR 与ABC 相似吗？为什么？（2）求正方形 PQRS 的边长.解：（1）ASRABC ，理由是：四边形 PQRS 是正方形 SRBC（2）由（1）可知ASRABC.根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得 BCSRADE设正方形 PQRS 的边长为 x cm，则 AE=（40x）cm，所以 604x解得：x=24所以，正方形 PQRS 的边长为 24 c
6、m.课堂练习如果两个相似三角形对应高的比为 45,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？（都是 45）.课时小结本节课主要根据相似三角形的性质和判定推导出了相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.课后作业习题 4.10.1.解：ABCAB C,BD 和 BD是它们的对应中线，且 = .CA23 = =D23 BD=642.解：ABCAB C,AD 和 AD是它们的对应角平分线，且 AD=8 cm,AD=3 cm. = ,设ABC 与AB C 对应高为 h1,h2. =21h = = .21DBA38.活动与探索图 4
7、42如图 442，AD，AD分别是ABC 和ABC的角平分线，且= =B你认为ABCAB C 吗？解：ABCAB C 成立. = =DABDABDB=B,BAD=BAD BAC=2 BAD ,BAC =2BADBAC= BACABCAB C 板书设计4.8.1 相似多边形的性质（一）一、1.做一做2.议一议3.例题讲解二、课堂练习三、课时小节四、课后作业备课资料如图 443，CD 是 RtABC 的斜边 AB 上的高.图 443（1）则图中有几对相似三角形.（2）若 AD=9 cm,CD=6 cm,求 BD.（3）若 AB=25 cm,BC=15 cm,求 BD.解：（1）CDABADC=BD
8、C= ACB=90在ADC 和 ACB 中ADC=ACB=90A= AADCACB同理可知，CDBACBADCCDB所以图中有三对相似三角形.（2）ACDCBD BDCA即 BD69BD=4 （cm）（3）CBDABC .CA 152BBD= =9 （cm ）.第十一课时课 题4.8.2 相似多边形的性质（二）教学目标（一）教学知识点1.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.2.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.（二）能力训练要求1.经历探索相似多边形的性质的过程，培养学生的探索能力.2.利用相似多边形的性质解决实际问题训练学生的运用能力.（三）情感与价值观要求1.学生通过交流、归
9、纳，总结相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系，体会知识迁移、温故知新的好处.2.运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，增强学生对知识的应用意识.教学重点1.相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导.2.运用相似多边形的比例关系解决实际问题.教学难点相似多边形周长比、面积比与相似比的关系的推导及运用.教学方法引导启发式通过温故知新，知识迁移，引导学生发现新的结论，通过比较、分析，应用获得的知识达到理解并掌握的目的.教具准备投影片四张第一张：（记作4.8.2 A）第二张：（记作4.8.2 B）第三张：（记作4.8.2 C）第四张：（记作4.8.2 D）教学过程.创设问题情境，引入新课
10、师 （拿大小不同的两个等腰直角三角形三角板）.我手中拿着两名同学的两个大小不同的三角板.请同学们观察其形状，并请两位同学来量一量它们的边长分别是多少.然后告诉大家数据.（让学生把数据写在黑板上）师同学们通过观察和计算来回答下列问题.1.两三角形是否相似.2.两三角形的周长比和面积比分别是多少？它们与相似比的关系如何？与同伴交流.生因为两三角形都是等腰直角三角形，其对应角分别相等，所以它们是相似三角形.周长比与相似比相等，而面积比与相似比却不相等.师能不能找到面积比与相似比的量化关系呢？生面积比与相似比的平方相等.师老师为你的重大发现感到骄傲.但这是特殊三角形，对一般三角形、多边形，我们发现的结
11、论成立吗？这正是我们本节课要解决的问题.新课讲解1.做一做投影片（4.8.2 A）图 444在图 444 中，ABCABC，相似比为 .3（1）请你写出图中所有成比例的线段. （2）ABC 与AB C 的周长比是多少？你是怎么做的？（3）ABC 的面积如何表示？ABC的面积呢？ABC 与ABC的面积比是多少？与同伴交流.生 （1）ABCABC = = = = = = .DBA43（2） .43的 周 长的 周 长 = = = .BAC43 Al = CBA4343= .43)(（3）S ABC = ABCD.21SA B C = ABCD. .2)43(21CBA2.想一想如果ABCAB C
12、，相似比为 k，那么ABC 与A BC 的周长比和面积比分别是多少？生由上可知若ABCAB C ，相似比为 k，那么ABC 与A BC 的周长比为 k，面积比为 k2.3.议一议投影片（4.8.2 B）.如图 445，四边形 A1B1C1D1四边形 A2B2C2D2，相似比为 k.图 445（1）四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是多少？（2）连接相应的对角线 A1C1，A 2C2，所得的A 1B1C1 与 A 2B2C2 相似吗？A 1C1D1 与A 2C2D2 呢？如果相似，它们的相似各是多少？为什么？（3）设A 1B1C1，A 1C1D1，A 2B2C2，A
13、2C2D2 的面积分别是 ,1AS221,DCABDCASS那么 各是多少？2121ABA（4）四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？生解：（1）四边形 A1B1C1D1四边形 A2B2C2D2.相似比为 k.（2）A 1B1C1A 2B2C2、A 1C1D1A 2C2D2，且相似比都为 k.四边形 A1B1C1D1四边形 A2B2C2D2 21222D 1A1B1=D 2A2B2,B 1=B 2.B 1C1D1=B 2C2D2,D 1=D 2.在A 1B1C1 与A 2B2C2 中 B 1=B 2.22A 1B1C1A
14、 2B2C2. =k.2同理可知，A 1C1D1A 2C2D2，且相似比为 k.（3）A 1B1C1A 2B2C2,A 1C1D1A 2C2D2.2222)(kSkDCAB照此方法，将四边形换成五边形，那么也有相同的结论.由此可知：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.4.做一做投影片（4.8.2 C）图 446 是某城市地图的一部分，比例尺为 1100000.（1）设法求出图上环形快速路的总长度，并由此求出环形快速路的实际长度.（2）估计环形快速路所围成的区域的面积，你是怎样做的？与同伴交流.图 446解：（1）量出图上距离约为 20 cm，则实际长度约为 20 千米.（2）
15、图上区域围成的面积约为 23.7 cm2.根据相似多边形面积的比等于相似比1100000 的平方，则实际区域的面积约为 23.7 平方千米.随堂练习投影片（4.8.2 D）在设计图上，某城市中心有一个矩形广场，设计图的比例尺是 110000,图上矩形与实际矩形相似吗？如果相似，它们的相似比是多少？图上矩形与实际矩形的周长比是多少？面积比呢？答案：相似，相似比是 110000.周长比是 110000.面积比是 110000 2.课时小结本节课我们重点研究了相似多边形的对应线段（高、中线、角平分线）的比，周长比都等于相似比，面积比等于相似比的平方.课后作业习题 4.11预习位似图形的定义、性质.活
16、动与探究如图 447 已知，M 是 ABCD 的 AB 边的中点，CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD 的面积比是多少？图 447过程：这是一道综合性较高的题目，它考查了相似三角形的性质、面积计算及等积定理等，所以让学生进行讨论、总结，利用所学知识解决这个问题.讨论结果：作 DNAB 于 N，过 E 作 GFAB 于 F.M 为 AB 中点S AMD =SDMB = SABD = S ABCD214S MBD =SMBC （同底等高的两个三角形面积相等）.S MBD S MBE =SMBC S MBE 即 SDME =SCBE因此图中阴影部分的面积与平行四边形的
17、面积之比是 .31板书设计4.8.2 相似多边形的性质（二）一、1.做一做2.想一想3.议一议4.做一做二、课堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料参考例题例 1如图48，在ABC 中 EFBC 且 EF= BC=2 cm，32AEF 的周长为 10 cm，求梯形 BCFE 的周长.图 448解：EF= BC32 BCEFEFBC AEFABC32A周 长周 长 10周 长BABC 周长=15 （cm）梯形 BCF 的周长=ABC 的周长AEF 的周长+2EF =1510+4=9 （cm）例 2如图 449ABC 中，DE BC，S ADE S ABC =49（1）求 AEEC ;（2）求 S
18、ADE S CDE .图 449解：（1）DEBCADEABC又 94ABCDES 32 E21即 21AECAEEC=21（2）连结 CD，过 D 作 DH AC 交 AC 于 H1221CEAHSCDEA参考练习如图 450 平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于点 F，已知BE EC=31，S FBE =18,求 SFDA .图 450答案：324.8 相似多边形的周长比和面积比班级：_ 姓名：_一、 请你填一填（1）若ABCAB C，AB=4，BC =5，AC=6，ABC的最大边长为15，那么它们的相似比是_,ABC 的周长是_.图 481（2）两个相似三角
19、形的相似比为 23，它们周长的差是 25，那么较大三角形的周长是_.（3）如图 481，在 ABCD 中，延长 AB 到 E，使 BE= AB，延长 CD 到 F，使21DF=DC，EF 交 BC 于 G，交 AD 于 H，则BEG 与CFG 的面积之比是_.（4）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的 倍，那么边长应缩小到原来的_倍.二、认真选一选(1)如图 482，把一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点连线 EF 对折，要使矩形 AEFB 与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为（ ）A.21 B. 1 C. 1 D.4132图 482 图 483(2)如图 48
20、3，在ABC 中，D 、E 分别是边 AB、AC 的中点，ADE 和四边形BCED 的面积分别记为 S1、S 2，那么 的值为（ ）21A. B. C. D.2143132图 484(3)如图 484，在 RtABC 中，AD 为斜边 BC 上的高，若 SCAD =3SABD ，则AB AC 等于（ ）A.13 B.1 4 C.1 D.123(4)顺次连结三角形三边的中点，所成的三角形与原三角形对应高的比是（ ）A.14 B.1 3 C.1 D.122三、 灵机一动！哇 某生活小区开辟了一块矩形绿草地，并画了甲、乙两张规划图，其比例尺分别为1200 和 1500，求这块矩形草地在甲、乙两张图纸
21、上的面积比.四、 用数学眼光看世界如图 485，ABC 是一块锐角三角形余料，其中 BC=12 cm，高 AD=8 cm，现在要把它裁剪成一个正方形材料备用，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在AB、 AC 上，问这个正方形材料的边长是多少？图 485参 考 答 案一、 （1）25 37.5 (2)75 (3)116 (4) 2二、 （1）C (2)C (3)C (4)D三、解：设这块矩形绿地的面积为 S，在甲、乙两张规划图上的面积分别为 S1、S 2则 =（ ） 2， =（ ） 2S0S501S 1= ，S 2=4S 1S 2= = =254050125即：这块草地在甲、乙两张图上的面积比为 254四、解：设这个正方形材料的边长为 x cm则PAN 的边 PN 上的高为（8x） cm由已知得：APNABC = ，即 = 解得：x=4.8BCPNAD12答：这个正方形材料的边长为 4.8 cm.
