1、习题课(2)一、选择题12013福建高考设函数 f(x)的定义域为 R，x 0(x00)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A. xR，f(x)f( x0)B. x 0 是 f( x)的极小值点C. x 0 是f (x)的极小值点D. x 0 是f(x)的极小值点解析：极大值点不一定为最大值点，故 A 错；yf( x)与 yf(x)关于 y 轴对称，故 x0 为 f(x)的极大值点，B 错；yf(x) 与 yf(x)关于 x 轴对称，故 x0 为f(x)的极小值点，x 0 不一定为f(x)的极小值点，C 错；yf(x) 与 yf(x)关于原点对称，x 0 是f( x)的极小值点，
2、故 D 对答案：D2函数 yf(x)的定义域为 R，导函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )A. 无极大值点，有四个极小值点B. 无极小值点，有四个极大值点C. 有两个极大值点，两个极小值点D. 有三个极大值点，一个极小值点解析：f(x) 0 的根分别如题图 a、c、e、g.x0，a0 知 c 为极小值点，e0 知 g 为极小值点故选 C.答案：C3若 x2 与 x4 是函数 f(x)x 3ax 2bx 的两个极值点，则有( )Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b4解析：f(x) 3x 22ax b，依题意有 x2 和 x4 是方程 3x22axb0 的两个根，
3、所以有 24， 24，解得 a3，b24.2a3 b3答案：B4函数 f(x)x2cos x 在区间 ，0上的最小值是( )2A B22C. D. 16 3 3解析：f(x) 12sinx ，x ，0，2sinx 1,0，2sinx0,2 f(x )12sinx 0 在 ， 0上恒成立2f(x)在 ，0 上单调递增2f(x) min 2cos( ) .2 2 2答案：A5若 f(x)x 3ax 24 在(0,2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( )Aa3 Ba3Ca3 D00，f( x2)12B. f(x1)0，f(x 2)12解析：f(x) lnx 2ax1，依题意知 f(x)0 有两
4、个不等实根 x1，x 2.即曲线 y11lnx 与 y22ax 有两个不同交点，如图由直线 yx 是曲线 y1lnx 的切线，可知：00，当 xx2 时，f(x )f(1)a ，故选 D.12答案：D二、填空题7函数 f(x)x 33x 21 在 x_处取得极小值解析：由 f(x )3x 26x 0 ，解得 x0 或 x2.列表如下：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时，f( x)取得极小值答案：28设 p：f(x) lnx 2x 2mx1 在(0 ，)上是递增的， q：m 4，则 p 是 q 的_条件解析：f(x) lnx 2x
5、2mx 1 在(0 ，)上是递增的，可知在 (0，)上 f(x) 4xm 0 恒成立，而 4x4，当且仅当 x 时等号成立，( 4x) min4，故只需1x 1x 12 1x要 4m0，即 m4 即可故 p 是 q 的充要条件答案：充要9方程 30 的解有_个(填数字) 1x x解析：设 f(x) 3，x (0，)，则 f(x) 0，f (100) 1030；当 x( 2，ln2)时，f(x)0)(1)求 f(x)的单调区间；(2)求所有实数 a，使 e1f(x)e 2 对 x1，e恒成立注：e 为自然对数的底数解：(1)因为 f(x)a 2lnxx 2ax，其中 x0，所以 f(x) 2x
6、a .a2x x a2x ax由于 a0，所以 f(x)的增区间为(0 ，a)，减区间为(a， )(2)由题意得，f (1)a1e1，即 ae，由(1)知 f(x)在1，e内单调递增，要使 e1f(x)e 2 对 x1 ，e恒成立，只要Error!解得 ae.122013湖南高考已知函数 f(x) ex.1 x1 x2(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 f(x1)f( x2)(x1x 2)时，x 1x 20；当 x0 时，f ( x)0，e x0，故 f(x)0；1 x1 x2同理，当 x1 时，f(x )0.当 f(x1)f(x 2)(x1x 2)时，不妨设 x1x2，由(1)知，x 1(，0)，x 2(0,1)下面证明：x(0,1)，f(x )f(x )，即证ex ex .1 x1 x2 1 x1 x2此不等式等价于(1x)e x 0，1 xex令 g(x)(1x )ex ，则 g(x) x ex (e2x1)1 xex当 x(0,1)时，g(x)0，g(x) 单调递减，从而 g(x)g(0)0.即(1 x)e x 0.1 xex所以x(0,1)，f(x )f(x )而 x2(0,1)，所以 f(x2)f(x 2)，从而 f(x1)f(x 2)由于 x1，x 2(，0)，f(x)在( ，0)上单调递增，所以 x1x 2，即 x1x 20.
