1、课时作业 20一、选择题1设过抛物线 y22px (p0)的焦点的弦为 AB，则| AB|的最小值为( )A. Bpp2C2p D无法确定解析：由题意得当 ABx 轴时，| AB|取最小值，为 2p.答案：C22014四川省成都七中期中考试 抛物线 y24x 的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 FPM 为等边三角形时，其面积为 ( )A. 2 B. 43C. 6 D. 4 3解析：本题主要考查抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系据题意知，FPM 为等边三角形，| PF|PM| |FM |，PM抛物线的准线设 P( ，m) ，则m24M( 1，m) ，等边三
2、角形边长为 1 ，又由 F(1,0)，|PM |FM|，得 1 m24 m24，得 m2 ， 等边三角形的边长为 4，其面积为 4 ，故选 D.1 12 m2 3 3答案：D3抛物线 yax 2 与直线 y kxb( k0) 交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别为x1，x 2，直线与 x 轴交点的横坐标是 x3，则恒有( )Ax 3x 1x 2Bx 1x2x 1x3 x2x3Cx 1 x2x 30Dx 1x2x 2x3x 3x10解析：联立Error!则 ax2kxb0，则 x1x 2 ，x 1x2 ，x 3 .ka ba bk则 ，ba ka( bk)即 x1x2(x 1x 2)x3，选
3、项 B 正确答案：B42013大纲全国卷已知抛物线 C：y 28x 与点 M(2,2) ，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点，若 0，则 k( )MA MB A. B. 12 22C. D. 22解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则直线方程为 yk(x2) ，与抛物线方程联立，消去 y 化简得 k2x2(4k 28)x4k 20 ，设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 24 ，x 1x24，所8k2以 y1y 2k(x 1x 2)4k ， y1y2k 2x1x22( x1x
4、2)416，因为 0，所以8k MA MB (x12)( x22)(y 12)(y 22)0(*)，将上面各个量代入(*) ，化简得 k24k40，所以k2，故选 D.答案：D二、填空题5已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y22x 上，其中 O 为坐标原点，则OAB 的外接圆 C 的方程是_解析：由抛物线的性质知，A，B 两点关于 x 轴对称，所以OAB 外接圆的圆心 C 在x 轴上设圆心坐标为 C(r,0)，并设 A 点在第一象限，则 A 点坐标为( r， r)，于是有( r)32 32 3222 r，解得 r4，所以圆 C 的方程为(x4) 2y 216.32答案：(x4) 2y
5、 2166若直线 y2x 3 与抛物线 y24x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标是_解析：本题主要考查直线与抛物线相交时的性质和设而不求数学思想的应用设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，联立方程得Error!，整理得 4x216x90，由根与系数之间的关系知 x1x 24，y 1y 22(x 1x 2)62，所以线段 AB 的中点坐标为 (2,1)答案：(2,1)7直线 yxb 交抛物线 y x2 于 A，B 两点，O 为抛物线的顶点，OAOB，则 b12的值为_解析：由Error!，得 x22x 2b0，设直线与抛物线的两交点为 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)由
6、根与系数的关系，得 x1x 22，x 1x22b ，于是 y1y2 (x1x2)2b 2，14由 OAOB 知 x1x2y 1y20，故 b22b0，解得 b2 或 b0(不合题意，舍去) 答案：2三、解答题82013黑龙江省哈尔滨三中期末考试 已知 yxm 与抛物线 y28x 交于 A、B 两点(1)若|AB|10，求实数 m 的值；(2)若 OAOB，求实数 m 的值解：由Error!，得 x2(2 m8)xm 20.设 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则 x1x 282m ，x 1x2m 2，y 1y2m(x 1x 2)x 1x2 m28m.(1)因为|AB| 10，所以 m
7、.1 k2x1 x22 4x1x2 2 64 32m716(2)因为 OAOB，所以 x1x2y 1y2m 28m0，解得 m8，m0( 舍去)9已知抛物线 C1：y 24px( p0)，焦点为 F2，其准线与 x 轴交于点 F1；椭圆 C2：分别以 F1、F 2 为左、右焦点，其离心率 e ；且抛物线 C1 和椭圆 C2 的一个交点记为 M.12(1)当 p1 时，求椭圆 C2 的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线 l 经过椭圆 C2 的右焦点 F2，且与抛物线 C1 相交于 A，B 两点，若弦长|AB| 等于MF 1F2 的周长，求直线 l 的方程解：(1)设椭圆方程为 1( ab0
8、)，x2a2 y2b2由已知得 ， ca 12c1， a2，c1，b ，3椭圆方程为 1.x24 y23(2)若直线 l 的斜率不存在，则 l：x1，且 A(1,2)，B(1 ， 2)，|AB| 4.又MF 1F2 的周长等于|MF1|MF 2| F1F2|2a2c6|AB|.直线 l 的斜率必存在设直线 l 的斜率为 k，则 l：yk (x1) ，由Error!，得k2x2(2k 24)xk 20，直线 l 与抛物线 C1 有两个交点 A，B，(2 k24) 24k 416k 2160，且 k0设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则可得 x1x 2 ，x 1x21.2k2 4k2于是|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x21 k22 4k22 4 ，1 k216k2 16k4 41 k2k2MF 1F2 的周长等于|MF1|MF 2| F1F2|2a2c6，由 6，解得 k .41 k2k2 2故所求直线 l 的方程为 y (x1)2
