1、第二章 单元综合检测（一）(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值是( )A. B.14 12C2 D4解析：由题意可得 2 22，解得 m .1m 14答案：A2若直线 mxny4 与圆 O：x 2y 24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆 1 的交点个数为( )x29 y24A至多一个 B2C1 D0解析： 2， 0，b0)的一条渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为x2a2 y2b2 43( )A. B.53 43C. D. 54 32
2、解析：双曲线焦点在 x 轴，由渐近线方程可得 ，可得 e .ba 43 ca 32 423 53答案：A4已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线方程是 y x，它的一个焦点在抛x2a2 y2b2 3物线 y224x 的准线上，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x236 y2108 x29 y227C. 1 D. 1x2108 y236 x227 y29解析：抛物线 y224x 的准线方程为 x6，故双曲线中 c6. 由双曲线 1 的一条渐近线方程为 y x，x2a2 y2b2 3知 ， ba 3且 c2a 2b 2. 由解得 a29，b 227.故双曲线的方程为 1，故选 B.x29
3、y227答案：B5以 P(2,2)为圆心的圆与椭圆 x22y 2a 相交于 A，B 两点，则 AB 的中点 M 的轨迹方程为( )A. xy2x4y0 B. xy2x4y0C. xy 2x4y0 D. xy2x4y0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法设 M(x，y )，A( xm，yn)，B(x m，yn) ，易知 AB 的斜率必存在，又 A，B 都在椭圆上，则Error!Error! ，即 xy2x 4y0 为所求轨迹方程，故选 D.x2y x 2y 2答案：D6已知椭圆 x2siny 2cos 1(0 0.1cos 1sin又0b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，A、B 是x2a2
4、y2b2C 上两点， 3 ，BAF 290，则椭圆 C 的离心率为( )AF1 F1B A. B. 12 22C. D. 32 34解析：由条件 3 ，可知 A、B 、F 1 三点共线设AF1 F1B | | x，则| |3x，由椭圆定义可知| AF2|2a3x，| BF2|2ax，在 RtABF 2 中F1B AF1 有(4x) 2(2 a3x )2(2ax) 2，整理有：x (3xa)0，即 3xa，x .在 RtAF 1F2 中有a3|F1F2| 2c，(3 x)2(2a3x )24c 2，将 x 代入得：a 2(2 aa) 24c 2，即 ，e 2 ，a3 c2a2 12 12故 e
5、.22答案：B10探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为 60 cm，灯深 40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )Ay 2 x By 2 x254 454Cx 2 y Dx 2 y452 454解析：若设抛物线的方程为 y22px(p0)，则抛物线过点(40,30)，30 22p40,2p ，452所以所求抛物线方程为 y2 x.452选项中没有 y2 x，但 C 中的 2p 符合题意452 452方程不同主要是因为讨论的焦点不同答案：C112013北京市东城区联考 设 F1、F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右x2a2 y2b2焦点若在双
6、曲线右支上存在点 P，满足|PF 2|F 1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x4y0 B. 3x5y0C. 5x4y0 D. 4x3y0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用由题意可知|PF 2| F1F2|2c，所以PF 1F2 为等腰三角形，所以由 F2 向直线 PF1作的垂线也是中线，因为 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长 2a，所以|PF1|2 4b，又|PF 1|PF 2|2a，所以 4b2c2a，所以 2bac，两边4c2 4a2平方可得 4b24aba 2c
7、2a 2b 2，所以 3b24ab，所以 4a3b，从而 ，所以该双ba 43曲线的渐近线方程为 4x3y 0，故选 D.答案：D122014昆明调研过椭圆 y 21 的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于x24A、C 、B 、D 四点，则四边形 ABCD 面积的最大值与最小值之差为( )A. B. 1725 1825C. D. 1925 45解析：当直线 AC 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AC：yk(x )，则3BD：y (x )，由Error! 消去 y 得(4k 21) x28 k2x12k 240，设 A(x1，y 1)、1k 3 3C(x2，y 2)，则 x1x 2 ，x
8、1x2 ，| AC| 4 ，将 83k24k2 1 12k2 44k2 1 1 k2x1 x22 k2 14k2 1k 换成 得|BD| 4 ， 四边形 ABCD 的面积 S |AC|BD| ，设1k k2 1k2 4 12 8k2 12k2 44k2 1k21t( t1)，则 S ，令 m(0b0)的左、右焦点分别是 F1、F 2，线段 F1F2 被点 分成x2a2 y2b2 (b2，0)31 的两段，则此椭圆的离心率为_解析：由题意，得 3 c3c bbc，因此 e .b2 cc b2 b2 32 ca c2a2 c2b2 c2 12 22答案：22162014河南省实验中学月考 抛物线
9、y22px( p0)的焦点为 F，过焦点 F 倾斜角为30的直线交抛物线于 A，B 两点，点 A，B 在抛物线准线上的射影分别是 A，B，若四边形 AABB 的面积为 48，则抛物线的方程为_解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式因为抛物线的焦点为 F( ，0) ，所以直线 AB 的方程为 y (x )，代入p2 33 p2y22px( p0)，整理得，x 2 7px 0.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间p24的关系得 x1x 27p，x 1x2 ，y 1y 2 (x1x 2)，又四边形 AABB 是梯形，其面积p24
10、 33为 48，所以 (x1x 2p)|y 1 y2|48，即 (x1x 2p)12 12| (x1x 2)| (x1x 2p) 48，解得 p23，p ，故抛物线的方33 36 x1 x22 4x1x2 3程为 y22 x.3答案：y 22 x3三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分) 已知点 M 在椭圆 1 上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为x236 y29P，并且 M 为线段 PP的中点，求 P 点的轨迹方程解：设 P 点的坐标为(x，y) ，M 点的坐标为(x 0，y 0)点 M 在椭圆 1 上，x236 y29 1.x2036 y209M 是线段 PP的中
11、点，Error!把Error!代入 1，得 1，即 x2y 236.x2036 y209 x236 y236P 点的轨迹方程为 x2y 2 36.18(12 分) 2013湖南省长沙一中期中考试 已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为 y x0，焦点到渐近线的距离为 3，求此双曲线的方程3解：设双曲线方程为 y23x 2k (k0) ，当 k0 时，a 2k ，b 2 ，c 2 ，k3 4k3此时焦点为(0， )，4k3由题意得 3 ，解得 k27 ，双曲线方程为 y23x 227，即 1；4k32 y227 x29当 kb0)x2a2 y2b2因为直线 l 倾斜角 且过点( ， )
12、，4 12 14所以直线 l 方程为 y x ，即 yx ，14 12 34由Error!(a 2b 2)x2 a2x a2a 2b20.32 916设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x 2 1， 即 a22b 2， 3a22a2 b2又求得此椭圆的通径为 . 2b2a 22由、，得 a2 ，b 2 .12 14故椭圆 C 方程为 2x24y 21.(2)设 P， Q 两点的坐标分别为(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，则有 2x 4y 1,2x 4y 1，两23 23 24 24式相加得 2(x x )4( y y )2，由| OP|2|OQ| 2 ， 23 24 2
13、3 2434得 x y x y ， 23 23 24 2434由解得 x x ，y y .23 2412 23 24 14又 x x (14y )(14y ) 14( y y )16y y 4y y .232414 23 24 14 23 24 2324 2324所以 .y23y24x23x24 14即|k OPkOQ| ，为定值1221(12 分) 2014浙江名校联考 已知抛物线的顶点在坐标原点，以椭圆 1 的上y24 x23焦点为焦点(1)求抛物线的标准方程；(2)如图所示，与圆 x2(y1) 21 相切的直线 l：ykx t 交抛物线于不同的两点M，N ，若抛物线上一点 C 满足 O ( )(0)，求 的取值范围C OM ON 解：(1)因为椭圆的上焦点为(0,1)，所以抛物线的焦点为(0,1)，抛物线的标准方程为x24y.(2)因为直线 l 与圆相切，所以 1k 2t 22t.|t 1|1 k2把直线方程代入抛物线方程并整理得：x24kx4t0.由 16 k216t16(t 22t)16t0，得 t0 或 t0 或 t4 或 2t40. 由 N(1,3)是线段 AB 的中点，得 x1x 22.k(k3) k 23 解得 k1 代入得 12. 的取值范围是(12，)，直线 CD 的方程为 x y20.
